南京理工大学高等数学历年期末试卷

1、2009级（下）A卷一：填空与选择题(每空3分，共30分)1. 一动点到的距离为到平面的距离的一半, 则动点的轨迹方程是_。2. 由方程所确定，则=_ 。3. 改变积分顺序_ _。4. 若级数收敛，则= _。5 为圆周, 则积分=_。6 方程的通解是_。7 设，则= ( ) 0 8. 下列级数中收敛的是( ) 9. 设是半球面()，则的值为( ) 10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为： ，则该微分方程的通解可表达为( ) 二： （9分） 求过点且通过直线的平面方程。三： （8分）设的二阶偏导连续, ,求。四： （9分） 求微分方程的通解。五：（9分）计算, 其中D是由直线围成的闭

2、区域。. 六：（9分）计算，其中是从到的上半圆周。七：（分）将函数，展开为的幂级数并给出收敛域八：（9分）在平面上求一点，使它到及三条直线的距离平方之和为最小。九：（9分）设曲面为抛物面，取上侧, 计算2008级（下）A卷一：填空题1 曲面在处的切平面方程是_。2 曲线： 绕轴旋转所形成的旋转曲面的方程为 。3 函数由方程所确定,则= 。4 累次积分交换积分次序后， 。5 设是上从,到的一段弧, 则_。6 微分方程的特解形式是_。7 幂级数的收敛区间是 8 直线：与平面：的关系是 。 平行； 垂直相交； 在上； 相交但不垂直。9 下列级数中，发散的是。 ； ； ； ；二： 设，其中有二阶连续导

3、数,有二阶连续偏导数，求。三：将函数展开成的幂级数。四：计算，其中D为由不等式确定。五：计算，其中是下半球面 取上侧.六：判断级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。七： 求解方程。八： 将长为的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。九：设是单连通区域，函数在区域上一阶偏导是连续的，证明：在区域内是某函数的全微分的充要条件是 在区域内恒成立。2007级（下）A卷一：填空题1设，则。2级数3曲面在处的切平面方程是。4设是及所围成的闭区域，则在柱坐标系下的三次积分是。5设是直线 在与的一段，则=。6设是以为周期的周期函数，在上，它的级

4、数为则=。7幂级数的收敛区间（不考虑端点收敛性）是。8方程的通解是。9 交换二重积分的积分次序。10微分方程满足初始条件的特解为。11的麦克劳林级数为。12若，其中：，；，其中： 则。 ；二：求过点且通过直线的平面方程。三：已知，其中均可微，求。四：求函数的极值。五：计算，其中是从到的上半圆周。六：求球面与锥面所围的包含球心的那部分区域的体积。七：计算，其中为的下侧。八：设可微函数在上满足，求。九：设，且存在，证明：当时，级数收敛。2006级（下）A卷一 填空 （每小题3分 共15分 ）1 曲面在点的切平面的方程为_。2 设隐函数是由方程确定的，则 。3 设是平面在第一卦限部分，则。4 设周期

5、为，且 ，是的级数的和函数，则_。5 设幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为 。二 选择（每小题2分 共10分 ）1 设是平面区域，则下面说法正确的是（ ）（A ）若在上可微，则的一阶偏导在上一定连续；（B） 若在上一阶偏导存在，则在上一定可微；（C） 若在上一阶偏导存在，则在上一定连续；（D） 若在上与均连续，则。2 下列级数中绝对收敛的级数是 （ ）（A）； （B）; （C）; （D）。3 直线过点且与直线垂直相交，则交点的坐标是（ ）（A） ； （B）； （C）； （D）。4 方程 表示 。 (A) 单叶双曲面； （B） 双叶双曲面 ； （C） 锥面 ； （D） 旋转抛物面。5 一阶

6、微分方程的类型是（ ）（A）全微分方程； （B） 可分离变量方程；（C）齐次方程； （D）一阶线性微分方程。三()设是具有二阶连续导数的函数，求。四（）计算，其中是直线及双曲线所围区域。五（）修建一个容积为V的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。六（）求微分方程的通解。七（）计算 ，其中是由曲面及所围的空间区域。八（）求，其中是曲线，取逆时针方向。九(）计算曲面积分，其中是锥面介于之间的部分，而是在处的外法线向量的方向余弦。十（）已知如下命题成立：设是单调减少的正数列，级数收敛当且仅当收敛。请用此命题证

7、明当时发散，而当时收敛；证明所给的命题。2006级（下）B卷一 填空（每小题3分，共15分）1 设，则。2 方程的满足的特解为_。3 曲线在点的切线方程为 _。4 幂级数的收敛域为 _。5 设是周期为的函数，且，其级数为 ，则（要计算出结果）。二 选择（每小题3分，共15分）1 若 且，则必有_。（A）； （B）； （C）； （D）。2 下列命题正确的是（ ）。（A）若发散,则必有；（B）若收敛,发散,则必发散；（C）若部分和数列有界,则必收敛；（D）若绝对收敛,则条件收敛。3 对于，如果在区域上_，则的全微分存在。（A）存在； （B）连续且存在；（C）存在且连续； （D）以上答案都不对。4

8、设是由球面和所围的空间区域，则（A） ； （B）；（C）； （D）。5 方程的特解形式为（A）； （B）；（C）； （D）。三（7 分）求过点且与直线和都平行的平面方程。四（9分）设是具有二阶连续偏导的函数，求。五（9分） 长为的铁丝分为两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问怎样分才能使正方形与圆的面积和最大？六（9分）将函数展开成的幂级数。七（9分）计算，其中为抛物线与直线所围的区域。八（10分）求曲面积分，其中为抛物面 位于部分的上侧。九(10分) 设具有二阶连续导数，在整个平面区域积分与路径无关，求。十（7分）设在上连续，利用二重积分证明：2005级（下）A卷一、填空题：(14分) 1

9、设函数则。2 已知则的夹角为。 3 微分方程的特解形式为。 4 设向量场则。 5 幂级数的收敛半径为。 6 设以为周期，则的级数在处收敛于。7 是球面在部分，取外侧，则。二 （6分）在有界闭区域上的二元函数一定能取到最（大，小）值吗？若能，请问 可能在那些点取最值，并给出在上求最值的一般步骤。三 （6分）设平面区域由曲线与直线所围成，计算二重积分。四（6分）计算，其中由所围。五（8分）设曲线：计算第一型曲线积分。六（8分）计算其中是抛物线上从到 的一段弧。七（8分）已知具有二阶连续导数的函数在的偏导数为求在点的二阶偏导数。八（8分）求微分方程的特解：。九（8分）过直线作曲面的切平面，求此切平面

10、的方程。十（8分）利用的幂级数展开式，求级数的和。2004级（下）A卷一、填空题：(20分)1曲线在处的法平面方徎为_。2点()到平面的距离为_。3设平面过点.则平面方程为_。4已知,则=_。5交换积分的积分次序为_。6设：则=_ 。7函数, 则。8设函数是以为周期，且()，的级数为，则。9设是以为周期的奇函数，其级数为，则级数= 。10下列四个命题：（1）.若级数发散，则级数也发散；（2）.若级数 发散，则级数也发散；（3）.若级数收敛，则级数也收敛；（4）.若级数收敛，则级数也收敛。上述正确的命题是_。二（8分）求函数的极值，并指出是极大值，还是极小值。三（8分）求级数的收敛域和它的和函数

11、。四（8分）计算，其中是抛物线上自点到的一段弧。五（8分）计算曲面积分,其中是由锥面 与半球面所围立体的表面外侧。六（10分）求下列方程的通解。1.; 2. 七（8分）两个物体A、B的形状如图（一），体积相等，物体A是由抛物面（）和平面（）所围。物体B是柱体，它的母线平行于轴，底面是由所围的平面区域，求柱体B的高。ajxytnOL八.（5分）设有二阶连续导数，为光滑的简单闭曲线的外法向量（如图二），为围成的区域，有人利用切向量和外法向量的夹角的关系，以及格林公式，证明了如下结论：。若你认为是正确的，请给出证明过程；若你认为是错误的，请推理出正确的结论。九.（5分）证明不等式：。2003级（下）

12、A卷一、 判断题：（对的划“”，错的划“”，每题1分共14分）1 二元函数f在P点可微，则f在P点连续。2 二元函数f在P点的偏导数存在，则f在P点可微。3 ，在上可积，则等式 成立。4 若存在，则和一定相等。5 ，其中为两个向量。6 方向向量的方向余弦为，在的偏导数存在，则。7 三个向量的混合积的绝对值就是以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。8 两个向量的向量积就是以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。9 是函数的极值点，则一定是函数的驻点。10 级数收敛，其中，则成立。11 微分方程是二阶微分方程。12 是以为周期的连续的奇函数，则它的傅立叶级数展开式是余弦级数。13 收敛，则级数一定收

13、敛。14 幂级数的收敛域为。二、计算题（1）（每小题4分共8分）1，求： 2. 设是周期为的周期函数，它在区间上定义为,求的傅立叶级数的和函数。三、计算题（2）（每小题4分共8分）1求。2. 求过点M(1，2，1)且平行于直线的直线方程。四（6分）已知,具有二阶连续偏导数，求五.（6分）把二重积分化为两种次序（先后、先后）的二次积分，其中由、和所围。六（8分）计算，其中为从到的顺时针方向的上半圆弧：。七（8分）计算，其中为曲面被平面所截下的下面部分，且它的方向向下（注：坐标系的轴正向是向上的）。八（8分） 求微分方程的通解。九（8分）求经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标平面所围成的立体(在第

14、一卦限）的体积为最小，并求其最小值。十（6分）设正项数列 单调减少，且级数发散，试问：级数是否收敛？并说明理由。2008级（下）A卷一 填空与选择题(每空3分，共30分)1 ; 2 ; 34 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 二（9分） 解：在直线取点，则已知直线的方向向量为 设所求平面的法线向量与向量 . 所求平面的方程为: 即 三（8分） 解 四 （9分）解：对应齐次方程的特征根为：，故对应齐次方程的通解为：。自由项，不是特征根。所以方程特解为：。代入方程解得，。所以，故方程的通解为：。五 （9分）解 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: 0x1, 0y x于是六 （9分

15、）解 附加有向线段：从3到-3 原式 七 （8分）解： 收敛域满足解出得八（9分） 解：设所求点为，则它到三已知直线的距离分别为，令。得驻点为，此时取极小值，且驻点唯一，从而为最小值，点即为所求九（9分） 解：补充平面取下侧，则与围成空间区域于是 2008级（下）A卷一：1 ； 2 ； 3 ；4 ； 5 ；6 ； 7 ； 8 ； 9 ；二： 三 ：, 四：的极坐标表示是：，故五：设 取下侧，则由高斯公式得 :而.因此。六： 级数是条件收敛的。由于, 令 ，则是单调减少且区域0的数列,因此交错级数收敛，另一方面 当时, ,而 ,又发散,因此 原级数条件收敛。七：方程变形得：，这是齐次方程。令得：

16、，代入方程得：由原方程知，因此，对上式积分，得： 即故方程的通解为：八：设剪成的三段分别为，则围成的面积之和为，且这是条件极值问题。作函数为 由 得条件驻点，其中 由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。所求的最小面积为九：下册207页。2007级（下）A卷 一：1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 0； 7 ； 8 ；9 ； 10 ；11 ； 12 。二：， ，即。三：四：，令，得驻点：。，故在处取极小值。五：添加：从6到。，六：七：添加：，取上侧。八：当时，可分离变量方程，解得，又，当时，故九：取，且，存在，当时， ，故收敛。2006级（下）A卷 答案一 1 ； 2 ； 3

17、 ； 4 ； 5 。二 D A B D C三 。四 五 设地面每个单位造价为1，则墙壁和仓顶分别为 2， 3。 设长宽高分别为， 则现在的要求是 ：在约束下的极值。考虑，则条件极值点满足以下方程组：由上述方程组可解得：，根据实际情况可知，此时造价最小。六 特征方程为：， 对应的齐次方程的通解为： 设特解为，代入到原方程化简可得： 原方程的通解为：。 七 由及，得 ，于是 。八 原式，（格林公式）九 原式，取外侧，设：，取上侧，则而 ，于是 原式。十1 设，则，于是由已知的敛散性与等比数列敛散性一致。因此当时原级数发散，而当时收敛；2令，当设是单调减少的正数列时，有 由比较判别法，收敛当且仅当收

18、敛，即收敛当且仅当收敛。2006级（下）B卷 答案一1 ； 2 3 ； 4 ； 5 。二 D B C B A.三 两条直线的方向向量分别是： 于是所求平面的法向量是 因此所求平面的方程为 四 ， 五 设长为的铁丝用来围正方形，长为的铁丝用来围圆，则其面积和为，约束条件为，设 ，则极值点满足方程 ， 解得：根据实际情况，可知此时面积和取得最大值。六 七 抛物线与直线的交点为。于是八 设：的下侧，为所围的空间区域。则由公式可得而 ，于是 原式。九 根据曲线积分与路径无关的条件可得：这是一个常系数二阶非齐次方程，对应得齐次方程得通解为：，设非齐次方程得特解为 ，代入方程可得：比较系数可得 于是齐次方程的通解为：，又得 于是。十 设在上连续，则在上连续， 。2005级（下）A卷 答案一 二 一定能取到最值，可能在驻点，不可导点及边界