(完整版)高等代数试卷及答案(一),推荐文档

1、一、填空题（共 10 题，每题 2 分，共 20 分）。1. 多项式可整除任意多项式。2. 艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。3. 在 n 阶行列式 d 中， 0 的个数多于个是 d = 0 。4. 若 a 是 n 阶方阵，且秩 a = n -1，则秩 a* =。5. 实数域上不可约多项式的类型有种。6. 若不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式，则 p(x) 是 f (x)(k-1) 的重因式。7. 写出行列式展开定理及推论公式。8. 当排列i1i2 lin 是奇排列时，则i1i2 lin 可经过数次对换变成12l n 。9. 方程组x1 + x2 +

2、 x3 = 1ax + bx + cx = d，当满足条件时，有唯一解，唯一解为23a2 x +1b2 x + c2 x3 = d 212。10若(x -1)2ax4 + bx2 +1，则 a =， b =。二、判断题（共 10 题，每题 1 分， 共 10 分）。1. 任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（）2. 两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（）3. 设aala是 pn 中n 个向量，若apn ，有aala,a线性相关，则1 2n1 2na1a2 lan 线性相关。 （）4. 设a是某一方程组的解向量， k 为某一常数，则 ka也为该方程组的解向量。（）5若一整系数多项式

3、 f (x) 有有理根，则 f (x) 在有理数域上可约。（）6秩( a + b) 秩 a ，当 且仅当秩 b = 0 。 （）7向量a线性相关 它是任一向量组的线性组合。（）8若 f (x), g(x) px， 且( f (x), g(x) = 1， 则( f (x)g(x), f (x) + g(x) = 1。（）9 f (x), g(x) zx，且 g(x) 为本原多项式，若 f (x) = g(x)h(x) 则h(x) zx 。（）10若 a, b, c, d pnn ，则 ab =cdad - bc 。（）三、选择题（共 5 题，每题 2 分， 共 10 分）。1. a 为方阵，则

4、3a = （）a. 3 ab. ac. 3n ad. n3 ar2. 若既约分数 是整系数多项式 f (x) 的根，则下面结论那个正确（）sa. s + rf (1), s - rf (-1)b.s + rf (1), s + rf (-1)c. s + rf (-1), s - rf (1)d.s + rf (-1), s + rf (-1)3. n 阶行列式 d ，当 n 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（）a. 4k 或4k + 2b. 4k 或 4k +1c. 4k 或 4k + 3d. 4k +1 或4k + 24. 含 n 有个未知量 n +1个方程的线性方程组 aa1

5、1 x1 + a12 x2 +l+ a1n xn = b1有lllllllllllan1 x1 + an 2 x2 +l+ ann xn = bn x + ax +l+ ax = ba11a12 n+1,1 1la1nn+1,2 2b1n+1,n nn+1解的 （）条件是行列式lllll= 0 。an1 an+1,1an 2an+1,2lannlan+1,nbn bn+1a. 充要b.必要c.充分必要d.不充分不必要5. f (x) = a xn + axn-1 +l+ a x + a zx ，若既约分数 p 是 f (x) 的有理根，nn-110q则下列结论正确的是（）a. pan, qa0

6、b. pan, qanc. pa0,qand. pa0, qa0四、计算题（共 4 题，每题 7 分，共 28 分）。1. 设 f (x) = x4 + 3x3 - x2 - 4x - 3 ， g(x) = 3x3 +10x2 + 2x - 3求( f (x), g(x) ，并求u(x), v(x) 使( f (x), g(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) 。2. 计算下列 n 阶行列式a1 - b1a1 - b2la1 - bna2 - b1a2 - b2la2 - bnllllan - b1an - b2lan - bndn =3. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，

7、并写出它的通解。x1x- x2 + 5x3 - x4 = 0 1 + x - 2x + 3x = 0 3x 234- x + 8x + x = 01234 x1 + 3x2 - 9x3 + 7x4 = 0 012 4. 设 a = 114 ，判断 a 是否可逆，若可逆，求 a-1 2-10 五、证明题（共 4 题，每题 8 分， 共 32 分）。1. 设 a, b 为 n n 矩阵，如果 ab = 0 ，那么秩( a) 秩(b) n 。2. 如果 a 是 f (x) 的一个 k 重根，证明 a 是g(x) = x - a f (x) + f (a) - f (x) + f (a) 的一个 k

8、+ 3 重根。2cosa10l00012 cosa1l000012 cosal0003证明： dn =lllllll= cos na000l2 cosa10000l12 cosa1000l012cosa4设向量组a1,a2 ,l,as(1)a1,a2 ,l,at(2)a1,a2 ,l,as , a1,a2 ,l,at(3)的秩分别为 r1 , r2 , r3 ，证明maxr1 , r2 r3 r1 + r2 。答案一1零次2.充分3. n2 - n4. 15.26.单 di = j7. ai1 aj1 + ai 2 aj 2 +l + ain ajn = 08. 奇i j9. a, b, c

9、互不相同10. a = 1,b = -2二15610 三 cc bbc四1 ( f (x), g(x) = x + 3 ；u(x) = 3 x -1,v(x) = - 1 x2 + 2 x555a1 - b1n = 12 dn = (a10- a2 )(b1 - b2 )n = 2n 3x = - 3 x - x 12 34，x , x3. 一般解为x = 7 x - 2x 22 24 - 33 -14 为自由未知量。2 基础解系为a = 7 ， a = -2 。1 2 1 2 0 1 0 2-11 -14. a 可逆，且 a= 43-211 -1-22 五1证：令 b = (b1 , b2

10、,l, bn ) ， ab = a(b1 , b2 ,l, bn ) = ( ab1 , ab1 ,l, abn ) = (0, 0,l, 0) abi = 0, i = 1, 2,l, n bi 是 ax = 0 的解。秩(b1, b2 ,l, bn ) 秩 b n - 秩 a 。秩 a 秩 b n 。2证：q g(a) = g(a) = g (a) = 0k + 3 重根。3. 提示： dn 按最后一行展开，得证。且 a 是 g (x) 的 k +1 重根， a 是 g(x) 的4. 提示：取极大无关组，得证。“”“”at the end, xiao bian gives you a pa

11、ssage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and