2013年全国新课标2卷理数试题答案及解析

1、2013年全国新课标2卷理数试题答案及解析一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。(1) 已知集合 M= x|(x-1)2 b a b c a a c b(A)(B)(C)A。（D）a b c答案：D解析本题考查对数比较大小的问题，将题中的条件进行变形可知, 又因为，所以有x -1I x + y 兰3（9）已知a0，x，y满足约束条件（A）（B）y a(x 3),若z=2x+y的最小值为1，则a=(c)1(D)2答案：B解析本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数，由于直线过定点且，所以可行 域如图所示。当直线2x+y

2、=z过x=1与y=a(x-3)的交点(1,-2a)时z取得最小值1，所以有,(10 )已知函数，下列结论中错误的是(A)(B) 函数y=f(x)的图像是中心对称图形(C) 若是的极小值点，则在区间(-,)单调递减(D) 若是的极值点，贝U =0答案：C解析本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图:当x趋于负无穷大时，函数值为负，当 x趋于正无穷大时，函数值为正，而该函数在 R是连 续的，所以就有，A的说法正确；函数可以由函数经过平移得到，而关于原点对称，故是关 于中心对称的图形，B的说法正确；由极值点的定义， D说法正确；由三次函数图像可知， 若是的极小值点，则在区间(-8

3、,)不单调，故C说法错，选Co(11) 设抛物线的焦点为F，点M在C 上, |MF|=5若以MF为直径的园过点(0 , 3)，则 C的方程为(A )或(B )或(C)或(D )或答案：C解析本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点M (x,y)，圆心B (a,b)如图,从而可以得到 B的横坐标,所以可以设圆B的方程为，将点(0，2)代入得，从而可以得到点 M的坐标为，代入，故答案选 C (注: 由于图片不清楚，有人写出该题的题设应该是，无论是哪种不会影响方法的正确性)(12) 已知点 A (-1，0)； B (1，0)； C (0，1)，直线 y=ax+b(a0)将厶ABC 分割为面 积相等的

4、两部分，则b的取值范围是(A)(0，1)(B)，( C)，(D),答案：B解析设直线y=ax+b与直线BC : x+y=1的交点为D(xd$d)，与x轴的交 点为E,由题意可知，要平均分割三角形，则 b0，所以E点只能处于 x轴负半轴，当E在A点与原点之间时，如图可得 DEB的面积为，联立 直线y=ax+b与线BC : x+y=1得，yD=，所以有整理得。当E与A点重合时，直线y=ax+b想平分 ABC的面积，必须过B、C的中点，如下图此时可确定直线 y=ax+b的方程为，此时当E点处于A点左侧时，如图此时若直线y=ax+b想平分 ABC的面积，贝U,且三角形 CDF面积为，联立直线y=ax+

5、b 与线BC : x+y=1得，联立直线y=ax+b与线BC : x+y=1得，所以有，解得综上所述，故答案选B二、填空题T T(13) 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，贝U AE BD =答案：2解析如图建立平面直角坐标系D (0* 2)E Cl, 2C (2. 2)XA 0,所以有cosB=si nB从而有B=45 o(2)由余弦定理可知：所以有，当且仅当取等号故面 ABC面积的最大值为。如图,中占I 八、，直三棱柱ABC -AEG 中,2 ，AA =AC =CBAB2 。D，E分别是AB，BBl的(I)证明：BCl/ 平面 ACDi ；(U)求二面角 AC -E的正弦值。证

6、明：(1)连接AC1交A1C于点F，则F平分AC1 又因为D为AB的中点，所以有FD/BC1FD 面 A1CDBC1 面 A1CD所以BC1/平面A1CD因为AC=CB= %2AB，从而有2 2 2AC +CB =AB所以 ACCB如图建立空间直角坐标系，设 AC = 1则各点坐标为C (0，0，0)A1 (1，0，1 )，D (1/2,1/2，0) ,B (0，1, 0)E (0，1，1/2)则X*D设平面AiCD和平面AiCE的法向量分别为则 解得：，则二面角D-A1C-E的正弦值为(19) (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出11该产品获利润500元，未售出

7、的产品，每1t亏损30元。根据历史资料，得到销售季 度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季 度购进了 130t该农产品。以X (单位：t , 100乞X150)表示市场需求 量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。(I)将T表示为X的函数；(U)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；100 JQ 120U.QWftvoro(川)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若WO,110)，则取X 05，且X “05的概率等于需求量落入100,110)的T的数学期望

8、。解析：(1)当 100 兰 XE130 时 T = 500X 300 (13 X )= 800X 39000当 130VXE150 时，T =65000800X 39000(100 兰 X 120 时，概率 P=0.7(3) X可能的取值为：X105115125135145P0.10.20.30.250.15T4500053000610006500065000所以(元)(20) (本小题满分12分)x2 丄 y2 M :二 2 =1(a b 0)平面直角坐标系xOy中，过椭圆 a b右焦点的直线x * y-、3 “交M于A,B两点，P为AB的中点，且0P的斜率为2 o(I)求M的方程；(n)

9、 C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD AB，求四边形的最大值。解析:2 2a2b22 2a2b2= 1(1)= 1(2)y2 - ，则(1) - (2)得到 x1 _x2_ .x.2a y。(1)设人(为，), BgyhP0),将a、b代入得到 由直线AB: xr X的斜率k=-l.2b X。Xo2 - _1所以a yo, OP的斜率为yo由 a2 二b2 C2得到 a =6,b =32 2所以M得标准方程为63(2)若四边形ACBD的对角线CD AB，由面积公式可知，当CD最长时四边形 ACBD面积最大，由直线 AB : xr-、3=0的斜率k=-1，设CD直线方程为，与椭圆方程2 2x y 16 3 联立得：贝当m=0时CD最大值为4,2 2x y1联立直线AB : x y -出=0与椭圆方程63 得 同理利用弦长公式(21) (本小题满分12分)已知函数 f(x)=ex-ln(x m)。(I)设x =0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性;(U)当 mm2 时，证明 f(x) 0 o(1)X=0是极值点即：(x-1