空间两直线的位置关系

1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,教学目的,1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面； 4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角,复习引入,1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系,2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系,1)、相交：有且仅有一个公共点,2)、平行：在同一平面内没有公共点,互相平行,提出问题：空间中的两条直线呢,1.空间中两条直线的位置

2、关系,观察,观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗,观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题,思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢,异面直线的定义,我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skewlines,想一想:怎样通过图形来表示异面直线,为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图,想一想,做一做,1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗,2. 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段

3、所在直线是异面直线的有几对,想一想,做一做,三对,AB与CD AB与GH EF与GH,3,空间两条直线的位置关系有且只有三种,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,空间中两条直线的位置关系,2.空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据,ab cb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的

4、规律,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形,分析,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只需证： EH BD且EH BD FG BD且FG BD,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形,变式一： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形,E,H,F,G,分析： 在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等,菱形,变式二,空间四面

5、体A-BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ， 求证:四边形ABCD为梯形,A,B,C,D,E,H,F,G,分析：需要证明四边形ABCD有 一组对边平行，但不相等,3.等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢,观察思考：如图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何,3.等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,3.等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,定理

6、的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等,4.异面直线所成的角,如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角,为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线aa，a和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角,想一想:a与b所成角的大小与点O的位置有关吗,4.异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab,5.异面直线的判定定理,异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平

7、面内不经过此点的直线是异面直线,与 是异面直线,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA和CC的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA和CC的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直,解：（2）由 可知， 等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450,3) 直线,与直线 都垂直,例3】空间四边形ABCD中，ABC

8、D且AB与CD所成的角为30，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小,思路分析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解,解：取AC的中点G，连接EG、FG， 则EGAB，GFCD， 且由ABCD知EGFG， GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角 AB与CD所成的角为30， EGF30或150,由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时， GEF75； 当EGF150时，GEF15. 故EF与AB所成的

9、角为15或75,1)求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交平移直线的方法有：直接平移，中位线平移，补形平移 (2)求异面直线所成角的步骤： 作：通过作平行线，得到相交直线； 证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； 求：通过解三角形，求出该角,求异面直线的方法,答案：C,例4】长方形ABCDA1B1C1D1中，AB8，BC6，在线段BD，A1C1上各有一点P，Q，在PQ上有一点M，且PMMQ，则M点的轨迹图形的面积为_,创新题型,答案：24,变式迁移4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，C

10、C1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线() A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条,解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点的如下图： 答案：D,1刻画平面性质的三个公理是研究空间图形进行逻辑推理的基础，三个公理是立体几何作图的依据，通过作图(特别是截面图)的训练，可加深对公理的掌握与理解其中确定平面的公理2是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据

11、,规律总结,2注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能够从集合的角度阐述点、线、面之间的联系，证明共点、共线或共面问题常用归一法，如多线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证其余直线都经过这点 3异面直线是立体几何的重点和难点之一，对其定义要理解准确，有关异面直线的论证，经常要用反证法；异面直线所成的角，常通过平移，使两异面直线移到同一个平面的位置上来求,4平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“同垂直于一条直线的两条直线平行”等在空间就不正确而有些命题推广到空间还是正确的，如平行线的传递性及关于两角相等的定理等所以将空间

12、图形问题类比平面图形问题是本章复习的重要方法，如(1)公理4是平面内平行传递性的推广；(2)等角定理是由平面图形推广到空间图形；(3)从直线与直线、直线与平面的位置关系，类比联想平面与平面的位置关系；(4)两个平面互相垂直与两条直线互相垂直概念的类比,练一练,巩固新知：P48页练习1,2题,例3:如图， 是平面 外的一点 分别是 的重心， 求证：,证明：连结 分别交 于 ,连结 , G,H分别是ABC,ACD的重心,M,N分别是BC,CD的中点, MN/BD, 又 GH/MN,由公理4知GH/BD,练习反馈,1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直

13、线平行.（ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（,练习反馈,2选择题 （1）“a，b是异面直线”是指ab=,且a不平行于b；a 平面a，b平面b且ab= a平面a，b平面a不存在平面a，能使aa且ba成立 上述结论中，正确的是（） （A） （B） （C） （D,2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（） （A）2对 （B）3对（C）6对（D

14、）12对,C,C,3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行（B）相交 （C）异面（D）相交或异面,3两条直线互相垂直，它们一定相交吗,答：不一定，还可能异面,D,D,4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系,答：三种：相交，平行，异面,5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线,6选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ） （A）异面（B）平行 （C）相交（D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足aa,bb,ab=l, 则l与a,b的位置关系一定是（,A)l至多与a