(完整版)一元二次方程题型分类的总结,推荐文档

1、实用标准文案精彩文档知识梳理一元二次方程题型分类总结一、知识结构： 、一元二次方程 、 、 *考点类型一概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：ax 2 + bx + c = 0(a 0)难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）a3(x + 1)2 = 2(x + 1)b 1 + 1 - 2 = 0x 2xcax 2 + bx + c = 0dx

2、2 + 2x = x 2 + 1变式：当 k时，关于 x 的方程kx 2 + 2x = x 2 + 3 是一元二次方程。例 2、方程(m + 2)x m。+ 3mx + 1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 针对练习：1、方程8x 2 = 7 的一次项系数是，常数项是。2、若方程(m - 2)x m -1 = 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。m3、若方程(m - 1)x 2 + x = 1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是。4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）a.m=n=2b.m

3、=3,n=1c.n=2,m=1d.m=n=1考点类型二方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知2 y 2 + y - 3 的值为 2，则4 y 2 + 2 y + 1 的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程(a - 2)x2 + x + a 2 - 4 = 0 的一个根为 0，则 a 的值为。例 3、已知关于 x 的一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a 0)的系数满足a + c = b ， 则此方程必有一根为。例 4、已知a, b 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的两个根， b, c 是方程 y2

4、- 8 y + 5m = 0 的两个根，针对练习：则 m 的值为。1、已知方程 x 2 + kx - 10 = 0 的一根是 2，则 k 为，另一根是。x +12、已知关于 x 的方程 x 2 + kx - 2 = 0 的一个解与方程求 k 的值； 方程的另一个解。x -1= 3 的解相同。3、已知 m 是方程 x 2 - x - 1 = 0 的一个根，则代数式 m2 - m =。4、已知 a 是 x 2 - 3x + 1 = 0 的根，则 2a 2 - 6a =。5、方程(a - b)x 2 + (b - c)x + c - a = 0 的一个根为（）a- 1b1cb - cd- a6、若

5、2x + 5 y - 3 = 0, 、 4 x 32 y =。考点类型三解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：x 2 = m(m 0), x = m对于(x + a)2 = m ， (ax + m)2 = (bx + n)2 等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程： (1)2x 2 - 8 = 0;(2)25 - 16x 2 =0;(3)(1 - x)2 - 9 = 0;例 2、若9(x - 1)2 = 16(x + 2)2 ，则 x 的值为 。针对练习：下列方程无解的是（）a. x 2 + 3 = 2x 2 - 1b. (x - 2)2 =0

6、c. 2x + 3 = 1 - xd. x 2 + 9 = 0类型二、因式分解法:(x - x1 )(x - x2 )= 0 x = x1 , 或x = x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax + m)2 = (bx + n)2 ， (x + a)(x + b)= (x + a)(x + c) ，x 2 + 2ax + a 2 = 0典型例题：例 1、2x(x - 3)= 5(x - 3)的根为（）a x = 5b x = 3c x21= 5 , x = 322d x = 25例 2、若(4x + y)2 + 3(4x + y)- 4 = 0 ，则 4x

7、+y 的值为 。变式 1： (a 2 + b 2 )2 - (a 2 + b 2 )- 6 = 0, 、a 2 + b 2 = 。变式 2：若(x + y)(2 - x - y)+ 3 = 0 ，则 x+y 的值为。变式 3：若 x 2 + xy + y = 14 ， y 2 + xy + x = 28 ，则 x+y 的值为。例 3、方程 x 2 + x - 6 = 0 的解为（）a. x1 = -3、x 2 = 2b. x1 = 3、x 2 = -2c. x1 = 3、x 2 = -3d. x1 = 2、x 2 = -23例 4、解方程： x 2 + 2( 3 + 1)x + 2+ 4 =

8、0例 5、已知2x 2 - 3xy - 2 y 2 = 0 ,则 x + y 的值为。x - y变式：已知2x 2 - 3xy - 2 y 2 = 0 ,且 x 0, y 0 ,则 x + y 的值为。x - y针对练习：1、下列说法中：方程 x2 + px + q = 0 的二根为 x ， x ，则 x2 + px + q = (x - x )(x - x )1212 - x2 + 6x - 8 = (x - 2)(x - 4) . a2 - 5ab + 6b2 = (a - 2)(a - 3)7xx x 2 - y 2 = (x + y)(+y )(-y )方程(3x +1)2 - 7 =

9、 0 可变形为(3x +1+正确的有（）7)(3x +1-) = 0a.1 个b.2 个c.3 个d.4 个772、以1+与1-为根的一元二次方程是（）a x2 - 2x - 6 = 0b x2 - 2x + 6 = 0c y2 + 2 y - 6 = 0d y2 + 2 y + 6 = 03、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足(x + y - 3)(x + y)+ 2 = 0 ，则 x+y 的值为（）a、-1 或-2b、-1 或 2c、1 或-2d、1 或 25、方程： x

10、2 + 1x2= 2 的解是。6、已知 6x2 - xy -6 y2 = 0 ，且 x 0 ， y 0 ，求 2x - 6 y 的值。3x - y7、方程(1999x)2 - 1998 2000x - 1 = 0 的较大根为 r，方程2007x 2 - 2008x + 1 = 0 的较小根为 s，则 s-r 的值为。类型三、配方法2()b 2b 2 - 4acax + bx + c = 0 a 0 x + 2a =4a 2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、 试用配方法说明 x 2 - 2x + 3 的值恒大于 0。例 2、 已知 x、y

11、 为实数，求代数式 x 2 + y 2 + 2x - 4 y + 7 的最小值。例 3、 已知 x 2 + y 2 + 4x - 6 y + 13 = 0、x、y 为实数，求 x y 的值。例 4、 分解因式： 4x2 +12x + 3针对练习：1、试用配方法说明- 10x 2 + 7x - 4 的值恒小于 0。2、已知 x 2 + 1 - x - 1 - 4 = 0 ，则 x + 1 =.x 2x- 3x 2 + 12x - 93、若t = 2 -。c -14、如果a + b +。x，则 t 的最大值为，最小值为b +1a - 2- 1 = 4+ 2- 4 ,那么a + 2b - 3c 的值

12、为 类型四、公式法条件：(a 0,且b 2 - 4ac 0- b b 2 - 4ac公式：x =, (a 0,且b 22a- 4ac 0典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： 3(1 + x)2 = 6.(x + 3)(x + 6)= -8. x 2 - 4x + 1 = 0 3x 2 - 4x - 1 = 0 3(x - 1)(3x + 1)= (x - 1)(2x + 5)例 2、在实数范围内分解因式：（1） x2 - 2 2x - 3；（2） - 4x2 + 8x - 1. 2x2 - 4xy - 5 y2说明：对于二次三项式ax 2 + bx + c 的因式分解，如果在有理数范围内

13、不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax 2 + bx + c =0，求出两根，再写成ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ) .分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用典型例题：求代数式的值；解二元二次方程组。(x - 1)3 - x 2 + 1例 1、 已知 x 2 - 3x + 2 = 0 ，求代数式的值。x - 1例 2、如果 x 2 + x - 1 = 0 ，那么代数式 x3 + 2x 2 -7 的值。a2a5a1例 3、-+ =3 -2 -+已知a 是一元二次方程 x 23x10 的一根，

14、求的值。a 2 +1例 4、用两种不同的方法解方程组2x - y = 6,x2 - 5xy + 6 y2 = 0.(1)(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点类型四 根的判别式 b2-4ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于 x 的方程 x 2 + 2围是。k x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范例 2、关于 x 的方程(m - 1)x2 + 2mx + m = 0 有实数根，则 m 的取值范围是()a.

15、 m 0、m 1b. m 0c. m 1d. m 1例 3、已知关于 x 的方程 x 2 - (k + 2)x + 2k = 0(1) 求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰d abc 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求d abc 的周长。例 4、已知二次三项式9x2 - (m + 6)x + m - 2 是一个完全平方式，试求m 的值.x2 + 2 y2 = 6,例 5、m 为何值时，方程组mx + y = 3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k时，关于 x 的二次三项式 x 2 + kx + 9 是完全平方式。2、当k 取何值时，多项

16、式3x2 - 4x + 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程mx 2 - mx + 2 = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值是. y = kx + 2,4、k 为何值时，方程组 y2 - 4x - 2 y +1 = 0.（1） 有两组相等的实数解，并求此解；（2） 有两组不相等的实数解；（3） 没有实数解. 5、当k 取何值时，方程 x2 - 4mx + 4x + 3m2 - 2m + 4k = 0 的根与m 均为有理数？考点类型五方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程(m + 1)x 2 + 2mx - 3 = 0有两个实数根，则 m 为,只

17、有一个根，则 m 为。例 2、 不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 - 2(x - k )+ k 2 = -3 根的情况。例 3、如果关于 x 的方程 x 2 + kx + 2 = 0 及方程 x 2 - x - 2k = 0 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点类型六应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；典型例题：“最值”型问题；“图表”类问题1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？3、北京

18、申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放1市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减31少 ，该产品第一年收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收21回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到3130.1， 3.61 ）4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售， 一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1） 当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润

19、。（2） 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元， 销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1） 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2） 两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3） 两个正方形的面积之和最小为多少？6、a、b 两地间的路程为 36 千米.甲从 a 地，乙从 b 地同时出发相向而行，两人相遇后， 甲再走 2 小时 30 分到达 b 地，乙再走 1 小时 36 分到达 a 地，

20、求两人的速度.考点类型七根与系数的关系前提：对于ax 2 + bx + c = 0 而言，当满足 a 0 、 d 0 时，才能用韦达定理。主要内容：x + x = - b , x x = c12a1 2a应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x 2 - 8x + 7 = 0 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）36a. b.3c.6d.例 2、已知关于 x 的方程k 2 x 2 + (2k - 1)x + 1 = 0 有两个不相等的实数根 x , x ，12（1） 求 k 的取值范围；（2） 是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出

21、k 的值； 若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时， 小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知a b ， a 2 - 2a - 1 = 0 ， b 2 - 2b - 1 = 0 ，求 a + b = 变式：若a 2 - 2a - 1 = 0 ， b 2 - 2b - 1 = 0 ，则 a + b 的值为。ba例5、已知a,a是方程x2 - x -1 = 0的两个根，那么a4 + 3a=.针对练习：x + y = 3,1、解方程组x2 + y2 = 5(1)(2)ba2已知a2 - 7a = -4 ， b2 - 7b = -4 (a b) ，求+ab的值。3、已知 x1 , x2 是方程 x 2 - x - 9 = 0 的两实数根，求 x1 3 + 7x2 2 + 3x2 - 66 的值。4、已知关于 x 的方程x 2 - 2(m - 2)x + m 2 = 0 ,问：是否存在实数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 56，若存在，求出 m