对一道思考题及其“答案”的思考

1、对一道思考题及其“答案”的思考特征码标签:特征码人教版小学实验课本数学第六册第页有这样一道思考题：“在钉子板上围图形。通过个钉子可围几种不同的形状？通过个钉子可以围几种不同的形状？”（附图 图）对这道题，“教参”（人教版小学数学第六册教师教学用书）给的答案（下称“参考答案”）是：“通过个钉子：三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。其中可能有等腰三角形，但不可能围 出等边三角形。）通过个钉子：四边形（一般四边形、正方形、长方形、平行四边形等。）以上每种图形，由于大小不同，可能会有很多，只要学生围出即可。”下面谈一谈，笔者对上述思考题及参考答案的几点思考。思考一 参考答案对不对？笔者认为，参

2、考答案是有毛病的。因为：第一，小学三年级学生还没有学习“直（锐、钝）角三角形”和 “等腰（等边）三角形”等概念（这些概念是四年级的学习内容）。因此他们是看不懂上述参考答案的。第二 、参考答案对“不同的形状”的含义有曲解之嫌。我们知道，形状相同（或不同）的图形一般是指相似（或不 相似）的图形，因此，对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，就应该理解为“可以围几种不相似的 图形”。而不应该理解为“可以围几种不同类别的图形”（因为同类别的图形不一定同形状。例如，图中的 个三角形是同属“钝角三角形”这一类图形的，但却不相似即不同形状）。容易看出，参考答案就是这后一 种理解的产物，这样的答案是难以令

3、人置信的。第三、对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，理当 以确切的数据给予回答，但参考答案最后却以“可能会有很多”一言以蔽之，这也是不妥的。思考二 不同形状知多少？前述思考题是一个颇为复杂的问题。下面我们来看，通过个钉子可以围几种不同形状即不相似的三角形 。为叙述方便，我们把钉子板上的钉子记为点，（下标和分别为行序号和列序号， ，。如点，即表示位于第三行第二列的那个钉子），并把同行（列） 相邻两点间距离设为“”。可以看出，所围三角形可分为下列几类：（）短边长为的三角形（附图 图）这类三角形为数甚多是显然的。我们关心的是：它们共有几种不同的形状？这可以通过寻找“代表”（每 一种形状找一个

4、三角形充当“代表”）的途径来解决。这个寻找“代表”的工作是一项十分细致且设计性很强 的工作（要保证所寻“代表”不漏不重）。此处，我们可以取以线段，为边、图中 的任一加圈点“”为顶点的三角形为“代表”。容易看出，这样的代表共有个，它们是互不相似即形状 互不相同的。并且，在短边长为的这一类三角形中，已不再存在形状不同于这个“代表”的其它三角形 了。由此可知，这类三角形共有种不同的形状。（附图 图）在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也能找到个（以线段，为边、图 中任一加圈点“”为顶点的三角形以及，、， ，、，、， ）。因此，这类三角形也有种不同的形状。（附图 图）在这类三角形中，不同形状的“代表

5、”一共有个（以线段，为边、图中任 一加圈点“”为顶点的三角形以及，、， ，、，、，） 。因此，这类三角形共有种不同的形状。（附图 图）在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有个（以线段，为边、图中任一 加圈点“”为顶点的三角形以及，、， ，）。因此，这类三角形共有种不同的形状。（附图 图）在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有个（以线段），为边、图中任 一加圈点“”为顶点的三角形）。因此，这类三角形共种不同的形状。（附图 图）在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也有个（以线段，为边、图中任 一加圈点“”为顶点的三角形）。（）短边长为的三角形（附图 图）这类三角形只有一种形状，图中的三角形是

6、它们的“代表”。容易看出，通过个钉子的三角形只有上述七类。在这七类三角形中，我们一共找到了（ ）即个“代表”。现在的问题是：在这个代表中，尽管“同类代表”（产生于上 述某一类三角形中的代表）的形状是互异的，但那些“不同类代表”（产生于上述某几类三角形中的代表）的 形状是否互异呢？细细审察可以发现：上述（）中的代表，、 ，分别与（）中的代表，、 ，相似；（）中的代表，和 （）中的代表，均与（）中的代表， ，相似。因此，就上述七类三角形之总体而言，不同形状的代表应该是（）即个。至此即知，通过个钉子一共可以围种不同形状的三角形。通过个钉子围图形，情况会更复杂一些，此处就不细述了。思考三 如何处置这道题由上述讨论显而易见，将前述思考题编排在小学三年级课本中是绝对不合适的。那么，这道题究竟如何处 置为宜呢？笔者觉得，下列几点意见是值得考虑的。（）保持原题的文字部分，而将示意图中的点由个改变为个（三行三列）。将这一改编题仍旧放 在前述课本的第页作思考题；（）不改变示意图，而将原题所提问题改变为“通过（或）个钉子可以围出哪几类三角（或四边） 形？”将这一改编题放在四年级第七册课本“练习四十一”的末尾（此时，学生刚好学习了“三角形的分类” 、一般四边形和几种特殊四边形等内容）作思考