等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法

1、等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第1节 ：等差数列的公式和相关性质1、 等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：（d为公差）（，）注：下面所有涉及，省略，你懂的。2、等差数列通项公式： ，为首项，为公差 推广公式： 变形推广：3、等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式： （其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列

2、的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 （2）等差中项：数列是等差数列 （3）数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6、等差数列的证明方法 定义法：若或(常数) 是等差数列7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）8、等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函

3、数且常数项为0。（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。 （4）、为等差数列，则都为等差数列 (5) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 (6) 数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列 （7）、的前和分别为、，则 （8）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和，当然也有，则 (9)求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前

4、项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为注意：，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当的情况。解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运

5、用）第2节 ：等比数列的相关公式和性质1、 等比数列的定义：，为公比2、 通项公式：，为首项，为公比推广公式：， 从而得3、等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4、等比数列的前n项和公式：(1) 当时， (2) 当时， （为常数）5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列（3） 通项公式：为等比数列（4） 前n项和公式：为等比数列6、 等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列7、等比数列相关技巧：（1）等比数列的通项

6、公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：如奇数个数成等比，可设为，（公比为，中间项用表示）；注意隐含条件公比的正负8、等比数列的性质：(1) 当时等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数，底数为公比前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若(),则。特别的,当时,得注：(4) 列,为等比数列,则数列,

7、 (k为非零常数) 均为等比数列。(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列，成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, 成等比数列(9) 当时， 当时，, 当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当q0时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,。 (11)若是公比为q的等比数列,则注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比的特殊情况。解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等比数列的性质，一般

8、地运用性质可以化繁为简，减少运算量。关于等差、等比两个引申：模式（其中为常数，）；模式（其中为常数，）在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：例1 已知数列，有（），则求该数列的通项公式 解题大致思路：先设，则对于，那么我们就可以构造数列为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：构造新数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当的这种情况了吗？例2 已知数列，有（），求该数列的通项公式解题的大致思路：（），相信你已经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。第3节 ：数列的求和方法（引用别人的，稍加改进）一、教学目标：

9、1、熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3、熟记一些常用的数列的和的公式二、教学重点：特殊数列求和的方法三、教学过程：（一）主要知识：1、直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含参数时一定要讨论）2、公式法： （证明利用立方差公式，将，错位相消即可整体得出） （证明利用4方差，原理同上）3、错位相减法：比如4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ； 5、分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等

10、比数列，再求和。6、合并求和法：如求的和。7、倒序相加法：如求的和。8、其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等等（二）主要方法：1、求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2、求和过程中注意分类讨论思想的运用；3、转化思想的运用；（三）例题分析：例1求和： 求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n项和思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：（1）当时，（2）当总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。2、错位相减法求和例2已知数列，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。解： 当 当3、裂项相消法求和例3.求和思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: 练习:求 答案: 4、倒序相加法求和例4求证：思路分析：由可用倒序相加法求和。证：令则 等式成立5、其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5已知数列。思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：，若若预备：已知成等差数列，n为正偶数，又，试比较与3的大小。解：可求得，n为正偶数，（四）巩固练习：1求下列数列的前项和：（1）5，55，555，5555，； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：（1）（2），（3）（4）， 当时， 当时， ， ， 两式相减得 ，（5）， 原式（6）设， 又， ，2已知数列的通项，求其前项和