1.2.2组合(教案)(最新整理)

1、教学目标：1 22 组 合12知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数 am 与组合数 cm 之间的联系，掌握组合数公nn式，能运用组合数公式进行计算。情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：1 分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种

2、不同的方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法那么完成这件事共有n = m1 + m2 +l+ mn 种不同的方法2. 分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有 n = m1 m2 l mn种不同的方法3. 排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列4. 排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素的所有排列的个数

3、叫n做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号 am 表示n5排列数公式： am = n(n -1)(n - 2)l(n - m +1) （ m, n n *, m n ）6 阶乘： n!表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘规定0! = 1n7. 排列数的另一个计算公式： am =n!(n - m)!8. 提出问题：示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例 1 中不但要

4、求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例 2只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的引出课题：组合二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同例 1判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2） 高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3） 从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同

5、的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2. 组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m (m n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 nn个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号cm 表示10例 2用计算器计算c 7 解：由计算器可得例 3计算：（1） c 4 ；（2） c 7 ；（1）解：7c=47 6 5 474!1035；10（2）解法 1： c7 =10 9 8 7 6 5 47!120710!

6、10 9 8解法 2： c10 = 7!3! =1203!第二课时3. 组合数公式的推导：4（1） 从 4 个不同元素 a, b, c, d 中取出 3 个元素的组合数c 3 是多少呢？4启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 a3 可以求得，故我们可以考察一下c 3 和 a3 的关系，如下：44组 合排列abcabc,bac,cab,acb,bca,cbaabdabd ,bad ,dab,adb,bda,dbaacdacd ,cad ,dac,adc,cda,dcabcdbcd ,cbd ,dbc,bdc,cdb,dcb4由此可知,每一个组合都对应着 6

7、 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 a3 ，可以分如下两步： 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有c 3 个； 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 a3 种方法由分步计数原理得：43a3a3 c 3 a3 ，所以， c 3 = 4 a443433n（2） 推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 am ，可以分如下两步：n 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数cm ； 求每一个组合中 m 个元素全排列数 am ，根据分步计数原理得： am cm am m（3） 组合数的公式：nnmamcm = n =

8、n(n -1)(n - 2)l(n - m +1)amnmm!n或cm =n! m!(n - m)!(n, m n * ,且m n)规定:c 0 = 1.n三、讲解范例：mm + 1m+1例 4求证： c n = n - m c nn证明： cm =n! m!(n - m)!m +1 c m+1 = m +1 n! n - mnn - m (m +1)!(n - m -1)!m +1n! (m +1)! (n - m)(n - m -1)!n!m!(n - m)!mm + 1m+1x+1 c n = n - m c n例 5设 x n + ,求cx-1 2 x-3+ c 2 x-3 的值解：由

9、题意可得： 2x - 3 x - 1x + 1 2x - 3，解得2 x 4 ， x n+ ， x = 2 或 x = 3 或 x = 4 ，当 x = 2 时原式值为 7；当 x = 3 时原式值为 7；当 x = 4 时原式值为 11所求值为 4 或 7 或 11第三课时例 6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11 人问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17

10、 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 c 手 12376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：17第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有c 11 种选法；11第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有c 1 种选法所以教练员做这件事情的方法数有1711c 11c 1 =136136（种）.例 7（1）平面内有 10 个点，以其

11、中每 2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即线段共有c 2 = 10 9 = 45 （条）.101 2(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段共有10a 2 = 10 9 = 90 （条）.例 8在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽

12、出 3件 . (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有c3 = 100 99 98 = 161700 （种）.1001 2 32(2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有c 1 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品98的抽法有c 2 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有c 1c 2 =9506(种).298(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有

13、1 件次品和有2 件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有c 1c2 种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有298c 1c 2 + c 2c 1 =9 604 （种） .298298解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即c 3 -c 3 =161 700-152 096 = 9 604 （种）.10098说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变式：按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？（1）甲、乙

14、、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多 2 人当选；（6）甲、乙、丙三人至少 1 人当选；例 9（1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？解： c 2 c 2 c 2 = 90 642（2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成 2 类：5 4第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有c 2c 2 = 60 中选法；5 4第二类 3 名男生和 1 名女生参加，有

15、c3c1 = 40 中选法依据分类计数原理，共有 100 种选法5 4 6错解： c 2c1c1 = 240 种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多例 104 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3 男，2 男 1 女，1 男 2 女，分别有c 3 ， c 2 c1 ，c1 c 2 ，44646所以，一共有c 3 + c 2 c1 + c1 c 2 100 种方法44646106解法二：（间接法） c 3 - c 3 = 100第四课时组合数的性质 1： cm = cn-m nn一般地，从 n 个

16、不同元素中取出 m 个元素后，剩下 n - m 个元素因为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合，与剩下的 n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，等于从这 n 个元素中取出 n - m 个元素的组合数，即：cm = cn-m 在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想nnn证明： c n-m =n!=(n - m)!n - (n - m)!n! m!(n - m)!又 cm =n!， cm = cn-mnm!(n - m)!nnn说明：规定： c 0 = 1 ；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用：当

17、 m n 时，计算cm 可变为计算cn-m ，能够使运算简化.2例如c 2001 c 2002-2001 c1nn=2002；200220022002 c x = c y x = y 或 x + y = n nn2. 组合数的性质 2： cm cm + cm-1 一般地，从 a1, an+12 ,l , ann+1nn+1这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是cm，这些组合可以分为两类：一类含有元素 a1 ，一类不含有 a1 含有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,l , an+1这 n 个元素中取出 m -1 个元素与 a 组成的， 共有 cm-1 个； 不含有 a 的组合是从

18、1n1a2 , a3,l , an+1这 n 个元素中取出 m 个元素组成的，共有cm 个根据分类计数原理，可以n得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想证明： c m + c m-1 =n!+n!= n!(n - m + 1) + n!m= cnnm!(n - m)!(m -1)!n - (m -1)!m!(n - m + 1)! cm= (n - m +1+ m)n! =m!(n - m +1)! cm + cm-1 (n +1)!m!(n - m +1)!m n+1n+1nn说明：公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和，等于下标

19、比原下标多 1 而上标与大的相同的一个组合数；此性质的作用：恒等变形，简化运算例 11一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球，（1） 从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？（2） 从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？（3） 从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1） c 3 = 56 ,或c 3 = c 2 + c 3 ，；（2） c 2 = 21；（3） c 3 = 35 887777例 12（1）计算： c 3 + c 4 + c 5 + c 6 ；7789（2）求证： cn cn + 2cn-1 + cn-2 m+2mmm解：

20、（1）原式= c 4 + c5 + c6 = c5 + c6 = c6 = c 4= 210 ；889991010证明：（2）右边= (cn + cn-1) + (cn-1 + cn-2 ) = cn+ cn-1 = cn= 左边mmmmm+1m+1m+2例 13解方程：（1） c x+1 = c 2x-3 ；（2）解方程： c x-2 + c x-3 =1 a3 1313x+2x+210x+3解：（1）由原方程得 x +1 = 2x - 3或 x +1+ 2x - 3 = 13， x = 4 或 x = 5 ，1 x +1 131又由 2x - 3 13 得2 x 8 且 x n * ，原方

21、程的解为 x = 4 或 x = 5x n *上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 x = 4 和 x = 5 代入检验,这样运算量小得多.x-213513(x + 3)!(x + 3)!（2）原方程可化为cx+3= 10 ax+3 ，即cx+3 = 10 ax+3 ， 5!(x - 2)! =，10 x!1=1，120(x - 2)!10 x(x -1) (x - 2)! x2 - x -12 = 0 ，解得 x = 4 或 x = -3 ， 经检验： x = 4 是原方程的解第五课时例 14证明： cn c p = c p cn- p 。m nmm- p证明：原式左端可看成一个班有 m

22、 个同学，从中选出 n 个同学组成兴趣小组，在选出的 n 个同学中， p 个同学参加数学兴趣小组，余下的 n - p 个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在 m 个同学中选出 p 个同学参加数学兴趣小组，在余下的 m - p个同学中选出 n - p 个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 15证明： c 0cm + c1cm-1 + +cmc 0= cm（其中 n m ）。n mn mnmm+n证明：设某班有 n 个男同学、 m 个女同学，从中选出 m 个同学组成兴趣小组，可分为m + 1 类：男同学 0 个，1 个， m 个，则女同学

23、分别为 m 个， m - 1 个，0 个，共有选法数为c 0cm + c1cm-1 + +cmc 0 。又由组合定义知选法数为cm，故等式成立。nmn mnmm+n例 16证明： c1 + 2c 2 + 3c 3 + +ncn = n2n-1 。nnnn证明：左边= c1 + 2c 2 + 3c 3 + +ncn = c1c1 + c1c 2 + c1c 3 + +c1cn ，nnnn1 n2 n3 nn n其中c1ci 可表示先在 n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数。设某班有 n 个同in学，选出若干人（至少 1 人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数i

24、 分类（ i = 1，2， ，n ），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有 n 种选法，再决定剩下的 n - 1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n-1 种，所以选法总数为 n2n-1 种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 17证明： c1 + 22 c 2 + 32 c 3 + +n 2cn = n(n + 1)2n-2 。nnnn证明：由于 i 2ci = c1c1ci 可表示先在 n 个元素里选 i 个，再从 i 个元素里选两个niin（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例 3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。

25、对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有 n2n-1 种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n - 1)2n-2 种选法。共有 n2n-1 + n(n - 1)2n-2 = n(n + 1)2n-2 种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 18第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支球队有幸参加，他们先分成 8 个小组循环赛，决出 16 强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总

26、共将进行多少场比赛？4答案是： 8c 2 + 8 + 4 + 2 + 2 = 64 ，这题如果作为习题课应如何分析解：可分为如下几类比赛：小组循环赛：每组有 6 场，8 个小组共有 48 场；八分之一淘汰赛：8 个小组的第一、二名组成 16 强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出 8 强，共有 8 场；四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8 强中每两个队比赛一场，可以决出 4 强，共有 4场；半决赛：根据抽签规则，4 强中每两个队比赛一场，可以决出 2 强，共有 2 场；决赛：2 强比赛 1 场确定冠亚军，4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名 共有 2 场.4综上，共有8c 2 + 8

27、+ 4 + 2 + 2 = 64 场四、课堂练习：1. 判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1） 从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？（2） 从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2. 7 名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）a 42b 21c 7d 63. 如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）a 15 对b 25 对c 30 对d 20 对4. 设全集u = a, b, c, d，集合 a 、 b 是u 的子集，若 a 有3 个元素， b 有

28、2 个元素，且a i b = a，求集合 a 、 b ，则本题的解的个数为（ ）a 42b 21c 7d 35. 从6 位候选人中选出2 人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法6. 从6 位同学中选出2 人去参加座谈会，有 种不同的选法7. 圆上有 10 个点：（1） 过每 2 个点画一条弦，一共可画条弦；（2） 过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画个圆内接三角形8（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸 n 五边形有 条对角线9计算：（1） c3 ；（2） c3 c 4 156810. a, b, c, d, e 5 个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互

29、不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11. 空间有 10 个点，其中任何 4 点不共面，（1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？ 12壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13写出从 a, b, c, d , e 这5 个元素中每次取出4 个的所有不同的组合答案：1. （1）组合, （2）排列 2. b3. a4. d5. 306. 157. （1）45（2） 1208. （1）5（2） n(n - 3) / 229. 455；710. 10；201011. c3= 120 ； c 4= 21

30、010444412. c1 + c 2 + c3 + c 4 = 24 -1 = 1513.a, b, c, d ；a, b, c, e ；a, b, d , e ；a, c, d , e ；b, c, d , e五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理学生探究过程：（完成如下表格）名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点名 称排列组合定义种数符号计算公式关系性质，六、课后作业：七、板书设计（略） 八、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握， 许多学生

31、面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时， 可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。教科书在研究组合数的两个性质 cm = cn-m ， cm = cm + cm-1 时，给出了组合nnn+1nn数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。教学反思：1 注意区别“恰好”与“至少”从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种2 特殊元素（或位置）优先安排将 5 列车停在 5 条不同的轨道上，其中 a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两