空间向量在立体几何中的应用(5)

1、1 （师大附中理）如图PD 二 AD，贝y1, P是正方形ABCD所在平面外一点，PD _平面ABCD ,PPA与BD所成的角的度数为 90Dm i答案：C2.（肥城市第二次联考）如右图所示，在正方体ABCD-ABC1D1中,E, F分别是ABi, BG的中点，则以下结论中不成立.的是（C ）A. EF与CG垂直 B . EF与BD垂直C EF与AG异面 D. EF与AD1异面答案C解析：连结 A1B，在也ABG中，EF ACi，所以A、B、D正确，C错,选Co3（师大附中理）设 P,A, B,C是半径为2的球面上四个不同的点，且满足PA,PB,PC 两两互相垂直，则S.pAB S PAC S

2、 PBC的最大值是答案：84.（池州市七校元旦调研）设向量a , b满足：1 a卜3 , 1 b卜4, a b=0的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（A. 3 B答案：C【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但 5个以上的交点不能实现.5.（马鞍山学业水平测试）（本小题满分8分）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB、CD勺中点.(I )证明：AD丄F;(n )求AE与DF所成的角(川)证明：面AEDL面A1FD1.解：以D为原点，DA DC DD为

3、x, y, z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1 1分11则有 A ( 1,0 , 0), E (1 , 2 ,丄),F ( 0 ,丄，0), D ( 0 , 0 , 1), A ( 1 , 0 , 1)2 分22一. 1 一. .(I ) AD =(一1,0,0),。汗=(0,2，-1),AD QF =0 ,二 AD丄 时 4分 1 (n ) AE =(0,1), AE 4D1F =0 , AE丄 D1FAE与D1F所成的角为900 6分(川)由以上可知D1F丄平面AED又D1F在平面A1FD1内，面 AEDL面 A1FD1 8分6.(池州市七校元旦调研)如图，平面 PAC 一平面A

4、BC , ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,分别为pa ,PB , AC 的中点，AC =16, PA = PC =10 .(I )设G是OC的中点，证明：FG II平面BOE ；(II )证明：在 ABO内存在一点M，使FM 平面BOE .证明：(I )如图，连结 OP,以O为坐标原点，分别以 OB OC OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 oxyz，贝yO 0,0,0 ,A(0, -8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0,0,6), E(0,-4,3), F 4,0,3，由题意得，G 0,4,0 ,因 B =(8,0), E = (,-43

5、)，因此平面 boe 的法向量为 n = (0, 3,4),FG =(-4,4,-3得n FG = 0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG/平面BOE有FM / n ,因此有Xo*94即点M的坐标为4,0在平面直角坐标系xoyX 0y ：o中， AOB的内部区域满足不等式组Xy ：8，经检验，点M的坐标满足上述不等式组, 所以在 ABO内存在一点M，使FM 平面BOE，7.(马鞍山学业水平测试)(本小题满分12分)(文)在斜三棱柱 ABC ABQ中，M为BQ的中点，N是BC上一点.(I)若平面 AB, N /平面A,MC，求证：N为BC的中点;(n )在(I )的条件下，若AB, = AG

6、,BiC=BB，求证：平面AMC _平面ABC平面A,MC平面AB,N(I) 平面 AjMCD 平面 BjBCGMC ，所以 MC/BN平面ABjN门平面B,BCC厂B.N因为M为BiC中点，所以N为BC中点6分(n) AW =ACi，且M为中点，所以AM BiG8 分BiC=BEB： BiC=CC, M为中点，所以 CM _ BiG , io 分 又 AM “MC 二 M ,则 BQ _ 平面AMC ,12分又BG/BC,所以BC _平面AMC ,14分又BC 平面ABC，所以 平面AMC _平面ABC 16分 8.(玉溪一中期中文)(本小题12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_底面A

7、BCD ,AB 丄 AD, AC 丄 CD,NABC=60 PA = AB=BC , E 是 PC 的中点.(I)求PB和平面PAD所成的角的大小；(n)证明AE _平面PCD ；P(川)求二面角 A - PD -C的大小.卜弋、(I)解：在四棱锥P ABCD 中,因PA _底面ABCD , AB 平面ABCD，故IA B . 又AB _ AD , PA| AD二A，从而AB _平面PAD .故PB在平面PAD内的射影为PA , 从而Z APB为PB和平面PAD所成的角.在 Rt PAB 中，AB = PA，故 / APB =45 .所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 .(n)证明：在

8、四棱锥 P ABCD中，因 PA _ 底面 ABCD , CD 二平面 ABCD，故 CD _ PA . 由条件CD _ PC , 又AE 面PAC ,PA AC =A , CD _ 面 PAC . .AE _CD ./ ABC 二 60，可得 AC = PA .:E是PC的中点，(川)解：过点E作EM _ PD，垂足为M，连结AM .由(n)知，AE _平面PCD , AM在平面PCD内的射影是EM，则AM - PD .因此Z AME是二面角A - PD -C的平面角. AE _ PC , PC CD 二 C 综上得 AE _ 平面 PCD .由已知，可得/ CAD =30： 设AC =a

9、,可得PA = a , AD 二 a, PD 二-21 a ,3-在 Rt ADP 中，,AM _ PD，二 AMPD =PA AD，则243PA AD a TaPDAM3V21a在 Rt AEM 中，sinAMEAEAM二卫所以二面角A-PD-C的大小arcsin4449.(祥云一中月考理)(本小题满分12分)如图，四棱锥 P ABCD中，底面四边形 ABCD是正方形，侧面 PDC是边长为a的正三角形，且平面PDCL底面ABCD E为PC的中点。(I )求异面直线PA与DE所成的角的余弦值;(II )求点D到面PAB的距离.10.解：如图取 DC的中点0,连P0, PDC为正三角形，又面PD

10、CL面ABCD POL面ABCD如图建立空间直角坐标系 POL DC.xyz.3aaa 、则 P(0,0,于),A(a，20)，B(a，?，0)，C(%，0),1D(0,- ,0)a(1) E为PC中点,a 3 、E(0，Y7a),DE= (0,?a34a), PA 二(aa,-23 a),33PA DE a () a ( a)4 242|PA|八 2a,|DE|=今PA DE,cos ： PA, DE =|PA| |DE|.6分(2)a可求 PA =(a,-2一 23“0)，设面PAB的一个法向量为n =(x,y,z),az = 0.由得y=0，代入得xaaz = 0 令 x= 3,则z =

11、 2,. n =( 一 3,0.2). 2则D到面PAB的距离d等于DA在 -上的射影的绝对值I DA I d =| DA |cos ： DA n |=| DA |IDA| | n|DA n | _|(a,0,0) G，3,0.2) |n|. 7、3a _ 21 7a.即点D到面PAB的距离等于21a.711.(祥云一中二次月考理)(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P ABCD中,侧棱PA与底面ABCD垂直，DC=1 AD=AP=2 AB=5,Z CDAM DAB=90 , E是 PB的中点.(1) 求证：BCL平面PAC(2) 求异面直线PD AE所成角的大小；(3) 求二面角 A-CE-

12、B的大小.12 分C法一：DC CA（1）证：由题意：心5，则AC =AB，又/ 心沁所以 DCA与“ CAB相似，所以 BCL AC又由侧棱 PA与底面ABCD垂直，有PA L BC 所以BCL平面PAC 4分（2）连BD取BD的中点 M 连EMJ29则 EM| PD, AEM 中，AE=AM=-,2EM= 2，设异面直线 PD AE所成角为：，58则cos，所以PD AE所成角为29v；58arccos29(3)作 AHL PC 于 H,作H灶EC于K,连人崔又（1）可知/ AKH即为所求二面角的平面角的补角在厶APC中求出AH=2 5，在 ACE中求出 AK=23 ,(或在 PCE中求出

13、3.29HK=15 )3、29所求二面角的大小为一 arcsine (或为 一arctan9 ).一518法二：（坐标法）（2）coPD AE所成角为arccos 29(3)5.6所求二面角的大小为：二-arccos1812.（祥云一中三次月考理）（本小题满分12分）如图，已知平行四边形ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD =2，ADC 二 60, AF F3.(1)求证：ACL BF;(2 )求二面角F BD- A的大小.A13. 解：以CD为x轴,CA为y轴，以CE为z轴建立空间坐标系，(1) C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,. 3,0),F(0,3, ,

14、3),B(-1,、3 ,0),*CA =(0: V3.0L BF = pQ語L 7 = (-1,71 血L CA BF =AC - BF(平面ABD的法向量订n：Q“平面尸肋的法向量毘=(2门解出硏=I- 7，1 L cos (齐卜卫二所求二面角FFDA的大小axccos-f 4414. (祥云一中三次月考文)(本小题满分12分)如图，已知正四棱柱 ABCD A1 B1C1D1中AB=1,AA=2, N是AD的中点，点M在BB1上, 异面直线MN A A互相垂直.(1 )试确定点 M的位置，并加以证明；(2 )求二面角A MN人的大小.解：(I)取 A1A的中点P,连PM PN贝U PN/AD

15、,AA _ AD, AA_ PN,又 AA_MN,. AA_ 平面 PMN, AA_PM, PM /.AB,故点M为BB1的中点.)由(【)知 AMN三AMN,作AO MN于点O,连A,O,则AO则A - MN ,所以 AOA就是所求二面角的平面角显然AN 二 AN 二 MN于,AM.30利用等面积法求得 A10=A0= 5 在厶A10A中由余弦定理得AO2 AO2 _ AA2 _ 2cos / A1OA=2A。A032所以二面角的大小为二-arccos-3解二:(向量法)(咯)15. (本小题满分12分)ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,(祥云一中三次月考理)如图，已知平行四边形AB

16、=1,AD=2, . ADC =60,AF = 3(1)求证：AC丄BF;(2 )求二面角F BD A的大小；(3) 求点A到平面FBD的距离.A解:15.以CD为x轴,CA为y轴，以CE为z轴建立空间坐标系，(1) C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,. 3,0),F(0,、3 ,、. 3 ),B(-1,、3 ,0),CA 二 0,、3,0 , BF 二 1,0, 3 , DF 二 1, 3, 3 , CA BF =0,AC _ BF(2)平面ABD的法向量n =(0,0,1),平面FBD的法向量m=(x,y,z)解出 m = - 3,-2,1 ,cosm,n.2所求二面角 F BD

17、 A的大小arccos 点A到平面FBD的距离为d, AD =(-1,-.3,0)AD md = ；m3、3 _ 3、6224、选择填空1.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦ABCD勺长度分别等于2. 7、4 ,3 , M N分别为AB CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB CD可能相交于点 M 弦AB CD可能相交于点 N MN的最大值为5 MN的最小值为I，其中真命题的个数为A . 1 个B. 2 个C.3个D.4个答案C2.（昆明一中第三次模拟）如图，正四棱柱ABCD - ABCQ 中，AA =2AB ,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

18、（)AftF八1f2A . -B55d_XC. 3D.4AR55答案D3. 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A2、2 B.2 i3 C.4 D. 2.5答案C4. 等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB ,二面角C - AB - D的余弦值为 3M , N分别是AC, BC的中点，贝U EM , AN所成角的余弦值等于 二、解答题1.如图，在三棱锥 P-ABC中，AC二BC=2 ,ACB =90 AP 二 BP 二 AB , PC _ AC .（I）求证

19、：PC _ AB ； （n）求二面角 B - AP -C的大小;（川）求点C到平面APB的距离.解法一：（I）取AB中点D，连结PD, CD .:AP = BP , PD _ AB . ： AC = BC , CD _ AB .丁 PDflCDD , . AB _ 平面 PCD .；PC 平面 PCD , PC _ AB .（n） ： AC =BC , AP 二 BP , APC BPC 又 PC _ AC , PC _ BC .又 ACB =90：，即 AC _ BC，且 AC PC =C ,.BC _平面PAC 取AP中点E 连结BE, CE .:AB = BP , . BE _ AP .

20、 ； EC是BE在平面PAC内的射影,-BEC是二面角B - AP - C的平面角.在BE.sin BECBCBE BCE 中， BCE =90：,CE _ AP .面角B -AP -C的大小为arcsin（川）由（I）知AB_平面PCD , 平面APB_平面PCD 过C作CH _ PD，垂足为H .平面 APB n平面 PCD = PD , CH-平面APB . . CH的长即为点C到平面APB的-点C到平面 APB的距离为PD3.PC = .PD2 -CD2 =2 . CH距离.由（I）知 PC _ AB，又 PC _ AC ,7 CD 平面 ABC , PC _CD .在 Rt PCD

21、中，CD =丄 AB 二.2 ,22.33 .解法二：（I） ： AC = BC , AP = BP , . APC BPC .又 P3 JC , . PC _ BC .T AC n BC 二 C , PC _ 平面 ABC : AB 平面 ABC , PC _ AB .(n)如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz则C(000) , A20) , (2B0),设 P(0,0, t) ； PB 二 AB =2、2 , t = 2 , P(0,0,2) 取 AP 中点 E ,连结 BE, CE AB = BP，二 CE 丄 AP , BE 丄 AP 二 N BEC 是二面角 B AP C的

22、平面角.7 E(011) , EC =(0,1,1), EB =(2,1,1),cos/BEC =EC EBEC EB面角B-AP-C的大小为arccost3（川）；AC 二 BC 二 PC , C 在平面APB内的射影为正 APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如（n ）建立空间直角坐标系C _ xyz 7 BH 二2HE ,.点H的坐标为.点C到平面APB的距离为耳3 32.如图，已知ABCD-ABQQ,是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC,上，且（1）求证：E, B, F, D1四点共面；（4分） ； （2）若点G在BC上，2BG ，点M在BB1上，GM丄BF，垂

23、足为H，求证：EM丄3平面BCGE ； （4分）；（3）用日表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所C1C成的锐二面角的大小，求 tan二BE =(3,01)，BF = (0,3,2),BD1 二(3,3,3),证明：（1）建立如图所示的坐标系，则所以 BD BE BF , 故 BD1 ,BE ,BF共面.又它们有公共点B ,所以 E, B, F, D1四点共面.需=(0 3 2)由题设得(2)如图，设 M (0,0, z),则 GM10,-,V 3二(3 ,0 ,0)，又 BB1 = (0,0,3) , BC 二(0,3,0),得 z =1 因为 M (0,0 1), E(3,01),有 ME

24、所以 ME_BB1=0, MElBC =0,从而 ME 丄 BB1 , ME 丄 BC 故 ME 丄平面 BCC1B1 . (3)设向量=(x , y ,3)丄截面EBFD1,于是BP丄BE , BP丄BF .而 BE 二(3,01) , BF 二(0 ,3 ,2)，得 BPjBE= 3 x 3 = 0, 詬国=3y 6 = 0，解得TTT Tx - -1 , y - -2,所以 BP =(-1 , -2 ,3).又 BA=(30Q 丄平面 BCC1B1,所以 BP和 BAFA3.(广东三校一模) 如图，在梯形ABCD中，AB / CD , AD = DC二CB二a , ABC = 60 ,平

25、面ACFE _平面ABCD ,四边形 ACFE是矩形，AE = a ,点M在线段EF上.(1)求证：BC _平面ACFE ;当EM为何值时，AM /平面BDF ?证明你的结论(3)求二面角B - EF -D的平面角的余弦值(I)在梯形 ABCD 中-AB/CD -AD = DC = CB = a,ABC = 60 .四边形ABCD是等腰梯形-且 DCA = DAC = 30 , DCB 二 120ACB = DCB - DCA = 90 AC _ BC 2 分又丁平面ACFE 平面ABCD -交线为AC - BC 平面ACFE4分(H)解法一、当 EMa时-AM /平面BDF -5 分3在梯形

26、 ABCD 中-设 ACBD = N ,连接 FN -则 CN : NA =1 :25分zFECOATEFTEM= (- .3at,0,0). AMT TAE EM=(-3at,0, a)= F =a , 63即二面角B-PD -C的余弦值为一5,3P2 面角B - PD -C的正切值为三.25、(深圳一模)如图，AB为圆O的直径,点E、F在圆O上，AB EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直.已知 AB = 2 ,EF =1 .(H)求直线 AB与平面CBF所成角的大小;平面ABCD 平面ABEF = AB ,(I)求证：平面DAF _平面CBF(川)当AD的长为何值时，二面角 D -

27、FE - B的大小为解：(I)证明：；平面 ABCD 平面 ABEF , CB _ AB ,CB _ 平面 ABEF .AF 平面 ABEF , AF _ CB ,又；AB为圆O的直径，.AF _ BF ,AF 平面 CBF . AF 平面ADF ,-平面DAF _平面CBF . 4分(H)根据(I)的证明，有 AF _平面CBF , FB为AB在平面CBF上的射影，因此，.ABF为直线AB与平面CBF所成的角. 5分 AB / EF ,.四边形ABEF为等腰梯形,过点F作FH _ AB，交AB于H .AB = 2 , EF =1，贝V AH =2在Rt AFB中，根据射影定理 AF 2二AH

28、 AB，得AF = 1 .AF 1Qsin . ABF, . ABF =30 .AB 2.直线AB与平面CBF所成角的大小为30 .（川）（解法一）过点 A作AM _ EF，交EF的延长线于点 M，连DM .根据（I）的证明,DA _ 平面 ABEF，贝U DM _ EF ,.DMA为二面角D - FE - B 的平面角， DMA 二 60 .在 Rt ：AFH 中，.AH = 1 , AF -1 FH 3210分又幕四边形AMFH为矩形，.MA=FH.AD =MA tan DMA 3 、32 23因此，当AD的长为丄时，二面角D - FE -B的大小为60 .2（解法二）设EF中点为G，以O为坐标原点,OA、OG、分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）设AD = t （t 0），则点D的坐标为（1, 0, t）1在 Rt AFH 中， AH , AF =1,. FH2-.3点F的坐标为（丄,仝,0），点E的坐标为（2 2 212分一 1 33 3厂匸,”），DE飞,訂）设平面DEF的法向量为a =（x, y, z），则n DF =0,厲，DE =0.令 z -3，解得 x = 0, y = 2t-；x f y tz