(完整版)数列求和方法归纳,推荐文档

1、一、直接求和法（或公式法）数列求和掌握一些常见的数列的前 n 项和：1+ 2 + 3 + +n= n(n +1) ，1+3+5+(2n-1)= n22n(n +1)(2n +1)n(n +1) 212 + 22 + 32 + +n2 =，13 + 23 + 33 + +n3 = 等.6例 1求-12 + 22 - 32 + 42 - 52 + 62 -l- 992 +1002 2解：原式= (22 -12 ) + (42 - 32 ) + (62 - 52 ) +l+ (1002 - 992 ) = 3 + 7 +11+l+199 由等差数列求和公式，得原式= 50 (3 +199) = 50

2、50 2变式练习：已知log3 x =- 1log 2 3， 求 x + x 2 + x3 + . + xn + .的前 n 项和.1解 ：1 2n二、倒序相加法此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.123222102例 2求+l+的和12 +10222 + 9232 + 82102 +12122232102解：设s = +l+ 12 +10222 + 9232 + 82102 +12102928212则s =+l+102 +1222 + 9232 + 82102 +12两式相加，得三、裂项相消法2s = 1+1+l+1

3、 = 10为 s = 5 n + k +n-n) ，n + k，常见的拆项公式有：1= 1 ( 1 -1 )1= 1 ( n(n + k )k nn + kk1= 1 (1-1) ，等. (2n -1)(2n +1)2 2n -12n +1例 3已知12 + 22 +l+ n2 = 1 n(n +1)(2n +1) ，求 3+ 5+67+l+ 2n 1*(n n ) 的和1212 + 2212 + 22 + 3212 + 22 +l+ n2解：q a=2n +1= 12n +16=，n12 + 22 +l + n2n(n +1)(2n +1)6n(n +1) s = 6 1 + 1 +l+1n

4、1 22 3n(n +1)=1 11 11 6 1- 2 + 2 - 3 +l+ n - n +1+1= 6 1- n 1 = ln .n +1小结：如果数列an 的通项公式很容易表示成另一个数列bn 的相邻两项的差，即an = bn+1 - bn ，则有sn = bn+1 - b1 .这种方法就称为裂项相消求和法.1 ，变式练习：求数列1 312 4， 13 5 ，1n(n + 2)，的前 n 项和 s.=(解：11 1 -1）n(n + 2)2 nn + 2s = 1 1) + ( 1 - 1111111311) + + (-) =(1 -) =- 2n2n 2 (1 - 324nn +

5、2 22四、错位相减法n +1n + 24+2n + 4源于等比数列前 n 项和公式的推导，对于形如anbn 的数列，其中an 为等差数列，bn 为等比数列，均可用此法.例 4求 x + 3x2 + 5x3 +l+ (2n -1)xn 的和x2x2 (1- xn-1)(2n -1)xn+12解：当 x 1 时， sn = 1- x +(1- x)2-1- x；当 x = 1 时， sn = n 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列bn 的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前 n 项和公式求和.变式练习：求数列 a,2a2,3a3,4a4,nan, (a 为常数)的前 n 项和

6、。解：（1）若 a=0, 则 sn=0（2）若 a=1,则 sn=1+2+3+n=（3）若 a0 且 a1n(n + 1) 2则 sn=a+2a2+3a3+4a4+ nan ， asn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) sn=a+ a2+ a3+an- nan+1=a - an+11- a- nan+1a -an+1 - nan+1当 a=0 时，此式也成立。sn=(1- a)21- a (a 1)sn =n(n +1) (a = 1)a - a2n+1nan+1五、分组求和法(1- a)2 - 1- a (a 1)若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例 5求数

7、列2 1为为 1l 2n + 1 ，l 的前n 项和s 1为 4 6 n+1n48162s = (2 + 4 + 6 +l+ 2n) + 1 + 1 + 1 +l+ 1 = n(n +1) + 1 - 1 22n 2223242n+1 n+1变式练习：求数列11 , 2 1 ,3 1 , 4 1 ,l 的前 n 项和392781n2 + n +11解：-22 3n1.等比数列a 的前项和 s数列求和基础训练2，则a 2 + a 2 + a 2 + l + a 2 4n -1n123n3nn2.设s = -1 + 3 - 5 + 7 -l + (-1)n (2n -1) ，则s (-1)n n

8、.3. 1 + 1 +l +1= n.1 44 7(3n - 2) (3n + 1)3n +14.111+. +11 11112 4 + 3 5 + 4 6(n +1)(n + 3) =2 2 + 3 - n + 2 - n + 35.数列1,(1+ 2),(1 + 2 + 22 ),l,(1 + 2 + 22 +l + 2n-1 ),l 的通项公式a = 2n - 1 ，前 n 项和n n+1sn = 2- n - 26 . 1 3 52n - 12n + 3,l,l; 的前 n 项和为s = 3 -2 22232 nn2n数列求和提高训练1. 数列an满足：a11，且对任意的 m，nn*都

9、有：amnamanmn，则1 + 1a1a2+ 1 +l +a31=a2008(a)a 4016b 2008c 2007d 20072009200910042008解：amnamanmn，an1ana1nan1n，n(n + 1)1211利用叠加法得到： an =，= 2(-) ，2ann(n + 1)nn +111111111114016+l += 2(1 -+-+l +-) = 2(1 -) = a1a2a3a 20082232008200920092009n2. 数列an、bn都是公差为 1 的等差数列，若其首项满足 a1b15，a1b1，且a1，b1n*，则数列 ab 前 10 项的和

10、等于(b)a100b85c70d55解：ana1n1，bnb1n1nn ab a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3则数列 ab 也是等差数4 + 13列，并且前 10 项和等于：10 = 852答案：b.3设 m=12+23+34+(n-1)n，则 m 等于(a)a. n(n2 - 1)b. 1n(n+4)c. 1n(n+5)d.1 n(n+7)32223. 解：因为 a n =n2 - n.，则依据分组集合即得.答案;a.4若 sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则 s17+s3350 等于( a)a.1b.-1c.0 n + 1 d.2(n为为)解：对前 n 项和要分奇偶

11、分别解决，即：s = 2答案：an - n (n为为 ) 25设an为等比数列,bn为等差数列，且 b1=0,cn=an+bn,若数列cn是 1,1,2,则cn的前 10 项和为(a)a.978b.557c.467d.979q + d = 1解由题意可得 a1=1,设公比为 q,公差为 d,则q 2 + 2d = 2q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,sn=978.答案：a6. 若数列an的通项公式是 an(1)n(3n2)，则 a1a2a10(a)a15b.12c12d.15解析a设 bn3n2，则数列bn是以 1 为首项，

12、3 为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.7一个有 2001 项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 解： 设此数列an,其中间项为 a1001,1001则 s =a +a +a +a=1001a,s =a +a +a +a=1000a.答案: 2462000100110008若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则 a=,b=,c=.解： 原式=(n - 1)n (2n - 1) =2n3 - 3n 2 + n.答案：1 ;- 1 ; 16632 69. 已知等

13、差数列an的首项 a11，公差 d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项(1)求数列an与bn的通项公式；b(2)设数列cn对任意自然数 n 均有 c1 + c2 + c3 +l+ cn = a成立 b1b2b3求 c1c2c3c2014 的值n+1n解：(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0)解得 d2，an2n1，可得 bn3n1ncn(2)当 n1 时，c 3；当 n2 时，由= a- a ，得 c 23n1，13(n = 1),bnn +1n故cn = 2 3n-1(n 2).故 c1c2c3c2014323232232002320151

14、0. 设数列an为等差数列，sn 为数列an的前 n 项和，已知 s77，s1575，tn 为数列 sn 的前 n 项和，求 t . n n1解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则 snna12n(n1)d.s77，s1575，sn11sn1sn1error!即error!解得error! n a12(n1)d22(n1) n1 n 2，数列 sn 1192 n n是首项为2，公差为2的等差数列t 4n 4n.22an11. 已知数列an的首项 a13，an1an1 1(1) 证明：数列-是等比数列；(2)求数列 n 的前 n 项和 s . a1 a n n2an1an111 n

15、11 12an1an12an22anan1解析 (1)an1， ，11 2 an- 1 ， 又 a 31 ，1111an11111 a 11a1120，an10， an2，数列 1- 是以2为首项，2为公比的等比数 n11n=111nn 1 1 nan2n an2n (2)由(1)知an12 2 =2即1n.设123n tn222232n112n1n11111n则 2tn2223 2n 2n1 ， 得 2tn222232n2n11 1 - 1 n1n1n2n2 2n 1 2n112n2n1，tn22n12n2 2n .又123n1 -2n(n1) 2，数列 n 2nn(n1)n2n4 n2的前

16、 n 项和 s 2 2n 2 2 2n .an n “”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employe