《几何与代数》科学出版社第二章矩阵.ppt

1、几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,教学内容和学时分配,第二章 矩 阵,思考题：（学会归纳总结,矩阵上的哪些运算是只定义在方阵上的？ 矩阵乘积的交换律一般情况下不成立，但有一些特殊情况是成立的，此时称A,B是可交换的。请列举出矩阵乘积可交换的情况,1. 方阵的正整数幂,只定义在n阶方阵上的运算,A可逆 |A| 0,4. 伴随矩阵,5. 可逆矩阵,A2=AA,Ak+1=AkA,3. 行列式,2. 对称矩阵AT = A,数量矩阵 En,单位矩阵En,A|: Rnn R,对角矩阵(iij,1. 方阵的正整数幂,乘积可交换的运算,4. 伴随矩阵,5. 可

2、逆矩阵,AkAl=AlAk,3. 行列式,数量矩阵 En,单位矩阵En,a Em) Amn = Amn (a En,2. 对角矩阵(iij,第二章 矩阵,二. 逆矩阵的运算性质,一. 可逆矩阵,1. 定义,2.2 逆矩阵,定义在n阶方阵上,A可逆，若 方阵B使得AB=BA=E,A可逆 |A| 0,A1| = |A|1,AT)1 = (A1)T,AB)1 = B1A1,2. 伴随矩阵,推论. 设A,B为方阵, 若AB = E(或BA = E), 则B=A1,穿脱原理,例 9. 求下列方阵的逆矩阵,解: (1,2) |B| = 2 0,B21 =6,B22 = 6, B23 = 2,B31 = 4

3、, B32 = 5, B33 = 2,2 3 2,B12 = 3,B13 = 2,4,2,3,1,4 5 2,6 6 2,当n2, |A| 0时, 有,主换位, 副变号,线性方程组 Ax=b, 能否在一定条件下引进 A-1 的概念,使得解为 x = A-1b ,问题的提出,例10 设方阵A可逆，则,注7: 矩阵乘法的消去率一般不成立,补充: 但是，消去率在A可逆时成立,1.4 线性方程组的求解,Cramer法则,在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和线性方程组的求解,按第一列展开,a11A11,b1A11,an1An1,bnAn1,Di = b1A1i +bnAni , i = 1,2,n,

4、即Ax=b,Cramer法则). 若D=|A|0,则Ax = b有唯一的解,由Ax = b可得,x =A1b,证明,因为D=|A|0,所以A可逆,该法则的适用范围,解n元线性方程组,A|0,第二章 矩阵,2.2 可逆矩阵,求矩阵X使AXB = C,解: 由例9可知A, B都可逆. 故AXB = C A1AXB = A1C XB = A1C XBB1 = A1CB1 X = A1CB1,第二章 矩阵,2.2 可逆矩阵,解,例12. 设三阶方阵A,B满足,第二章 矩阵,2.2 可逆矩阵,所以 A1 E 可逆, A1 E | 0,右乘 A1,提公因子B, 注意乘法顺序,左乘,第二章 矩阵,2.2 可

5、逆矩阵,例12. 设三阶方阵A,B满足,第二章 矩阵,2.2 可逆矩阵,定理2.2. 方阵A可逆的充分必要条件是|A| 0,当n2, |A| 0时, 有,推论. 设A,B为方阵, 若AB = E(或BA = E), 则B=A1,1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵,A为方阵, 若|A| = 0, 则称之为奇异(或退化)矩阵. 若|A| 0, 则称之为非奇异(或非退化)矩阵. 可见, A可逆 |A| 0 A非奇异(非退化,singular,第二章 矩阵,二. 逆矩阵的运算性质,一. 可逆矩阵,三. 克拉默法则,1. 定义,2

6、.2 逆矩阵,定义在n阶方阵上,A可逆，若 方阵B使得AB=BA=E,A可逆 |A| 0 A非奇异(非退化,A1| = |A|1,AT)1 = (A1)T,AB)1 = B1A1,2. 伴随矩阵,若|A|0,则Ax = b有唯一的解,若|A|0,则Ax = 0 只有零解,解n元线性方程组,A|0,第二章 矩 阵,2.3 分块矩阵,一. 矩阵的分块,二. 分块矩阵的运算,线性运算,转置,乘法,三. 分块矩阵的应用,2.3 分块矩阵,一.矩阵的分块,在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列 之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块,A21,B11,2.3 分块矩阵,一.矩阵的分块,在矩阵的某些行之间插一些

7、横线，在某些列 之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块,A1,A2,1,2,2,处理有特点的大矩阵时需要进行分块 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小 矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的子块,定义 以子块为元素的矩阵称为分块阵,2.3 分块矩阵,一.矩阵的分块,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,三种特殊的分块方法,设A为mn矩阵, 记Aj为A的第j列, i为A的 第i行(j = 1, , n, i = 1, , m), 则有如下两 种重要的分块方法,A = (A1, A2, , An,其中A1, A2, As都是方阵, 则称A为分块对角阵 (或准对角矩阵,二. 分块矩阵的运算,分块加法,设矩阵A与B是同型

8、的, 采用相同的分块法分块将A与B分块如下,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,二. 分块矩阵的运算,分块加法,设矩阵A与B是同型的, 采用相同的分块法分块将A与B分块如下,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,2. 分块数乘,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,3. 分块乘法,设A为ml 矩阵, B为l n 矩阵, 将它们分块如下,Ai1, Ai2, , Ait的列数分别与B1j, B2j, , Btj的行数相等,i = 1,2,s; j = 1,2,r.,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,例1 求AB,解1,6,0,将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的 . 只要前一矩阵列的分法与后一矩阵行的分法 一致,在例1

9、中,例1 求AB,解2,其中Ai , Bi 都是同阶方阵，i = 1,2, , s,分块对角矩阵的乘法,设A,B,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,4. 分块转置,分外层内层 双重转置,AT = A1, A2, , AnT,1T, 2T, , mT,A1T A2T AnT,T,注意,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,例2,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,4. 分块转置,分外层内层双重转置,设A, B为s 阶t 阶可逆矩阵,Cst,Ots ,求,解: 设,则,解得X4 = B-1, X3 =O, X1 = A-1, X2 = A-1CB-1,所以,5. 分块求逆,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,则A

10、可逆的充分必要条件是A1, A2, , As都 可逆. 且当A1, , As都可逆时,有,6.分块对角矩阵的逆矩阵,其中, A1, A2, As 都是方阵,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,则A可逆的充分必要条件是A1, A2, , As都 可逆. 且当A1, , As都可逆时,有,6.分块对角矩阵的逆矩阵,其中, A1, A2, As 都是方阵,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,例3 设矩阵,求 A 的逆,解,设D,证明: D = D1D2,7. 分块矩阵的行列式,A| |B,(1)mn |A| |B,A,B为m,n阶矩阵,A| |B| |C| |D,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,A1|A2|

11、As,8.分块对角矩阵的行列式,A,A1 0 0 0 A2 0 0 0 As,其中, A1, A2, As 都是方阵,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,2.3 分块矩阵,一. 矩阵的分块,三. 分块矩阵的应用,矩阵方程的求解,分块对角阵,按行,按结构,按列,分外层内层 双重转置,转置,乘法,二. 分块矩阵的运算,线性运算,线性组合,三. 分块矩阵的应用,线性方程组的表示形式,三. 分块矩阵的应用,线性方程组的表示形式之一,如何解多个系数矩阵都为A的方程组,AX1 = B1,AX2 = B2,AXs = Bs,AX1, AXs ) = ( B1, Bs,A( X1, Xs ) = ( B1, Bs

12、,矩阵方程 AX = B,A Rmn, Bj Rm , Xj Rn , j= 1,2, ,s,用初等行变换求解矩阵方程,A B,行 阶 梯 阵,行 最 简 形,矩阵方程的求解,如何解多个系数矩阵都为A的方程组,X,B,例4. 求解BY = A, AX = B,解,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,尤其要注意AB = 0时的特殊情况,说明B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax = 0的一个解,例5,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,AB的列向量,线性方程组的表示形式之二,即,称b是向量组 A1, A2, , An 的线性组合,x1, x2, , xn 称为线性组合的组合系数,第二章 矩阵,2.3 分块

13、矩阵,AB)的列向量是A的列向量组 A1, A2, , An 的线性组合,设,若把A, C按列分块，则,AB的列向量,2. 矩阵AB的列向量,若把矩阵B, C按行分块，则,设矩阵,于是有,即C的行向量是B的行向量组1, 2, n的线性组合,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,3. 矩阵AB的行向量,例6. 设A是二阶方阵，x是二维非零列向量， 若 ，求一矩阵C， 使得AB = BC,解,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,4.若,则,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,若,则,第二章 矩阵,2.3 分块矩阵,2.3 分块矩阵,一. 矩阵的分块,三. 分块矩阵的应用,矩阵方程

14、的求解,分块对角阵,按行,按结构,按列,分外层内层 双重转置,转置,乘法,二. 分块矩阵的运算,线性运算,2. 矩阵AB的列向量,2. 矩阵AB的行向量,A) 填空题选择题：作为课下练习,A) 1(1,2),2(1) (B) 3(1-6,10),4(1),9,B) 留作业,每周三交作业,C) 课下提高题：有时间的话尽量做,二. (A) 1(3,4,5,6,7,),2(2,3,4) (B) 5,6(3),7,8,10(1,3,4),11,12*,13*, 15,16,三. (A) 2(5) (B) 14(1,2),17,18,20,21,四. (A) 一. 4-7 二. 4-7 (B) 22(1),23,25,27,30,31,思考题：