(完整版)数列解题技巧归纳总结好(5份),推荐文档

1、 数列 数列的分类知识框架的概念数列的通项公式函数角度理解数列的递推关系等差数列的定义a - a= d (n 2)nn-1nn(n -1)等差数列等差数列的通项公式an = a1 + (n -1)d等差数列的求和公式sn = 2 (a1 + an ) = na1 +2d等差数列的性质a + a = a + a (m + n = p + q)两个基nmpq本数列等比数列的定义an = q(n 2)an-1等比数列的通项公式an = a1q n-1数列1n = 1等比数列 a - a qa (1 - qn ) (q 1)等比数列的求和公式sn = na1 (-qq= 1)1- q1等比数列的性质a

2、 a= a a(m + n = p + q)n mp q公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1） 观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、 已知an满足 an+1=an+2，而且 a1=1

3、。求 an。例 1、解 an+1-an=2 为常数an是首项为 1，公差为 2 的等差数列1an=1+2（n-1）即 an=2n-1例 2、已知an 满足 an+1 = 2 an ，而 a1 = 2 ，求 an =？1（2） 递推式为 an+1=an+f（n）例 3、已知a 中 a = 1 ， a= a +1，求 a .7n12n+1n4n2 -1n11112 2n解： 由已知可知 an+1 - an = (2n + 1)(2n - 1) =(-1 - 2n + 1)令 n=1，2，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）a = a+ 1 (

4、1-1) = 4n - 3n122n -14n - 2说明只要和 f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由 an+1=an+f（n） 以n=1，2，（n-1）代入，可得 n-1 个等式累加而求 an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（p，q 为常数）例 4、an 中， a1 = 1，对于 n1（nn）有 an = 3an-1 + 2 ，求 an .解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an- 1） 因此数列an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（31+2）-1=4an+1-an=43n-

5、1an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1即 an=23n-1-1解法二： 上法得an+1-an是公比为 3 的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=43，a4-a3=432，an- an-1=43n-2，把 n-1 个等式累加得：an=23n-1-1(4) 递推式为 an+1=p an+q n（p，q 为常数）b- b = 2 (b - b)由上题的解法，得： b = 3 -n -2 n a2( )= bn =11nn+1n3nn-1n3n(5) 递推式为an+2 = pan+1 + qan2n3( 2)2( )3思路：设 an+2 = pan+1 + qan ,可以变形为

6、： an+2 -aan+1 = a(an+1 -aan ) ，想于是an+1-an是公比为 的等比数列，就转化为前面的类型。求 an 。(6) 递推式为 sn 与an 的关系式关系 sn+1 - sn = (an - an+1 ) +；（2）试用 n 表示 an。11( 2n-2 - 2n-1 )111 an+1 = an - an+1 + 2n-1 an+1 = 2 an + 2n上式两边同乘以 2n+1 得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan是公差为 2 的等差数列。2nan= 2+（n-1）2=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特

7、殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn的公比 q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。11适用于数列 和 （其中an等差）anan+1 an an+1 +可裂项为：111 a a=(d a1- a) ，11an +an+1anan+1= d (-)nn+1nn+1等差数列前n 项和的最值问题：1、若等差数列an的首项 a1 0 ，公差 d 0 ，则前 n 项和 sn 有最大值。 an 0（）若已知通项 an ，则 sn 最大

8、a 0 ；n+1（）若已知 sn= pn2 + qn ，则当 n 取最靠近- q 2 p 的非零自然数时 sn最大；2、若等差数列an的首项 a1 0 ，则前 n 项和 sn 有最小值 an 0（）若已知通项 an ，则 sn 最小 a 0 ；n+1（）若已知 sn数列通项的求法：= pn2 + qn ，则当 n 取最靠近- q 2 p 的非零自然数时 sn最小；公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知 s （即 a + a +l+ a = f (n) ）求 a ，用作差法： a= s1,(n = 1)。n12nnn f (1), (n = 1)sn - sn -1,(n 2)已知 a

9、1 aa2alaan=f (n) 求 an ，用作商法： an = f (n) , (n 2) 。 f (n -1)已知条件中既有 sn 还有 an ，有时先求 sn ，再求 an ；有时也可直接求 an 。若 an+1 - an = f (n) 求 an 用累加法： an = (an - an-1 ) + (an-1 - an-2 ) +l+ (a2 - a1 )+a1 (n 2) 。已知 an+1 = f (n) 求 a ，用累乘法： a= an an -1 l a2 a(n 2) 。annaaa1nn -1n - 21已知递推关系求 an ，用构造法（构造等差、等比数列）。nn-1nn-

10、1特别地，（1）形如 a = ka+ b 、 a = ka+ bn （ k, b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后，再求 a ；形如 a = ka+ kn 的递推数列都可以除以 kn 得到一个等差nnn-1数列后，再求 an 。（2） 形 如 a =an-1的递推数列都可以用倒数法求通项。nkan-1 + b（3） 形如 an+1 = ank 的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。= d或 an+1（8）当遇到 an+1 - an-1数列求和的常用方法：a= q 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。n-1（1） 公式法：等差数列求和

11、公式；等比数列求和公式。（2） 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（3） 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法）.（4） 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方法）.（5） 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：1= 1 - 1 ；

12、 1= 1 ( 1 - 1 )；n(n +1)nn +1n(n + k )k nn + k111111111111=(-) ， -=-；k 2k 2 - 12 k - 1k + 1kk + 1(k + 1)kk 2(k - 1)kk - 1k1111n11=- ；= -；n(n +1)(n + 2)2n(n +1)(n +1)(n + 2)(n +1)!n!(n +1)!n +n +1n +n -1n +1nn 2(-n ) =2 12= 2(-n -1)二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由sn 求an（n = 1时，a1 = s1 ，n 2时，an = sn - sn-1

13、 ）3、求差（商）法111如：a 满足 a +a + + a= 2n + 5n2 12222 nn解： n = 1时， 1a1 = 2 1 + 5，a1 = 14n 2时， 1 a 21 a+ +1 a= 2n - 1 + 5+ 2 12222 n-1n-1 - 得 ： 1 a = 22 nna n= 2 n+114(n = 1)an = 2 n+1 (n 2)练习数列a 满足s + s= 5 a，a = 4，求annn+13 n+11n（注意到an+1= sn+1- sn代入得： sn+1 = 4sn又s1= 4，s n 是等比数列，s =n 4 nn 2时，a4、叠乘法n= sn- sn-

14、1= = 34 n-1例如：数列an 中，a1= 3， an+1 =ann n +1，求an ，=解： a 2 a 3 a n = 12n - 1a n1a1a 2a n-123na1n3又a1 = 3，an = n5、等差型递推公式由an - a n-1 = f (n)，a1 = a 0 ，求an ，用迭加法n 2时，a 2 - a1 = f (2)= f (3)a 3 - a 2两边相加，得： a n - a n-1 = f (n) a n - a1 = f (2) + f (3) + + f (n)an = a 0 + f (2) + f (3) + + f (n)练习数列a n ，a1

15、 = 1，an = 3n-1 + an-1 (n 2)，求a n（an= 1 (3n - 1)）26、等比型递推公式an = can-1 + d (c、d为常数，c 0，c 1，d 0)可转化为等比数列，设an + x = c(a n-1 + x) a n = can-1 + (c - 1)x令(c - 1)x = d，x =dc - 1a +d 是首项为a +d，c为公比的等比数列 nc - 11c - 1a + c d= a +d cn-1n- 11c - 1a = a +d cn-1 -dn 1c - 1c - 1练习数列a n 满足a1 = 9，3an+1 + an = 4，求an4

16、n-1（an = 8 - 3+ 1）7、倒数法例如：a= 1，a= 2an，求an1n+1a n + 2由已知得： 1= a n + 2 = 1 + 11 - 1 a n+1a na n+1= 122an2a n 1 为等差数列， 1 = 1，公差为 1a n a12 1 = 1 + (n - 1) 1 = 1 (n + 1)a nan22=2n + 12数列求和问题的方法（）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。135(2n-1)=n2【例 8】 求数列 1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前

17、n 项的和。1解本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n 项中，共有 1+2+n=1最后一个奇数为：1+ n(n+1)-12=n2+n-12因此所求数列的前 n 项的和为n(n + 1) 个奇数，2（）、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 s=1（n2-1）+ 2（n2-22）+3（n2-32）+n（n2- n2） 解 s=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）（）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。nnn例 10、求和： sn = 3c1 + 6c 2 +l+ 3nc

18、n8nnnn例 10、解 sn= 0 c0 + 3c1 + 6c 2 +l+ 3ncn sn=3n2n-1（）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、 求数列 1，3x，5x2,(2n-1)xn-1 前 n 项的和 解设sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1(2)x=0 时，sn=1(3)当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以 x 得 xsn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-， 得 (1-x)sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5)裂项法：把通项公式整理成两

19、项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：1111例 12、求和+l1 53 75 9(2n -1)(2n + 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法161. 函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】 等差数列an的首项 a10，前 n 项的和为 sn，若 sl=sk（lk）问 n 为何值时 sn 最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。a10 sl=sk（lk），d0 故此二次函数的图像开口向下 f（l）=f（k）2.

20、 方程思想【例 14】设等比数列an前 n 项和为 sn，若 s3+s6=2s9，求数列的公比 q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知 q1。如果 q=1，则 s3=3a1，s6=6a1，s9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。q1整理得 q3（2q6-q3-1）=0 q0此题还可以作如下思考：s6=s3+q3s3=（1+q3）s3。s9=s3+q3s6=s3（1+q3+q6），由 s3+s6=2s9 可得 2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=03. 换元思想【例 15】 已知 a，b，c 是不为 1 的正数，x，y，zr+，且求证：a，b，c 顺次成

21、等比数列。证明 依题意令 ax=by=cz=kx=1ogak，y=logbk，z=logckb2=aca，b，c 成等比数列（a，b，c 均不为 0）数学 5（必修）第二章：数列提高训练 c 组一、选择题11. 数列an 的通项公式 an =，则该数列的前（）项之和等于9 。n +n +1a. 98b. 99c. 96d. 972在等差数列an 中，若 s4 = 1, s8 = 4 ，则 a17 + a18 + a19 + a20 的值为（）a 9b12c16d173在等比数列an 中，若 a2 = 6 ，且 a5 - 2a4 - a3 + 12 = 0 ，则 an 为（）a 6b 6 (-1

22、)n-2c 6 2n-2d 6 或6 (-1)n-2 或6 2n-24在等差数列an 中， a1 + a2 + . + a50 = 200, a51 + a52 + . + a100 = 2700 ，则 a1 为（）a -22.5b -21.5c -20.5d -205. 已知等差数列an 的前n 项和为 sn , 若m 1,且am-1 + am+1 - am2 = 0, s2m-1 = 38,则m等于（）a. 38b. 20c10d 96. 等差数列a ,b 的前 n 项和分别为 s , t ,若 sn =2n ,则 an =（）tnnnnn3n +1bn22n -12n +12n -1a.

23、bcd 3二、填空题3n -13n +13n + 41. 已知数列an 中，a1 = -1 ，an+1 an = an+1 - an，则数列通项an =。2. 已知数列的 sn = n 2 + n + 1，则 a8 + a9 + a10 + a11 + a12 =。3. 三个不同的实数 a, b, c 成等差数列，且 a, c, b 成等比数列，则 a : b : c =。 d = 14. 在等差数列 an 中，公差2 ，前100 项的和 s100 = 45 ，则 a1 + a3 + a5 + . + a99 =。5若等差数列an 中， a3 + a7 - a10 = 8, a11 - a4

24、= 4, 则 s13 =.6一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比 q 为。三、解答题1. 已知数列an的前 n 项和 s =n 3 + 2n ，求 an2. 一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85 ，偶数项的和为170 ，求此数列的公比和项数。3 数列lg1000, lg(1000 cos 600 ), lg(1000 cos2 600 ),.lg(1000 cosn-1 600 ), 的前多少项和为最大？4. 已知数列 an 的前 n 项和 sn = 1 - 5 + 9 - 13 + . + (-1)n-1 (4n - 3) ，求 s

25、15 + s22 - s31 的值。5. 已知数列a n 的前 n 项和为 s n ，满足 s n =2a n -2n(nn + )（1） 求数列a n 的通项公式 a n ; bn1a（2） 若数列b n 满足 b n =log 2 (a n +2),t n 为数列n+ 2 的前 n 项和，求证 t n 2 ;参考答案（数学 5 必修）第二章 提高训练 c 组一、选择题n +1n +11 n +n +12132n1.ban =-n, sn =-+-+. +-n +1n +1sn =-1 =9,= 10, n = 992.as4 = 1, s8 - s4 = 3, 而 s4 , s8 - s4

26、 , s12 - s8 , s16 - s12 , s20 - s16 , 成等差数列即1, 3, 5, 7, 9, a17 + a18 + a19 + a20 = s20 - s16 = 93.da - 2a - a + 2a = 0, a - a = 2a - 2a , a (q2 -1) = 2a (q2 -1)5432534232a = 2a 或或2 -1 = 0, q = 2,1-1 ，当 q = 1 时， a = 6 ；32nn-1n-2当 q = -1 时， a1 = -6, an = -6 (-1)= 6 (-1)；n-1n-2当 q = 2 时， a1 = 3, an = 3

27、 2= 6 2；504.c2700 - 200 = 50d 50, d = 1, s50 = 2 (a1 + a50 ) = 200 ，a1 + a50 = 8, 2a1 + 49d = 8, 2a1 = -41, a1 = -20.55.cam+ a -m a 2 m= 0, a (am - 2m) = 0, a = 2m,s= 2m -1 (a + a) = (2m -1)a= 38, 2m -1 = 192m-1212m-12m2n -1 (a + a)an2an =212n-1s2n-12(2n -1)2n -16.bb = 2b2n -1= t= 3(2n -1) + =-1nn二、

28、填空题(b1 + b2n-1 )2n-113n2111111 1 是 以 11. - na - a= 1, a- a = -1, a = 1, a 为首项，以 -1为nn+1n+1n1 an 111公差的等差数列，an= -1+ (n -1) (-1) = -n, an = - n1. 100a + a + a + a + a= s - s= 122 +12 +1- (72 + 7 +1) = 100891011121273. 4 :1 : (-2)a + c = 2b, c = 2b - a, ab = c2 = (2b - a)2 , a2 - 5ab + 4b2 = 0a b, a =

29、4b, c = -2b1004. 10s100 =2 (a1 + a100 ) = 45, a1 + a100 = 0.9, a1 + a99 = a1 + a100 - d = 0.4,s = 50 (a + a ) = 50 0.4 = 1021992135.156 a3 + a7 - a10 + a11 - a4 = 12, a3 + a11 = a10 + a4 , a7 = 12, s13 = 2 (a1 + a13 ) = 13a75 -1-1+ 5nn+1n+2nn6.设 a = a+ a= qa + q2a , q2 + q -1 = 0, q 0, q =22三、解答题1.

30、解 ： s n= 3 + 2n , sn-1 = 3 + 2n-1, an= sn - sn-1 = 2n-1(n 2)5,(n = 1)而 a1 = s1 = 5 ， an = 2n-1 , (n 2)2. 解：设此数列的公比为 q,(q 1) ，项数为 2n ，1- (q2 )na (1- q2n )则 s= 85, s= 2= 170,奇 偶 1- q2sa1- 22n1- q22n 偶 = 2 = q = 2,= 85, 2= 256, 2n = 8,s奇a11- 4 q = 2, 项数为82. 解： an = 3 - (n -1) lg 2,an是以3 为首项，以 -lg 2 为公差

31、的等差数列，s = n 3 + 3 - (n -1) lg 2 = - lg 2 n2 + 6 + lg 2 n,n2226 + lg 2对称轴 n = 10.47, n n*,10,11比较起来10 更靠近对称轴2 lg 2前10 项和为最大。an 0另法：由 a 0 ，得9.9 n 10.9n+1 n (-4), n为偶数3. 2-2n, n为偶数， =解 ： s =n n -1 (-4) + 4n - 3, n为奇数 2s15 = 29, s22 = -44, s31 = 61,s15 + s22 - s31 = -7620. （1）当 nn + 时，s n = 2an - 2n ,n2n -1, n为奇数则当 n2，nn + 时，s n -1 =2a n -1 -2(n-1).-，得 a n =2a n -2a n -1 -2即 a =2a+2，a +2=2（a+2）， an + 2 =2a+ 2nn -1nn -1n-1当 n=1 时，s 1 =2a 1 -2,则 a 1 =2，| a n +2|是以 a 1 +2 为首项，以 2 为公比的等比数列。a n+2=42 n-1 ， a n=2 n +1 -2（）b n=log 2( a +n2)= lo