2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)

1、2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷 （全国理科数学（必修+选修n ）注意事项：1. 本试题卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上.3. 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.4. 非选择题必须使用 0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答.超出答题区域或 在其它题的答题

2、区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效.6. 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.参考公式：如果事件A, B互斥，那么球的表面积公式P（A B） = P（A） - P（B）S = 4tR2如果事件A, B相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件 A在一次试验中发生的概率是p，那么P(ALB) =P(A)_P(B)其中R表示球的半径n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率k kn _kFn（k） =Cn p （1 - p） （k =0,1,2,，n）、选择题1.

3、 sin 210 二()虫1A.B.C.2 2 22.函数y = sinx的一个单调增区间是（）C.（加）D.1 +2i3.设复数z满足i，则z-2iB .一2 iF列四个数中最大的是（A.4.C.2-i2(ln 2)B. In(ln 2)C.In、2D. In25 .在 ABC中，已知D是AB边上一点，若AdC.=2DB,CDCA ;CB，则=()32_36.不等式x-1x2 -4.0的解集是（A. (-2,1)B. (2,=)C.(-2,1)U(2,=)7.已知正三棱柱ABC - A BQ,的侧棱长与底面边长相等,则AB,与侧面ACC,A所成角的正弦值等于（已知曲线2vy3ln x的一条切

4、线的斜率为41，则切点的横坐标为（2B. 2C. 19.把函数y =ex的图像按向量a = （2,3）平移,得到y = f (x)的图像，贝U f(x)=(x -3e 2x-6 cB. e -2C.x -2e 3D. ex 2 -310.从5位同学中选派4位同学在星期五、 星期五有2人参加，星期六、星期日各有A. 40 种B. 60 种星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求 1人参加，则不同的选派方法共有（C. 100 种D. 120种2x11 .设F1, F2分别是双曲线a2y2的左、右焦点,b2若双曲线上存在点 A，使 F1AF2二90且 AF=3|AF2，则双曲线的离心率为（B.10

5、2C.152212 .设F为抛物线y则 FA F|fC =()=4x的焦点,B, C为该抛物线上三点，若 FA FB F 0 ,A. 9B. 6C. 4D. 3第H卷(非选择题)本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(1 f13. (1 2x2) x的展开式中常数项为.(用数字作答)I x J14. 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,匚2)(二 0).若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为 .15. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm 2 .Sn16

6、. 已知数列的通项 an - -5n 2，其前n项和为Sn,则lim二.n oO n 厶三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .(本小题满分10分)在厶ABC中，已知内角 A ，边BC=2、3.设内角B=x，周长为y.3(1)求函数y = f(x)的解析式和定义域；(2 )求y的最大值.18 .(本小题满分12分)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 A :“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 P(A) =0.96.(1) 求从该批产品中任取 1件是二等品的概率 p;(2) 若该批产品共100件，从中任意抽取 2

7、件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列.CEB19 .(本小题满分12分)如图，在四棱锥 S-ABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD丄底面ABCD, E, F分别为AB, SC的中点.(1) 证明EF /平面SAD ;(2) 设SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小.20. (本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以0为圆心的圆与直线 x_、.3y=4相切.(1)求圆0的方程;(2)圆0与x轴相交于 A, B两点，圆内的动点P使PA , P0 , PB成等比数列，求pAjPb的取值范围.21. (本小题满分12分)3 _a设数列an的首项(0,1), an = 2, n =

8、2,3,4,(1 )求an的通项公式；(2)设0二a.3-2an，证明bn : bn 1，其中n为正整数.22. (本小题满分12分)3已知函数f(x)=x -x .(1)求曲线y = f(x)在点M(t, f (t)处的切线方程；(2 )设a 0，如果过点(a, b)可作曲线y = f(x)的三条切线，证明： -a ： b ： f (a).2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(必修+选修H)参考答案评分说明：本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部

9、分的解答未改变该题的内容 和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.只给整数分数.、选择题1.2.3.4.选择题和填空题不给中间分.1. D2.7. A8.二、填空题3. C9. C4. D10.5. AB 11. B6. C12. B13.4214.0.815.三、解答题17.解：（1） ABC的内角和nA , B O, C 0得 0 ： B3应用正弦定理，知BC2品ACsin Bsin x 二 4sin x ,si nA兀sin 一3BCf2 兀A

10、Bsin C = 4sinxsi nAV 3因为y 二 AB BC AC，所以y =4sin x 4sin -x 2、, 3 0I 3 J I2兀:x :(2)(J1因为 y = 4 sinx cosxsinxI222.3jiji3 x 二5 :(5 /所以，当x，即x 时，y取得最大值6-、3 .62318. 解：（1）记A0表示事件“取出的 2件产品中无二等品”,A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.则A0, A1互斥，且A二人 A，故P(A) =P(A A)二 P(A。)P(A)2 1= (1 P) C2P(1-P)= 1-P2于是 0.96 =1 - p2 解得 Pi =0.2

11、, p2 = -0.2 (舍去).(2)的可能取值为01,2 .若该批产品共100件，由(1)知其二等品有100 0.2 = 20件，故P( =0)=C2C80C2316495P( =1) =10016049519495012P31649516049519495所以的分布列为19. 解法一：(1 )作FG / DC交SD于点G，则G为SD的中点.1连结 AG, FG X-CD，又 CD 丄 AB ,2故FG /AE, AEFG为平行四边形.EF / AG，又 AG 平面 SAD, EF 二平面 SAD. 所以EF /平面SAD .(2)不妨设 DC = 2，贝U SD = 4, DG 二 2,

12、A ADG 为等 腰直角三角形.取AG中点H，连结DH，则DH丄AG .又AB丄平面SAD，所以AB丄DH，而ABA AG二A , 所以DH丄面AEF .取EF中点M，连结MH，则HM丄EF .连结DM，则DM丄EF .故DMH为二面角 A-EF -D的平面角Ctan ZDMH =巴丄、2.HM 1所以二面角 A -EF -D的大小为arctan .2 .解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz .设 A(a,0,0,S(0,0, b)，则 B(a, a,0), C(0, a,0,取SD的中点G 10, 0,-I 2丿I 2丿EF =AG, EF / AG, AG 平面 SAD, EF

13、 二平面 SAD,所以EF /平面SAD .(2)不妨设 A(1,0,0)，则 B(1,0, C(0,0, S(0,0,2, E111 , ,0 -F 0, ,11 21 2EF中点M - - 1丄,MD12 2 2 丿MD1 - 4, -1 -席,。石- MD丄EF-EAlEf =0 - EA 丄 EF -所以向量MD和EA的夹角等于二面角 A - EF - D的平面角.cos ： MD,EA =mdLea = |mdea|J3 所以二面角 A-EF-D的大小为arccos空.320解：（1）依题设-圆 O的半径r等于原点O到直线x - -,3y = 4的距离-4 即 r2 .2 2得圆O的

14、方程为x y -4 .2(2)不妨设 A(x,), B(x2,0), x1 : x2 由 x =4 即得A(2,0, B(2,0) 设P(x, y)，由PA , PO , PB成等比数列，得,(x 2)2 y2LI (x2)2 y2 =x2 y2,即x2 _y2 =2 PALPB =(-2-x, - y)2-x, - y)2 2二 x -4 y -2(y2-1).由于点P在圆O内，故x2y2 : 4,2 2x -y -2.由此得y2 : 1 所以的取值范围为-2,0） 3 an i21.解：（1）由 an一 , n= 2,3,4,，1整理得1 -寺=-2（1一寺）-的等比数列，得2又1 - a

15、1 0，所以1 - a*是首项为1-3，公比为-(1厂an=1-(1-aJ -2(2)方法一：3由(1)可知 0 ： an ，故 bn 0 2那么，w2 2二 an 1 (3 - 2an 1) - an (3 - 细).2二宁 3-2 乎 一3；(3-细) 二警佝-1)2.4又由(1 )知 an 0且 an = 1，故 b； 1 - b；0 ,因为an :3 - 4 “ 2 ,所以bn1 =an1、.32an 1 =(3因此 bn : bn 1, n为正整数. 方法二：3由(1)可知 0 :： an, an = 1,由3 - an3an -1 可得 an(3 2an):2an (3 - 2an

16、) I3 _ aTla两边开平方得an 3 - 2an:冷叫an .即 bn bn 1, n为正整数.222解：(1)求函数 f(x)的导数；f(x)=3x -1 .曲线y = f (x)在点M (t, f(t)处的切线方程为:y - f (t) =f (t)(x-t),23即 y =(3t 1)x2t .(2)如果有一条切线过点(a, b)，则存在t ,使b =(3t2 -1)a -2t3.于是，若过点(a, b)可作曲线y = f (x)的三条切线，则方程322t -3ata b = 0有三个相异的实数根.记 g(t) =2t3 -3at2 a b ,则 g(t)=6t26at-6t(t -a).当t变化时，g(t), g (t)变化情况如下表:t(皿,0)0(0, a)a(a,)gt)+00+g(t)极大值a +b极