矩阵的概念和运算

1、1。4 矩阵的概念和运算教学要求 :(1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。(2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系教学内容：前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。一矩阵的概念它的系数行列式 此时Cramer法则失效，我们可换一种形式来表示：这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，孙子

2、兵法中说道：长方形阵为矩阵。这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵”而“”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。注意：虽然和很相像，但是区别很大。是行列式，实质上是一个数，而是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。关于以上线性方程组我们后面将介绍。更一般地，对于线性方程组：称为行列的矩阵，简称矩阵，有时标记在右下角。他的系数矩阵：1）当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；2）当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；3）当m=1时只有一行，即（a11 a12a1n）称之

3、为行矩阵（或行向量）；4）当n=1时矩阵只有一列，即称之为列矩阵（或列向量）；另外，行列式是由以上矩阵1，2两行和1，2两列上交点的四个元素组成的一个2阶行列式，称为该矩阵的二阶子式。二特殊矩阵（上三角）（下三角）上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵（对角）（次对角）（单位阵） （零矩阵）所有元素全为零，记为“单位阵”和“零矩阵”类似于数当中的1和0 。三矩阵相等例如，矩阵若A = B，则a11=1, a12=0, a13=9, a21=-3, a22=1, a23=-3四矩阵的四则运算过去我们学习的数、式子、极限、导数有四则运算法则，今后将学习的概率中的事件也有加法和乘法的运算，即事件的并和

4、事件的交。今天，数表矩阵也有加减乘除的四则运算法则。1加法（减法）即对应位置上的元素进行加减运算例1 设矩阵 ，求A+B，A-B.解：注意：与A，B则不能进行加法运算，可见，只有同型矩阵才能进行加减法运算。运算规则：（1）加法交换律 A + B = B + A；（2）加法结合律 （A+B）+C = A+（B+C）；2数乘一个数乘矩阵是这个数乘矩阵所有的元素，这点与行列式根本不同.例2 设两上32矩阵A，B为，求解： 先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A和2B的差因为 所以 运算规则：1分配率：数对矩阵的分配律k(A+B)=kA+kB，矩阵对数的分配律(k+)A=kA+A2结合率：数与矩

5、阵的结合律(k)A=k(A)= (kA)矩阵乘矩阵矩阵与矩阵相乘，两张表格拿来乘，不是简单的对应元素相乘，另有其规则。例3 矩阵乘矩阵，即左矩阵的行乘右矩阵的列得到的新矩阵的第行第列元素是原来左矩阵的第行元素与右矩阵第列元素乘积之和。解： 例4 解： 可见 ：1）矩阵乘法未必满足交换率 2）新矩阵与原矩阵关系型状上的规律性：新矩阵的行数与列数即为：原左矩阵的行数和原右矩阵的列数。 3）而原左矩阵的列数必须与右矩阵的行数相等，才能进行乘法。例5 设矩阵求AB和BA解： 例5中矩阵A和B都是非零矩阵，但是矩阵A和B的乘积矩阵AB却是一个零矩阵。这在数与代数式的运算中是没有的。矩阵的行列式矩阵A的行

6、列式称为矩阵的行列式，记为 或 。例如 则 特殊的，对于方阵乘积的行列式有如下非常类似于一般代数运算的运算律：若A与B均为阶方阵，则两个方阵乘积的行列式等于每个方阵行列式的乘积。即（证明略）例如= = 若两个矩阵A和B满足AB=BA，则称矩阵A和B是可交换的.练习： 因为即AB=BA，所以，矩阵A和B是可交换的。例6 设矩阵求AB和AC.解： 在例6中，显然不能从AB=AC中消去矩阵A而得到B=C。这说明矩阵乘法不满足消去律.一般地，当乘积矩阵AB=AC，且AO时，不能消去矩阵A而得到B=C。总之，矩阵乘法不满足交换律、消去律，但矩阵乘法与数的乘法也有相似的地方，即矩阵乘法满足下列运算规则：运

7、算规则：1、乘法结合律 （AB）C=A（BC）；2、左乘分配律 A（B+C）=AB+AC； 右乘分配律 （B+C）A=BA+CA；3、数乘结合律 k（AB）=（kA）B=A（kB），其中k是一个常数.特别地，当A是n阶矩阵时，我们记AAA=， m个称为矩阵A的m次幂，其中m是正整数。当m=0时，规定=E。显然有Ak Al =Ak+l，(Ak)l =Akl，其中k，l是任意正整数.由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地（AB）kAk Bk .例7 设矩阵求矩阵Am，其中m是正整数.解： 因为，当m =2时，设m = k时，则 所以，由归纳法原理可知五矩阵的转置将一个mn矩阵的行标和列标互换后所得的nm矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT或At即例如： ，有时列向量用转置来表示：容易验证矩阵的转置满足下列运算规则：(1)（AT）T=A；(2)（A+B）T=AT+BT；(3)（kA）T=kAT，（k为实数）；(4)（AB）T=BTAT.例8 已知 ，求解： = +4 =+4=+=