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1、初中数学专项辅导一应用方程处理问题在进入了二十一世纪的今天，世界的高科技迅猛发展，带动了各学科的发展，数学也是一样， 特别是计算机的应用，给数的发展助以强大的动力。在这种情况下，数学教育更加重视提高人的素质，强调了加强应用意识，发展创造能力，这是教育中带有方向性的问题。在中学数学里加强了问题解决的培养和训练，由一般性问题解决向开放性问题解决发展，因此列方程解应用题被人们更加重视起来。列方程解应用题的内容很丰富，列方程解应用题不仅要求能熟练地解方程，而且要求具有从实际问题中抽象出数量关系，并用代数式和方程将这种关系表达出来的能力。这就需要有较强的分析能力和综合能力。【考点解析】例 .张清是运输公

2、司的经理，他接受了这样的运输任务：把第一仓库的50 吨面粉和第二仓库的 70 吨面粉运往甲、乙两个面包加工厂，其中甲厂接收40 吨面粉，乙厂接收80 吨面粉。显然，张清是可以安排出很多运输方案的，考虑到厂家的利益，要使总的运费最省，如果 1 吨面粉的运输费用如表一所示，那么，张清应该怎样安排运输任务才能使总的运费最低？表一分析：这是一个生产实际问题， 在我们的日常生活中经常遇到， 首先应把这个实际问题转化为数学问题。表二解：假设张清安排的运输方案如表二，那么应满足下面的数量关系：也就是说我们得到了有四个未知量，三个独立方程组成的四元一次方程组，因此，可以把分别用表示出来。如果设总运费为N，那么

3、有所以，只要取最大值40，总运费N 取最小值 670，也就是说，由第一仓库给甲厂运40 吨面粉，给乙厂运10 吨面粉，再由第二仓库给乙厂运70 吨面粉，即完成了给定任务，还使总运费最省，共计670 元。点评：此题是 2001 年北京市海淀区数学中考说明当中的一道题，是一道数学应用问题。此题充分运用了方程的思想，用消元的方法把分别用表示出来， 然后由的取值范围确定运费N的最小值。【例题分析】例 1 一件工作，由甲单独作需要 24 个小时，由乙单独做需要 18 个小时，现在先由甲单独作 6 个小时，剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要几小时？分析： 假设直接设元，那么设完成这件工作需要x 个小

4、时， 列方程解出x 即可。假设间接选元那么可以设甲、乙合作用了x 个小时，那么x 6 就是问题要求的未知量。解法 1：( 直接设元 ) 设完成这件工作共需x 个小时，由甲先工作了6 个小时，那么甲、乙合作了 (x 6) 个小时。设全部工作量为1，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意列方程：答：共需小时完成全部工作。解法 2： ( 间接设元 ) 设甲先工作6 小时后，甲、乙又合作x 个小时，由题意，得：整理得：答：完成这件工作需小时。小结： 此题解法1 和解法 2 表示了两种选元方法，一般地说，当直接选元比较难解时，可以采用间接选元的方法。例 2 一个三位数， 它的百位上的数比十位上的数

5、的2 倍大 1，个位上的数比十位上的数的3 倍小 1。如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99。求原来的三位数。分析： 这个问题如果直接选元，很难列出方程，所以适合间接选元。因为百位上的数和个位上的数都和十位上的数直接发生联系，故可选十位上的数为元。解：设原来的三位数的十位上的数为x，那么它的百位上的数为2x 1，个位上的数为3x 1，这个三位数表示为：100(2x 1) 10x (3x 1)把这个三位数百位上的数字和个位上的数字对调后得到：100(3x 1) 10x (2x 1)根据题意，得方程：100(3x 1) 10x (2x 1) 100(2

6、x 1) 10x (3x 1) 99解这个方程，得：99x 198 99答：原来这个三位数是738。例 3 一轮船从一号桥逆水开往二号桥，开过2 号桥 20 分钟以后到达A 处，发现在二号桥处失落一根圆木，船即返回追圆木，结果在一号桥追上。两桥相距2 公里，求水流速度。分析： 这个题需要设辅助未知数来解决。因为题目只给了开过二号桥20 分钟和两桥间相距 2 公里。如果只设水流速度为每分钟x 公里是列不出方程的。这就需要设船速为辅助未知数，以建立等量关系列出方程。解：设船速为每分钟a 公里，水流速度为每分钟x 公里，依题意列方程：经检验知是原方程的解，并且符合题意。答：水流速度为每分钟0.05

7、公里。例 4 盐水假设干升， 第一次加入一定量的水后， 盐水的浓度变为 3；第二次又加入同样多的水后，盐水的浓度变为 2，求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。解：此题需设辅助未知数。 设原有盐水 a 升，每次加入水量是 b 升，且设第三次加入水后，盐水浓度为 x，依题意列方程组：由 (1) 得：得 a b代入 (2) 得：答：第三次再加入同样多的水后，盐水浓度为1.5 。小结： 例 3 和例 4 都要把辅助未知数消去，简称消去参数。【模拟试题】1.一件工作甲做9 天可以完成，乙做6 天可以完成，现在甲先做3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？2. 甲乙两地相距 12 千

8、米，小张从甲地到乙地， 在乙地停留半小时后， 又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40 分钟后，又从甲地返回乙地，两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4 小时后，他们在返回的途中相遇，如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。3. 有某种农药一桶，倒出 8 升后用水补满，然后又倒出 4 升，再用水补满，于是测得桶中农药与水的比为 18： 7，求桶的容积。4.小船航行于内河的A、 B 两个码头之间逆流而上需要航行6 小时，小船在静水中航行AB这段路程比顺流而下要多用1 小时，求小船顺流而下航行所需时间。5.甲、乙二人分别从A、 B 两地同时出发相向而行，甲走10 米后两人

9、第一次相遇，然后甲继续向前走到 B 处立即返回， 乙继续向前走到 A 处立即返回， 在距离 B 点 6 米处二人第二次相遇，问 A、 B 两地相距多少米？6. 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100 公里。团体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，步行时速8公里，汽车时速40 公里。问要使大家在下午4 点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？7.某县农机厂金工车间共86 个工人，每个工人平均可加工甲种部件15 个，或乙种部件12 个，或丙种部件9 个，问应安排加工甲种部件、乙种部件和丙种部件各多少人，才能使加工后的3 个甲种部件、2 个乙

10、种部件和1 个丙种部件恰好配套。8.一支队伍以a 公里 / 小时的速度前进，一名通讯员要传送命令，从排头走到排尾，再回到排头，此时队伍进行的路程正好等于队伍的长度，求通讯员的速度。【疑难解答】A. 教师自己设计问题：1. 解答题的第 6 小题的问题实质是什么？2. 解答题的第 7 小题能不能用两种方法来解？3. 解答题的第 8 小题怎样设辅助未知数？B. 对问题的解答：1. 答：这个问题实质上要求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时。注意到先坐车的人和先步行后坐车的人所用的时间总量是相等的，利用这个等量关系可以列方程。解：设先坐车的一部分人下车地点距甲地 x 公里，这一部分人下车地点距

11、另一部分人的上车地点相距 y 公里。如下图： ( 从甲地到乙地 100 公里 )汽车走 (x y) 公里的时间与先步行后乘车的那一部分人从甲地走到上车点所用的时间相等，列出方程为：先乘车后步行的一部分人从下车点到终点步行所用的时间等于汽车从下车点返回接另一部分人到终点所用的时间，得出方程为：解方程组2.答：要使大家下午4 点钟同时到达目的地，必须在中午11 点出发。答：此题假设用方程组解，设安排加工甲种部件需x 人，乙种部件需y 人，丙种部件需 z 人能使加工的三种部件按要求配套。根据等量关系列方程组：设加工后的丙种部件有x 个，那么甲种部件有3x 个，乙种部件有2x 个。根据题意列方程：以上

12、两种解法，第一种方法直接设元，第二种方法是间接设元。3.答：分析：此题的量仅有a 公里 / 小时，未知量仅有通讯员的速度，必须设辅助未知量，设队伍的长度为公里，通讯员的速度为x 公里 / 小时。根据题意得方程：解得：试题答案1. 设整个工作量是 1，乙还需 x 天完成。列方程2.设小张速度是x 千米 / 小时，小王速度是y 千米 / 小时。列方程组：3. 设桶的容积为 x 升。列方程答： x 40 升。4.小船顺流而下需航行x 小时，小船在静水中速度为a 千米 / 小时，水流速度为b 千米 /小时。列方程组5. 设两地相距为 x 米那么。6 、 7、 8 题见疑难解答。二用辩证思维解题数学世界

13、丰富多彩， 又充满矛盾，渗透着辩证法。 解题时不妨进行辩证思维，这样可以激活求知的欲望，培养思维的品质，给解题带来耳目一新的感觉。【一】顺向与逆向例 1.求的值。解析：顺向与逆向是对立的，囿于顺向思维有时会给解题平添难度。原式【二】常量与变量例 2.如图，正比例函数和的图像与反比例函数的图像在第一象限内分别交于A、B 两点，过 A、B 作 x 轴的垂线， 垂足分别为C、D。设和的面积分别为和，那么与的大小关系是不确定的解析：由可得。很显然，假设点是函数图像上的任意一点，过P 作轴于 Q，那么的面积是一个常量，都等于，与点 P在图像上的位置无关。所以，选 B 答案。【三】直接与间接例 3. 有一

14、片牧场，假设草每天都在匀速生长草每天增长量相等 ，如果放牧 24 头牛，那么 6 天吃完牧草；假设放牧 21 头牛，那么 8 天吃完牧草，如果每头牛每天吃草的量是相等的。问： 1要使牧草永远吃不完，最多放牧几头牛？ 2如果放牧 16 头牛，几天可以吃完牧草？解析：草生长与牛吃草是一组反向的量，我们可把草生长的速度和牛吃草的速度分别看作是水流速度和船速。由，可得草减少的速度。 1设草的总量为S，每天生长的速度为，每头牛每天吃草量为，那么由 (1)(2) 得，即草的生长量等于12 头牛每天的吃草量，所以最多放牧12 头牛，使牧草永远吃不完。 2由 1知，那么故放牧 16 头牛 18 天可以吃完草。

15、【四】整体与局部例 4.假设，且有及，那么的值是 _。解析：假设按常规方法，先求出a、 b 的值，再求出的值，那么十分繁琐，而将化为，利用所给的两个方程，此题就迎刃而解了。显然不是方程的解故 a 与都是方程的根，但，由，得 a 与是此方程的两相异实根，从而，即此题应填。【五】一般与特殊例 5.在中，于 D，于 F，AD与 CF 相交于 G，且，那么_度。解析：此题看起来似乎无所下手，假设将“特殊”为，那么 D、 F 与 B 重合，这样问题就简单化了，可得六、正面与反面例 6. 老师在黑板上写下这样一道题： “的面积，周长，求它的内切圆半径”。很多同学很快求出内切圆的半径为3，惟独小明认为该题的

16、条件不合时，压根就不存在符合条件的，你认为小明的想法正确吗？盾，从而肯定原来结论成立。假设存在符合条件的，其内切圆半径为r ，那么，这是不可能的。因此小明的想法是正确的。综上六例，灵活进行辩证思维，可以收到化繁为简，化难为易，缜密思维的奇效。让人萌生“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的感悟。三、 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根问题难度较大， 是中考特别是竞赛中的爬坡题型。 本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法。例 1. 方程的两根都是整数，试求整数a 的值。思路分析： 当 a 取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。究意什么情况下，方程的两根都是整数呢

17、？还是从根与系数的关系入手比较好。解：设方程的两整数根为、，根据根与系数关系得：1 2得：所以或或或所以或或或因为，所以只有或符合题意，代入2得：例 2. 方程有两个不等的负整数根，那么a 的值是_。思路分析：此题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根” ，这对系数了更多的限制。另外，此题的 a 没有说它是整数，难度更大了。应当抓住“负整数根”做文章。a 有解：所以依题意有：、均为负整数，符合此条件的仅有。例 3. 设m为自然数，且，假设方程的两根均为整数，那么m _。思路分析： 题目已给出m的范围，再加上判别式应满足的条件，可进一步对不难求出符合条件的m值了。m加以限制，就解：因

18、为原方程的两根均为整数，所以得必为完全平方数，且必为奇数的平方。于是由，在此范围内的奇完全平方数只有25 和 49。所以或所以或经检验，、24 均符合题意。误区点拨： 此题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤。因为整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条件。 也就是说，为完全平方数，并不能保证方程一定有整数根，所以说，必须进行检验。四、 例谈求一次函数解析式的常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。 现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常

19、见题型。希望对同学们的学习有所帮助。一. 定义型例 1. 函数是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知，故一次函数的解析式为注意：利用定义求一次函数解析式时， 要保证。如本例中应保证二. 点斜型例 2. 一次函数的图像过点2， 1，求这个函数的解析式。解：一次函数的图像过点2， 1，即故这个一次函数的解析式为变式问法：一次函数，当时， y 1，求这个函数的解析式。三. 两点型某个一次函数的图像与x 轴、 y轴的交点坐标分别是2， 0、0， 4，那么这个函数的解析式为 _。解：设一次函数解析式为由题意得故这个一次函数的解析式为四. 图像型例 4. 某个一次函数的图像如下图，那么该函数的解析式

20、为_ 。解：设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点 1， 0、0， 2有故这个一次函数的解析式为五. 斜截型例 5. 直线与直线平行，且在y 轴上的截距为2，那么直线的解析式为_。解析：两条直线：；：。当，时，直线与直线平行，。又直线在 y 轴上的截距为2，故直线的解析式为六. 平移型例 6. 把直线向下平移2 个单位得到的图像解析式为_ 。解析：设函数解析式为，直线向下平移2 个单位得到的直线与直线平行直线在 y 轴上的截距为，故图像解析式为七. 实际应用型例 7. 某油箱中存油20 升，油从管道中匀速流出，流速为0.2 升 / 分钟， 那么油箱中剩油量Q升与流出时间t 分钟的函数关系

21、式为_。解：由题意得，即故所求函数的解析式为注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八. 面积型例8. 直 线与 两 坐 标 轴 所 围成 的 三 角 形 面 积 等 于4 ， 那 么 直 线 解 析 式 为_。解：易求得直线与x 轴交点为， 0，所以，所以，即故直线解析式为或九. 对称型假设直线与直线关于 1 x 轴对称，那么直线 l 的解析式为 2 y 轴对称，那么直线 l 的解析式为 3直线 y x 对称，那么直线 l 的解析式为4直线对称，那么直线l 的解析式为5原点对称，那么直线l 的解析式为例 9. 假设直线l 与直线关于 y 轴对称，那么直线l 的解析式为 _。

22、解：由 2得直线l 的解析式为十. 开放型例 10. 函数的图像过点 A 1， 4， B2， 2两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。解： 1假设经过A、 B 两点的函数图像是直线，由两点式易得 2由于 A、 B 两点的横、纵坐标的积都等于 4，所以经过 A、 B 两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为 3其它略十一 . 几何型例 11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B 是 x 轴上的两点，以 AO、BO为直径的半圆分别交 AC、BC于 E、F 两点，假设 C点的坐标为 0，3。 1求图像过 A、 B、 C 三点的二次函数的解析式，并求其对称轴； 2求图像过点

23、E、 F 的一次函数的解析式。解： 1由直角三角形的知识易得点A，0、B，0，由待定系数法可求得二次函数解析式为，对称轴是2连结 OE、 OF，那么N、 P、 G，易求得E、，、 F。过 E、 F 分别作 x、 y 轴的垂线，垂足为，由待定系数法可求得一次函数解析式M、为十二 . 方程型例 12. 假设方程的两根分别为，求经过点P，和Q，的一次函数图像的解析式解：由根与系数的关系得，点 P11， 3、Q 11，11设过点 P、Q的一次函数的解析式为那么有解得故这个一次函数的解析式为十三 . 综合型例13. 抛物线的 顶 点D 在双 曲线上，直线经过点D 和点C a、 b 且使y随 x的增大而减

24、小，a 、 b 满足方程组，求这条直线的解析式。解：由抛物线的顶点 D在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：，顶点 D1 1， 5及顶点 D2， 15解方程组得，即 C1 1， 4， C2 2， 1由题意知C点就是 C1 1， 4，所以过C1、D1 的直线是；过 C1、D2 的直线是五、 应用非负性质解题在初中代数中出现的非负数主要有三类：1. 绝对值：任何一个实数的绝对值都是非负数，即。2. 平方：任何一个实数的平方都是非负数，即。3. 算术平方根：任何一个非负数的算术平方根都是一个非负数，即。解题过程中巧用以上三个非负性质可以简捷地处理许多问题。现举例说明如下。例 1.a 、 b 为实数，且满足，求ab 的值。分析： 解决此题只需从等式中求出a、b 值即可。 应用中的非负性质可以立即求出b 的值，从而进一步得到解：由题意可知a 的值。且，此时例 2. 假设 a、 b、 c 满足，求的值。解：由非负数的性质可知，且，且例 3.，求的值。解：等式可化为六、 一些数学思想在解题中的应用在直线，射线，线段这一部分内