高等代数北大版91

1、第九章,欧氏空间,1,定义与基本性质,2,标准正交基,3,同构,6,对称矩阵的标准形,7,向量到子空间的,距离,最小二乘法,8,酉空间介绍,4,正交变换,5,子空间,小结与习题,9.1,定义与基本性质,一、欧氏空间的定义,二、欧氏空间中向量的长度,三、欧氏空间中向量的夹角,四,n,维欧氏空间中内积的矩阵表示,五、欧氏子空间,9.1,定义与基本性质,问题的引入,1,线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算,3,其具体模型为几何空间,R,2,R,但几何空间的度量,性质,如长度、夹角,等在一般线性空间中没有涉及,2,在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质,都可以通过内积反映出来,长度,夹角,cos

2、,3,几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质,9.1,定义与基本性质,一、欧氏空间的定义,1,定义,设,V,是实数域,R,上的线性空间，对,V,中任意两个向量,定义一个二元实函数，记作,若,满足性质,V,k,R,1,2,k,k,3,o,o,对称性,o,数乘,可加性,4,0,当且仅当,0,时,0,正定性,9.1,定义与基本性质,o,则称,为,和,的,内积,并称这种定义了内积的,实数域,R,上的线性空间,V,为,欧氏空间,注,欧氏空间,V,是特殊的线性空间,V,为实数域,R,上的线性空间,V,除向量的线性运算外，还有“内积”运算,R,9.1,定义与基本性质,例,1,在,R,中，对于向量,n,a

3、,1,a,2,L,a,n,b,1,b,2,L,b,n,1,定义,a,1,b,1,a,2,b,2,L,a,n,b,n,o,o,1,易证,满足定义中的性质,1,4,为内积,所以,这样,R,n,对于内积,就成为一个欧氏空间,当,n,3,时,1,即为几何空间,R,中内积在直角,3,即,坐标系下的表达式,9.1,定义与基本性质,2,定义,a,1,b,1,2,a,2,b,2,L,ka,k,b,k,L,na,n,b,n,易证,满足定义中的性质,1,o,4,o,所以,也为内积,从而,R,对于内积,也构成一个欧氏空间,n,V,注意,由于对,未必有,所以,1,2,是两种不同的内积,从而,R,n,对于这两种内积就构

4、成了不同的欧氏空间,9.1,定义与基本性质,例,2,C,a,b,为闭区间,a,b,上的所有实连续函数,所成线性空间，对于函数,f,x,g,x,定义,f,g,f,x,g,x,dx,a,b,2,则,C,a,b,对于,2,作成一个欧氏空间,f,x,g,x,h,x,C,a,b,k,R,证,1,f,g,f,x,g,x,dx,g,x,f,x,dx,g,f,a,a,o,b,b,2,k,f,g,k,f,x,g,x,dx,k,f,x,g,x,dx,a,a,o,b,b,k,f,g,9.1,定义与基本性质,3,f,g,h,o,f,x,g,x,h,x,dx,a,b,a,b,f,x,h,x,dx,g,x,h,x,dx,

5、a,b,f,h,g,h,4,f,f,f,x,dx,a,o,b,2,Q,f,x,0,2,f,f,0,则,f,x,0,2,且若,f,x,0,故,从而,f,f,0,f,f,0,f,x,0,f,g,为内积,C,a,b,为欧氏空间,因此,9.1,定义与基本性质,2,内积的简单性质,V,为欧氏空间,V,k,R,1,k,k,k,k,k,2,2,推广,i,i,i,1,i,1,s,s,3,0,0,9.1,定义与基本性质,二、欧氏空间中向量的长度,1,引入长度概念的可能性,1,在,R,向量,的长度（模,2,欧氏空间,V,中,V,0,3,使得,有意义,2,向量长度的定义,V,称为向量,的,长度,特别地，当,1,时，

6、称,为,单位向量,9.1,定义与基本性质,3,向量长度的简单性质,1,2,0,0,0,k,k,3,3,非零向量,的单位化,1,9.1,定义与基本性质,三、欧氏空间中向量的夹角,1,引入夹角概念的可能性与困难,1,在,R,中向量,与,的夹角,3,arc,cos,4,2,在一般欧氏空间中推广,4,的形式，首先,应证明不等式,此即,9.1,定义与基本性质,1,2,柯西布涅柯夫斯基不等式,对欧氏空间,V,中任意两个向量,有,当且仅当,线性相关时等号成立,5,证：当,0,时,0,0,0,0,结论成立,当,0,时，作向量,t,9.1,定义与基本性质,t,R,由内积的正定性，对,t,R,皆有,t,t,2,t

7、,t,0,取,t,代入,6,式，得,2,6,2,0,2,即,2,2,两边开方，即得,9.1,定义与基本性质,当,线性相关时，不妨设,k,于是,k,k,k,2,k,k,2,5,式等号成立,反之，若,5,式等号成立，由以上证明过程知,或者,0,或者,0,也即,线性相关,9.1,定义与基本性质,3,柯西布涅柯夫斯基不等式的应用,1,柯西,不等式,a,1,b,1,a,2,b,2,L,a,n,b,n,a,a,L,a,2,1,2,2,2,n,b,b,L,b,2,1,2,2,2,n,7,a,i,b,i,R,i,1,2,L,n,9.1,定义与基本性质,2,施瓦兹,不等式,b,a,f,x,g,x,dx,a,b,

8、f,x,dx,2,a,b,g,x,dx,2,证：在,C,a,b,中,f,x,与,g,x,的内积定义为,f,x,g,x,f,x,g,x,dx,a,b,由柯西布涅柯夫斯基不等式有,f,x,g,x,f,x,g,x,从而得证,9.1,定义与基本性质,3,三角,不等式,对欧氏空间中的任意两个向量,有,证,2,7,2,2,2,2,2,两边开方，即得,7,成立,9.1,定义与基本性质,4,欧氏空间中两非零向量的夹角,为,V,中任意两非零,定义,1,设,V,为欧氏空间,的,夹角,定义为,向量,arc,cos,0,9.1,定义与基本性质,定义,2,设,为欧氏空间中两个向量，若内积,0,则称,与,正交,或,互相垂

9、直,记作,注,零向量与任意向量正交,2,即,cos,0,9.1,定义与基本性质,5,勾股定理,设,V,为欧氏空间,V,2,2,2,2,证,Q,2,2,2,2,0,9.1,定义与基本性质,推广,若欧氏空间,V,中向量,1,2,L,m,两两正交,即,i,j,0,i,j,i,j,1,2,L,m,则,1,2,L,m,1,2,L,m,2,2,2,2,证：若,i,j,0,i,j,2,则,1,2,L,m,i,j,m,m,i,i,i,j,m,i,1,m,j,1,i,i,1,i,1,m,i,1,2,i,j,2,2,L,m,2,9.1,定义与基本性质,例,3,已知,2,1,3,2,1,2,2,1,在通常的内积定义

10、下，求,解,2,1,3,2,18,3,2,2,2,2,2,2,1,1,2,3,2,2,1,0,又,1,1,5,1,2,1,1,5,1,28,2,7,2,2,2,2,通常称,为,与,的距离，记作,d,9.1,定义与基本性质,四,n,维欧氏空间中内积的矩阵表示,1,2,L,n,为,V,的一组基，对,V,中,设,V,为欧氏空间,任意两个向量,x,1,1,x,2,2,L,x,n,n,y,1,1,y,2,2,L,y,n,n,x,i,i,y,j,j,i,j,x,i,y,j,i,1,j,1,i,1,j,1,n,n,n,n,8,令,a,ij,i,j,i,j,1,2,L,n,9.1,定义与基本性质,A,a,ij

11、,n,n,n,x,1,y,1,x,2,y,2,X,Y,M,M,x,y,n,n,n,9,则,a,ij,x,i,y,j,X,AY,i,1,j,1,10,1,1,1,2,2,1,2,2,定义,矩阵,A,L,L,n,2,n,1,称为基,1,2,L,n,的,度量矩阵,9.1,定义与基本性质,L,1,n,L,2,n,L,L,L,n,n,注,度量矩阵,A,是实对称矩阵,由内积的正定性，度量矩阵,A,还是正定矩阵,事实上，对,V,0,即,X,0,有,X,AX,0,A,为正定矩阵,由,10,知，在基,1,2,L,n,下，向量的内积,由度量矩阵,A,完全确定,9.1,定义与基本性质,对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的,证：设,1,2,L,n,1,2,L,n,为欧氏空间,V,的两组,基，它们的度量矩阵分别为,A,B,且,1,2,L,n,1,2,L,n,C,设,C,c,ij,则,n,n,n,C,1,C,2,L,C,n,i,c,ki,k,i,1,2,L,n,k,1,9.1,定义与基本性质,于是,i,j,c,ki,k,c,lj,l,k,l,c,ki,c,lj,k,1,n,l,1