高数下学习方法指导

1、第6章 积分法（学习指导）一、基本要求1、掌握不定积分的运算性质。2、会用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。3、会用换元法计算不定积分与定积分。4、会用分部积分法计算不定积分与定积分。5、会求简单有理函数的积分。二、主要内容1、不定积分的性质(1) 两个函数和的不定积分等于两个不定积分的和, 即(2) 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的外面来, 即2、不定积分的第一类换元积分法(凑微分法)若, 则 ，其中是的任一可微函数,而是任意常数.3、不定积分的第二类换元积分法 设及均连续,的反函数存在且连续, 如果,则, 其中是任意常数.4、不定积分的分部积分法 。5、定积分计算的公式法 求得被积函

2、数的一个原函数,利用牛顿-莱布尼兹公式直接计算。6、定积分的第一类换元积分法(凑微分法).7、定积分的第二类换元积分法 设在上连续,若代换满足（1）在闭区间(或)上有连续导数;（2）当(或)时,必有;（3）, 则有。8、定积分的分部积分法 设在上有连续导数,则。9、定积分中的常用结论和公式（1）奇函数的定积分性质对称区间上连续的奇函数的积分等于零, 即若是上的连续的奇函数,则。（2）偶函数的定积分性质对称区间上连续的偶函数的积分等于半个区间上积分的两倍, 即若是上的连续的偶函数,则。（3）周期函数的定积分性质若是周期为的连续函数,则对于任意实数,均成立。（4） 华莱士公式 ，其中为正整数。第7

3、章 定积分的应用与广义积分（学习指导）一、基本要求1 掌握定积分的微元法。2 掌握用定积分表达和计算平面图形的面积。3 掌握用定积分表达和计算平面曲线的弧长。4 掌握用定积分表达和计算平行截面面积为已知的立体体积和旋转体体积。5 掌握用定积分表达和计算变力作功及侧压力。二、主要内容1、平面图形的面积计算（1）直角坐标系下图形的面积计算（a）由下图所示的平面区域D的面积计算公式：（b）由如图所示的平面区域D的面积计算公式：（c）由如图所示的平面区域D的面积计算公式： （2）极坐标系下图形的面积计算（a）由如图所示的平面区域D的面积计算公式：（b）由下图所示的平面区域D的面积计算公式： 2、 平面

4、曲线的弧长（1）曲线由直角坐标曲线给出，则弧长（2）曲线由参数式方程给出，则弧长（3）曲线由极坐标给出，则弧长3、平行截面面积为已知的立体体积计算公式 4、旋转体体积公式（1）由下图所示的平面区域D绕轴旋转所得的旋转体体积计算公式：（2）由下图所示的平面区域D绕轴旋转所得的旋转体体积计算公式：（3）由下图所示的平面区域D绕轴旋转所得的旋转体体积计算公式： 5、 物理应用（1）变力所做的功物体在力作用下沿直线由到力做功：（2）液体的侧压力由巴斯卡原理知，在液面下深度为处，表面积为的面上所受到的液体压力为,其中为液体的密度。所以，由下图所示的平面区域D所受到的液体压力计算公式：第8章 向量代数与空

5、间解析几何（学习指导）一、基本要求1 理解空间直角坐标系。2 掌握平面方程和直线方程及其求法。3 理解曲面方程的概念，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。4 了解常用二次曲面的方程及其图形。二、主要内容1向量（1）向量的概念既有大小又有方向的量称为向量，常记为、，或、。只有大小没有方向的量称为标量。（2）矢径向量给定坐标原点，设为空间中任意一点，则称向量为点相对于原点的径向量。任一向量都可以看作是空间中某一点相对于原点的径向量。（3）向量的模向量的大小称为它的模，记作，模为的向量称为零向量，记作。（4）单位向量模为的向量称为单位向量。与向量同方向的单位向量记为。（5）向

6、量的坐标表示设向量的起点为坐标原点，则其终点的坐标称为向量的坐标，记作，向量的模为。设，为空间中两点，则以为起点，为终点的向量。（6）向量的夹角，平行，垂直（a）向量的夹角对任意两个非零向量和，称为向量和的夹角，并规定,向量和的夹角通常记为或。（b）向量的平行当或时，称与平行，也称与共线，记作。（c）向量的垂直当时，称与垂直或正交，记作。（7）向量的方向余弦设向量与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为，则、称为向量的方向余弦，它们满足等式。2向量的运算（1）向量的加法把向量的起点移到向量的终点，则以向量的起点为起点，向量的终点为终点的向量称为向量和的和，记作。若，则。（2）数与向量的数

7、乘实数与向量的乘积是一个向量，记作。加法与数乘有如下性质：（i）； （ii）；（iii）； （iv）；（v）； （vi）；（vii）。（3）向量的内积（数量积、点积）向量和的点积是一个数，记作，即。用坐标表示为 。内积的性质：（i）； （ii）；（iii）； （iv）。（4）向量的外积（向量积、叉积）向量和的外积是一个向量，记作，它的模为，方向垂直于，且使，成右手系。用坐标表示为 。外积的性质：（i）； （ii）；（iii）； （iv）。（5）向量的投影（a）已知空间一点以及一个有向轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴 的交点称为点在轴上的投影。（b）设向量的起点和终点在轴上的投影记为和，则有向

8、线段的值称为向量在轴上的投影，记作。向量在向量（）上的投影为。3、平面方程与直线方程的形式平面方程点法式方程，其中为平面上一定点,为平面的一个法向量。一般式方程，为平面的一个法向量。截距式方程，其中，依次为平面在，轴上的截距。三点式方程，平面过空间三点，直线方程点向式（对称式）方程，其中为直线上一定点，为直线的一个方向向量。两点式方程，其中、为直线上两点。一般式方程。4、点、直线、平面之间的关系（1）点到平面的距离 设给定平面 ：及不在平面上的点，则点到平面的距离为.（2）两个平面之间的关系给定平面 ：，其法向量为 ； 平面：，其法向量为。两平面相交不平行于；两平面垂直；两平面平行；两平面重合

9、。平面和之间的夹角（）满足。（3）两条直线之间的关系给定两条直线 ：，其方向向量为，为上一点；直线 ：，其方向向量为，为上一点。两直线不共面；两直线不共面但相互垂直，但；两直线垂直相交，且；两直线平行，即；两直线重合；直线和之间的夹角（）满足。（4）平面与直线之间的关系给定平面：，直线：，其中为平面的法向量，为直线的方向向量。平面与直线相交；平面与直线垂直，即；平面与直线平行，即；直线在平面上，且，其中为直线上一定点。4、曲面（1）常见的二次曲面 球面： ；椭球面： ； 单叶双曲面： ；双叶双曲面： ；椭圆抛物面： （）；双曲抛物面： （）；二次锥面： 。（2）坐标面上的曲线绕坐标轴旋转的旋转

10、曲面方程曲线绕轴旋转:，绕轴旋转:；曲线绕轴旋转:，绕轴旋转:；曲线绕轴旋转:，绕轴旋转:。（3）柱面 以曲线 为准线、母线平行于轴的柱面方程为 ； 以曲线 为准线、母线平行于轴的柱面方程为 ； 以曲线 为准线、母线平行于轴的柱面方程为 。第9章 多元函数微分学（学习指导）一、基本要求1 理解多元函数的概念知道二元函数的几何表示。2 了解二元函数的极限和连续性的概念以及有界闭域上连续函数的性质。3 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。4 会求复合函数一阶、二阶偏导数会求隐函数的偏导数。5 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，会用二元函数极值存

11、在的充分条件求二元函数的极值。6 会用拉格朗日乘数法求条件极值，会解简单多元函数最大值和最小值的应用问题。二、主要内容1、一些基本概念（1）二元函数的概念设有三个变量，如果对于变量的某一范围内每一对数值，按照一定的法则，变量总有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量是变量的二元函数，记作。（2）二元函数极限的概念若对任意的，存在，当时，恒有成立，则称常数A为函数当时的极限，记作。（3）二元函数的连续性设函数在点的某领域内有定义，如果，则称在点处连续。 （4）偏导数的概念（a）在点处的偏导数设函数在点的某领域内有定义，给自变量一增量， 保持不变，即，相应地得到函数关于的偏增量，即，如果极限存在，则

12、称该极限值为函数在点处对变量的偏导数，记为或者。同样地，函数 在点处对变量的偏导数可定义为极限值,记为或者。（b）在区域D内的偏导数. 若在区域D内每一点处，对或对的偏导数都存在，此时称函数在区域D内可导。这两个偏导数也是的二元函数，记做或。（c）高阶偏导数或关于或的偏导数称为的二阶偏导数，分别记为对二阶偏导数再求偏导得三阶偏导数，依次类推。二阶及二阶以上偏导数称为高阶偏导数。(5) 全微分设函数在点的某邻域内有定义，若全增量可表示为其中与无关，则称函数在点处可微，称为在点处的全微分，记做。若可微，则有，从而。2、一些基本定理（1）可微的必要条件若函数在点处可微，则在该点处都存在，且有。（2）

13、可微的充分条件若函数的两个偏导数在点的某领域内存在，并且在点处连续，则在点处可微。（3）混合偏导相等的条件若的两个混合偏导数及在区域D内连续，则有3、微分法(1) 简单显函数的微分法求时，将y当作常数，利用一元函数的求导公式和导数的运算法则即可求得，求类似。注：若是求分段函数在分段点处的偏导数，要用定义求。(2) 复合函数微分法（链式法则）设在点处有偏导数，而函数在对应点可微，则复合函数在点处对及的偏导数存在，且有说明：（a）若，则关于及的偏导数为。此处。中是自变量为，的二元函数，而中是变量为，的三元函数。 （b）若 ，则 对自变量t的全导数为（3） 隐函数微分法(a) 由方程确定隐函数，则(

14、b) 由方程确定隐函数, 则4、二元函数的局部极值（1）局部极值的概念设函数 在点 () 的某领域内有定义，若对该领域内异于点()的任一点,恒有，（或），则称是函数的极大值（或极小值），极大值极小值统称为极值，点()称为极值点。（2）极值点的必要条件 设在点()可微，而且是的极值点，则有，点()称为的驻点。（3）极值的充分条件设函数在驻点的某领域内有二阶连续偏导数，记 ，则（a）当时，是的极值点：若，则是极小值点；若，则是极大值点。（b）当时，不是的极值点。（c） 当时，无法判断点是否为的极值点。5、条件极值在条件下的极值问题称为条件极值问题。常用拉格朗日乘数法求解条件极值问题。第10章 重

15、积 分（学习指导）一、基本要求1、理解二重积分的概念和性质。2、掌握直角坐标系下二重积分的计算方法。3、掌握极坐标系下二重积分的计算方法。4、会用二重积分计算一些几何量（立体体积）与物理量（平板的质量和重心等）二、主要内容1、二重积分的概念（1）二重积分的概念设函数在有界闭区域上有定义。将任意划分成除公共边界外没有其它公共部分的个子区域（），在每个中任取一点（），作和式。设表示各子区域直径的最大值，若极限存在，且极限值和区域的分割方式以及各子区域中点的取法无关，则称函数在区域上可积，并称此极限为在区域上的二重积分，记作，即 ，其中称为被积函数，为被积表达式，为面积元素，、是积分变量，是积分区域

16、，并称为积分和式。（2）二重积分的几何意义设函数在区域上连续，当时，二重积分表示以曲面为顶，底面区域是的曲顶柱体的体积。2、二重积分的性质（1）二重积分的线性运算性质若，在上可积，和为任意常数，则在上也可积，且。（2）关于积分区域的可加性性质设，且和除边界外没有公共部分，若在和上可积，则在上可积，且。（3）二重积分的不等式性质设，在上可积，则（a）二重积分的保序性若，则，特别有 。（b）二重积分的估值定理若 ，是的面积，则有。（4）二重积分的积分中值定理设为有界闭区域上的连续函数，则存在，使得，其中是的面积。（5）对称区域上奇偶函数的二重积分的性质设在有界闭区域上可积，（a）若关于轴对称，则，

17、其中。（b）若关于轴对称，则，其中。3、利用直角坐标系计算二重积分设在平面有界闭区域上连续：（1）若，其中、在上连续。区域的特点是：穿过内与轴平行的直线与的边界相交不多于两点，称为型区域。则有。（2）若，其中、在上连续。区域的特点是：穿过内与轴平行的直线与的边界相交不多于两点，称为型区域。则有。（3）如果区域不满足以上条件，可以将区域分成若干个部分区域，使每个部分区域满足以上条件，再利用积分关于区域的可加性来计算。4、利用极坐标系计算二重积分极坐标与直角坐标的关系：，极坐标系中的面积元素为。在极坐标系下，二重积分可变为。（a）如果极点在区域外。区域在极坐标下可表示为，其中函数、在区间上连续，则

18、（b）极点在区域边界上。区域在极坐标下可表示为，其中函数在区间上连续，则（c）如果极点在区域内。区域在极坐标下可表示为，其中在区间上连续，则有5、 二重积分的应用（1）曲顶柱体的体积设函数在区域上连续，则以区域为底面，曲面为顶的曲顶柱体的体积（2）薄片质量：设平面薄片在平面上所占的区域为，其密度为，则平面薄片的质量。（3）平面薄片的质心坐标：，其中为密度函数。第12章 级 数（学习指导）一、基本要求 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 掌握几何级数与级数的敛散性。 会用比较判别法和比值判别法判别正项级数的敛散性 会用交错级数的莱布尼兹判别法，

19、了解级数绝对收敛与条件收敛的概念。 会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。 会用幂级数在其收敛区间内的基本性质求某些幂级数在收敛区间内的和函数。 知道泰勒级数的概念，掌握函数、和的麦克劳林级数展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成泰勒级数。二、主要内容1级数的收敛与发散（1）级数的前项部分和：对于级数，称为级数的前项部分和。（2）级数的部分和数列：数列称为级数的部分和数列。 （3）级数收敛与发散的概念若级数的部分和数列收敛，即，则称级数收敛，称s为该级数的和，记为，同时称 为级数的余和。 若级数的部分和数列发散，则称级数发散。2级数的基本性质（1）若，是常数，则。（2）若=s，则。（3）若

20、收敛，则也收敛，其中任一正整数；反之亦成立。（4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。（5）级数收敛的必要条件：若收敛，则。3、正项级数的审敛（1）正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界。（2）正项级数的比较判别法 设，则（a）若收敛，则收敛；（b）若发散，则发散。（3）正项级数比较判别法的极限形式设与均是正项级数，若，则与具有相同的敛散性。 （4）正项级数的比值判别法 设 为正项级数，且, 则有（a）1（包含）时，级数收敛； （c）当时，无法给出明确结论。4、交错级数的审敛莱布尼兹判别法：对于交错级数，若正数列单调减少，且, 则交错级数收敛，且余和。5、绝对收敛与条件

21、收敛 （1）级数绝对收敛的概念对于级数，若收敛，则称绝对收敛。 （2）级数条件收敛的概念对于级数，若发散，而收敛，则称条件收敛。 （3）级数绝对收敛与级数收敛的关系如果级数绝对收敛，则级数必收敛。 6、幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理 （a）若幂级数在某点 (0)处收敛，则在区间（）内的任一点处均绝对收敛；（b）若幂级数在某点处发散，则在满足的任一点处均发散。 （2）幂级数收敛半径的概念 对于幂级数，如果存在正数r，使当时，收敛；当 时，发散，则此正数称为幂级数的收敛半径。当仅在点=0处收敛时，定义收敛半径=0; 当在（）上都收敛时，定义收敛半径=+。（3）收敛半径的计算设幂级数满足,（这里的是某个正整数）,且，则（a）当L0时，收敛半径 =; (b) 当L=0时， 收敛半径= +; (c) 当L= +时，收敛半径=0。 （4）收敛区间与收敛域 如果幂级数的收敛半径r0，称（）为幂级数的收敛区间；当判定在=处的敛散性后，可确定其收敛域。7、幂级数的代数运算设 收敛域为，收敛半径，收敛域，收敛半径，则（a） ，收敛域为；（b） ，收敛半径， 这里两个幂级数的乘积是柯西乘积）。8、幂级数的性质设，收敛域，收敛半径，则（1） 和函数在上连续；（2）和函数在内可导且可逐项求导： ；（3）和函数在内可积，且可逐项积