北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

1、三角形的证明单元检测卷B . 80或 20)D . 2010 . （4 分）（2013?）如图, 长为半径画弧分别交 AB、 长为半径画弧，两弧交于点 的个数是（）AD是/ BAC的平分线;在 ABC中，/ C=90, / B=30,以A为圆心，任意AC于点M和N，再分别以 M、N为圆心，大于 MN的P,连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确/ ADC=60 点D在AB的中垂线上；Sadac :A .如果 a0, b0，贝U a+b0B.直角都相等Saabc=1 : 3.C.两直线平行，同位角相等D.若 a=6,则 |a|=|b|3. ABC 中，/ A: / B: / C=1 : 2:

2、 3，最小边 BC=4 cm，最长边 AB 的长是A. 1B . 2C. 80。或 50)1. （4分）（2013?）等腰三角形的一个角是80则它顶角的度数是（A. 802. （4分）下列命题的逆命题是真命题的是（A. 5cm4. （4分）如图，已知 AE=CF , / AFD= / CEB，那么添加下列一个条件后，仍 无法判定 ADF CBE的是（）B. 6cmC. 7 cmD. 8cm12 . （4分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，A （ 0, 2） , B （0, 6）,动点C在直 线y=x 上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形， 则点C的个数是（ ）A . 2B . 3

3、C . 4|D . 5A . / A= / CB . AD=CBC . BE=DFD . AD / BC13 . (4分）如图，在等腰Rt ABC 中，/ C=90 AC=8 , F是AB边上的中点，5. （4分）如图，在厶ABC中，/ B=30 BC的垂直平分线交 AB于E,垂足为D .若 ED=5，则CE的长为（）A. 10D. 2.56如图，D ABC 一点，CD平分/ ACB , BE丄CD，垂足为D，交AC于点E, / A= / ABE . 若 AC=5 , BC=3，贝U BD 的长为（）点D, E分别在AC , BC边上运动，且保持 AD=CE .连接DE , DF, EF.在此

4、运 动变化的过程中，下列结论： DFE是等腰直角三角形； 四边形CDFE不可能为正方形，DE长度的最小值为4;四边形CDFE的面积保持不变； CDE面积的最大值为 &A . 2.5B .1.5C .2D .1其中正确的结论是（)7. （4 分）如图，AB=AC ,BE 丄 AC 于点 E, CF 丄 AB 于点 F,BE、CF相交于点D,A .B .C .D .A.& （4分）如图所示，AB=3 , CE=4,贝U AD 等于（C.D./ BAE= / DEC=60 RtA ABC中，/ ABC=90 DE是AC的垂直平分线，交 ACE, / BAE=20。，则 / C=.A . 109.如图

5、所示，在 ABC中，AB=AC , D、E是厶ABC两点，AD平分 / BAC . / EBC= / E=60 若 BE=6 , DE=2，贝U BC 的长度是（）B . 12C . 24D . 4817 . (4分)如图，在DE / BC . BD=8cm , ABC中，BI、CI分别平分/ ABC、/ ACF , DE过点I，且 CE=5cm，贝H DE 等于 _一 .C.9 D.10则 ABE ACF ; BDFCDE ; 点D在/ BAC 的平分线上.以上结论正确的是（）B .AB丄BC , DC丄BC, E是BC上一点,)二、填空题（每小题 4分，共24分）14 . （4分）用反证法

6、证明命题 三角形中必有一个角小于或等于60。时，首先应假设这个三角形中.215. （4分）若（a- 1） +|b - 2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_16 . （4分）如图，在于点D，交BC于点18如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为1m,在容器壁离容器底部 0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 _m.19. 如图，在 Rt ABC中，/ C=90 / B=60 点D是BC边上的点，CD=1，将 ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的 动点，贝U PEB

7、的周长的最小值是 .三、解答题（每小题 7分，共14分）20. （7 分）如图，C 是 AB 的中点，AD=BE , CD=CE .求证：/ A= / B .21. （7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在/AOB的部有工厂 C和D, 现要修建一个货站 P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂 C、 D的距离相等，用尺规作出货站 P的位置.四、解答题（每小题 10分，共40分）22. （10 分）在四边形 ABCD 中，AB / CD，/ D=90 / DCA=30 CA 平分 / DCB , AD=4cm，求AB的长度？23. （10分）如图，在 ABC中，/ C=90

8、AD平分/ CAB，交CB于点D，过 点D作DE丄AB于点E.（1）求证： ACD AED ;（2）若/ B=30 CD=1，求 BD 的长.24. （10分）如图，把一个直角三角形ACB （/ ACB=90 绕着顶点B顺时针旋 转60使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F, G分别 是BD , BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H .（1）求证：CF=DG ; （2）求出/ FHG的度数.25. （10分）已知：如图， ABC中，/ ABC=45 DH垂直平分 BC交AB于点 D, BE平分/ ABC，且BE丄AC于E,与CD相交于点F.（1）求证：BF=AC ;

9、（2）求证：.五、解答题（每小题 12分.共24分）26. （12分）如图，在 ABC中，D是BC是中点，过点 D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G, DE丄DF交AB于点E,连接EG、EF.（1）求证：BG=CF ; （2）求证：EG=EF ;（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.27. （12分） ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与 B、C重合）， 以AD为一边向 AD的左侧作 ADE，使AD=AE , / DAE= / BAC，过点E作BC 的平行线，交直线 AB于点F，连接BE .（1） 如图1,若/ BAC= / DAE=60 则

10、BEF是三角形；（2）若/ BAC= / DAE 书0 如图2,当点D在线段BC上移动，判断 BEF的形状并证明； 当点D在线段BC的延长线上移动， BEF是什么三角形？请直接写出结论并 画出相应的图形.命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的北师大版八年级下册第1章三角形的证明2014年单元检测卷A（）3. (4 分) ABC 中，/ A : / B : / C=1 : 2: 3,最小边 BC=4 cm，最长边 AB 的长是()A. 5cmB. 6cmC. 7 cmD.参考答案与试题解析考点： 分析：含30度角的直角三角形.三个角的比以及三角形的角和定理，得出各个

11、角的度数. 以及直角三角形中角 3C半.A. 80 B . 80或 20C. 80或 50D .20 边的一半，得最长:边是最小边的2倍，即8,故选D.点评：此题主要是运用了直角三角形中角30所对的直角边是斜边的一半.考点：等腰三角形的性质.专题：分类讨论.4. (4 分)(2013?)如图,已知 AE=CF ,/ AFD= / CEB，那么添加下列一个条件分析：分80角是顶角与底角两种情况讨论求解.后，仍无法判定 ADF工CBE的是（)解答：解:80角是顶角时，三角形的顶角为8080角是底角时，顶角为 180 802=20A. / A= / CB . AD=CBC. BE=DFD综上所述，该

12、等腰三角形顶角的度数为80 或 20故选B .考点：全等三角形的判定点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,难点在于要分情况讨论求解.分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可.解：根据三个角的比以及三角形的角和定理，得直角三角形中的最小角是解答:30 根)解答:一、选择题（每小题 4分，共48分）1. （4分）（2013?）等腰三角形的一个角是80则它顶角的度数是（2. （4分）下列命题的逆命题是真命题的是（A .如果 a0, b0，贝U a+b0C.两直线平行，同位角相等B.直角都相等D.若 a=6,贝V |a|=|b|解：结AE=CF, AE+EF=CF+EF , AF

13、=CE ,A、结在 ADF和厶CBE中考点：命题与定理.分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可. 解答：解；A .如果 a0, b 0,贝U a+b 0:如果 a+b0,贝U a 0, b0，是假命题; B .直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C. 两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D. 若a=6,则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|,则a=6,是假命题. 故选：C. ADF CBE （ASA ）,正确，故本选项错误；B、 根据 AD=CB , AF=CE , / AFD= / CEB 不能推出 ADFCBE，错误，故C、结在 ADF和厶

14、CBE中 ADF CBE ( SAS),正确，故本选项错误;D、/ AD / BC , / A= / C,点评： 此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一 又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆个命题的 命题.正结在 ADF和厶CBE中 确的 ADF CBE （ASA ）,正确，故本选项错误； 故选B .*如图，在 / CAB=60 又/ AD是/ BAC的平分线, AC=5 , BC=3 , BD= （5 - 3）=1.点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS 故选

15、SD , AAS ,SSS.点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质.注意等腰三角形三合一 ”性质的运用.5. （4分）（2012?）如图，在 ABC中，/ B=30 BC的垂直平分线交AB于E,7. （ 4分）如图，AB=AC ,BE丄AC于点E, CF丄AB于点F, BE、CF相交于点 D,垂足为D .若ED=5，贝U CE的长为（）则 ABEACF ; BDF CDE ;点D在/ BAC的平分线上.以上结论正确的是（）A . 10B . 8C. 5D . 2.5 |考点：等腰三角形的判定与性质. 分析：/ AE=AF ,由已知条件判定 BEC的等腰三角形，且 BC=CE ;由等角对等边判定

16、 AE=BE，则易求BD=BEAAB= -BC）.解答： 解：如图，/ CD平分/ACB , BE丄CD , BC=CE.又/ / A= / ABE , AE=BE .点评:即点D在/ BAC 故选D .不重不漏.）F , AD=AD ,D ,I ,的平分线上（正确）线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活A .B .C.D考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形.分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE考长，：即P可求三角形的长定与性质；角平分线的性质.解答： 解：/ DE是线段BC的垂直平分线，专题：常规题型. BE=CE

17、, / BDE=90 （线段垂直平分线的性质），分析：从已知条件进行分析，首先可得 ABEACF得到角相等和边相等，运用这些/ / B=30 论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案. BE=2DE=2拓=10 （直角三角形的性质），解答：解：/ BE 丄 AC 于f E, CF丄 AB 于 F CE=BE=10 . / AEB= / AFC；=90 故选A ./ AB=AC , / A=/ A,点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE.和求BE薯E长CF （正确）题目比较典型，难度适中. AE=AF , BF=CE,6. （4

18、分）（2013?一模）如图， D ABC 一点，CD 平分/ ACB , BE 丄CD，垂/ BE 丄 AC 于 E, CF 丄AB 于 F, / BDF= / CDE ,足为 D，交 AC 于点 E, / A= / ABE .若 AC=5 , BC=3，贝U BD 的长为（）/ BDF CDE （正确） DF=DE ,A . 2.5B .1.5C.2D .r连接AD ,8 （4 分）如图所示， AB 丄 BC , DC 丄 BC, E 是 BC 上一点，/ BAE= / DEC=60 AB=3 , CE=4,贝U AD 等于（）/ BEM为等边三角形， / EMB=60 / AN 丄 BC

19、,A. 10B . 12C. 24D.48 / DNM=90 / NDM=30 考点：勾股定理；含30度角的直角三角形. NM=2 ,分析：本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质. BN=4,解答：解: / AB 丄 BC, DC 丄 BC , / BAE= / DEC=60 / AEB= / CDE=30 30 所对的直角边是斜边的一半 AE=6, DE=8 BC=2BN=8 , 故选B .点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决又/ / AED=90 根据勾股定理 AD=10 . 故选A .10 . （4 分）（2013?）如图长为半

20、径画弧分别交 AB 长为半径画弧，两弧交于点1,在 ABC中，/ C=90 / B=30 以A为圆心，任意、AC于点M和N，再分别以 M、N为圆心，大于 MN的P,连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确寫 / ADC=60 点D在AB的中垂线上；Sadac :点评：解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30 所对的直角边是斜个数是半，勾股定理的性质.AD是/ BAC的平分线Saabc=1： 3.9. （4分）如图所示，在 ABC中，AB=AC , D、E是厶ABC两点，AD平分/ BAC . / EBC= / E=60 若 BE=6 , DE=2，贝U BC 的长度是（

21、）A. 1B .2|c.3DA. F5B . 8C. 9D . 考点：角平分线的性质；f专题：压轴题.线段垂直平分线的性质；作图基本作图.分析:角形,解答:解： 根据作图的过程可知, 故正确；AD是/ BAC的平分线.ABC 中，/ C=90 / B=30 考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.分析： 作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6, DE=2，进而得出 BEM为等边角形，从而得出BN的长，进而求出答案.解答： 解：延长ED交BC于M，延长 AD交BC于N，作DF / BC ,/ AB=AC , AD 平分 / BAC , AN 丄BC, BN=CN , / / EBC

22、= / E=60 BEM为等边三角形， EFD为等边三角形，/ BE=6 , DE=2 , DM=4 , 根据作图的过程可以判定 AD是/ BAC的角平分线； E利用角等边三的定义可以推知 / CAD=30 则由直角三角形的性质来求 / ADC 利用等角对等边可以证得 ADB的等腰三角形，由等腰三角形的 三合一 ”的性 中垂线上；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角 / 仁/ 2= / CAB=30 / 3=90 - / 2=60。，即 / ADC=60 故正确；/ / 仁 / B=30 AD=BD ,点D在AB的中垂线上.故正确； AB=6 - 2=4,以点

23、A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线 y=x的交点为C2, C3,/ OB=6,点B到直线y=x的距离为6=3,/ 34,以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线 y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3 .故选B .如图，在直角 ACD中，/ 2=30 CD=AD , BC=CD+BD=AD+AD=AD , Sdac=AC?CD=AC ?AD .二 Sa abc=AC ?BC=AC ?AD=AC ?AD , Sa dac : Sa abc=AC ?AD : AC?AD=1 : 3. 故正确.综上所述，正确的结论是：，共有4个.故选D .点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的

24、性质以及作图-基本作图.解题时，需要熟悉等腰三 的判定与性质.0角形点评:本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思(2013?)如图，在平面直角坐标系xOy中，A (0, 2), B (0, 6),动C的12. (4 分)点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 个数是(C. 4考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质. 专题：压轴题.13 . (4 分)(2009?)如图，在等腰 Rt ABC 中，/ C=90 AC=8 , F 是 AB 边上 的中点，点D, E分别在 AC , BC边上运动，且保持 AD=CE .连接DE , DF

25、, EF.在 此运动变化的过程中，下列结论： DFE是等腰直角三角形； D .四边形CDFE不可能为正方形， DE长度的最小值为4 ； 四边形CDFE的面积保持不变； CDE面积的最大值为 &)1的距离可知以点 B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点.A.B .C.D解答： 解：如图，AB的垂直平分线与直线 y=x相交于点C1 A ( 0, 2), B ( 0, 6),考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线 耳中正确的结论是C,再求出AB的长，以点 A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线

26、 y=x的交点为点C,求出点B到直线y=x专题：压轴题；动点型.、填空题（每小题 4分，共24分）分析：解此题的关键在于判断 DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由1SAS（定分）证反证法证和命题 ADF全等，从而可证 / DFE=90 DF=EF .所以 DEF是等腰直角三角形.可证设这个三角形中错误每再个 由割补法可知 是正确的； 判断，比较麻烦，因为 DEF是等腰直角三角形 DE=DF，当DF与BC垂直考点：DF反证法寸，DE取 最小值4，故 错误， CDE最大的面积等于四边形 CDEF的面积减去 DEF的最小面积 是正确的.故只有 正确.解答：解：连接CF ； ABC是等

27、腰直角三角形， / FCB= / A=45 CF=AF=FB ；/ AD=CE , ADF CEF ； EF=DF , / CFE= / AFD ；/ / AFD+ / CFD=90 / CFE+ / CFD= / EFD=90 EDF是等腰直角三角形.因此正确.当D、E分别为AC、BC中点时，四边形 CDFE是正方形. 因此错误. ADF CEF , Sa CEF=SaADF S 四边形 CEFD=SAFC , 因此正确.由于 DEF是等腰直角三角形，因此当 DE最小时，DF也最小；即当DF丄AC时，DE最小，此时 DF=BC=4 . DE=DF=4 ； 因此错误.当厶CDE面积最大时，由知

28、，此时 DEF的面积最小.此时 Sa cde=S 四边形 cefd Sa def=Sa afc Sa def=16 - 8=8 ； 因此正确.故选B .解答:点评:三角形中必有一个角小于或等于60 时，首先应假角都大于 60.熟记反证法的步骤 解：根据反证法的 故答案为：每一个，直接填空即可.步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个角都 角都大于 60 （1）假设结论不成立；（2）从假设出.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况 否定.此题主要考查了反证法，反证法的步骤是： 成立，则结论成立定一种就可以了，如果有多种情况，则必须15 . （4 分）（2013?）若（ 为

29、 5.考占：n 八、 专题: 分析: 解答：点评:2a 1）+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长等腰三角形的性质分类讨论.;非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三先根据非负数的性质列式求出解：根据题意得， 解得 a=1, b=2, 若a=1是腰长/ 1 + 1=2,不能组成三角形 若a=2是腰长 能组成三角形， 周长=2+2+仁5 . 故答案为：5. 本题考查了等腰三a 1=0，则底边为则底边为a、b再分情况讨论求解即可.b 2=0,2,三角形的三边分别为1,三角形的三边分别为1、 1、 2,2、 2、 1,角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在1

30、6 . （4分）如图，在 RtA ABC中，/ ABC=90 DE是AC的垂直平分线，交 AC 于点D，交BC于点E,/ BAE=20 则/ C= 35.点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大但作为选择题可采用排除法等特有方法，使 此题难度稍稍降低一些.考点：线段垂直平分线的性质.分析:由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE ,又由在Rt ABC中，/ ABC=90 / BAE=20 即可求得/ C的度数.解答： 解：/ DE是AC的垂直平分线， AE=CE， / C= / CAE，在 Rt ABE 中，/ ABC=90 / BAE=20 / A

31、EC=70 / C+ / CAE=70 / C=35 故答案为：35考点： 专题： 分析： 解答：平面展开-最短路径问题.压轴题.将容器侧面展开，建立 A关于EF的对称点A,根据两点之间线段最短可知解：如图：高为1.2m，底-此时一只壁虎正好/ A D=0.5m ,点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结17. (4分)如图，在 ABC中，BI、CI分别平分/ ABC、/ ACF , DE过点I，且 DE / BC . BD=8cm , CE=5cm，贝U DE 等于 3cm .考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质. 分析：A B面周长为1m,

32、在容器壁离容器底部 0.3m的点B处有一蚊子, 在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点 A处，BD=1.2m ,将容器侧面展开，作 A关于EF的对称点A连接A B，则A B即为最短距离，合思想的应6=1.3 (m) 故答案为：1.3.点评:本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾 关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.由BI、CI分别平分/ ABC、/ ACF，DE过点I，且DE / BC，易得 BDI与厶ECI是等腰三角形，继而求得答案.19 . （4分）（2013?资阳）边上的点，点P是直线AD上的动点解答： 解：/ BI、CI分别平分/ ABC、/ AC

33、F， / ABI= / CBI，/ DE / BC， / DIB= / CBI， / ABI= / DIB，/ ECI= / ICF ,如图，在 Rt ABC 中，/ C=90 / B=60 点 D 是 BCCD=1，将 ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若 贝U PEB的周长的最小值是1+ ./ EIC= / ICF , / ECI= / EIC,考点：轴对称-最短路线问可题；含 30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题） DI=BD=8cm ， EI=CE=5cm， DE=DI - EI=3 (cm). 故答案为：3cm.专题: 分析：压轴题.P和D重合时，PE+BP 值是

34、 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 禾口 BE 长，点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质注意由角平分线与平行线，易得等18. （4分）（2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m,在容器壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器 上沿0.3m与蚊子相对的点 A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3 m （容器厚度忽略不计）.连接CE,交AD于M ,根据折叠和等腰三角形性质得出当 的周长最小，最小解：连接CE，交AD于M，沿AD折叠C和E重合， / ACD= / AED=90 AC=AE，/ CAD

35、= / EAD， AD垂直平分 CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时 BPE的周长最小，最小值是BE+PE+/ / DEA=90 / DEB=90 直平分线上，即/ AOB的角平分线和 CD垂直平分线的交点处即为点P./ / B=60 DE=1 ,解答：解：如图所示：作CD的垂直平分线，/ AOB的角平分线的交点 P即为所求. BE=, BD=,即 BC=1+ ,点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握 PEB的周长的最小值是 BC+BE-1+-1+ ,故答案为：1 + .四、解答题（每小题 101分，共40

36、分）点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含 的应用，关键是求出 P点的位置，题目比较好，难度适中.在四边形 ABCD 中，AB / CD , / D=90 / DCA=30 322度角的直角三角形3性质拟）CA 平分 / DCB , AD=4cr求AB的长度？三、解答题（每小题 7分，共14分）20. (7 分)(2013?)如图，C 是 AB 的中点，AD=BE , CD=CE . 求证：/ A= / B .考点：专题：压轴题.勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.分析:考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题；压轴题. 分析：过

37、B作BE丄AC，由AD=4m和/ D=90 / DCA=30 可以求出 AC的长，根据AD的长./ DCA=30 AD=4cm ,以及等腰三角形的解答：解：/ / D=90 性质即可求出/A C C 根据中点定义求出 AC=BC ,然后利用SSS”证明 ACD和厶BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明cm/ CA 平分 / DC / CAB= / ACI AB=BC ,过B作BE丄AC即可.解答：证明：/ C是AB的中点， AC=BC ,在厶ACD和厶BCE中， ACD BCE ( SSS), / A= / B ./ AE=AC=4cm ,/ cos/ EAB=,；,AB / CD ,=3

38、0 等-cm.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全 角形对应角相等的性质.点评:21. （7分）（2013?）如图，两条公路 OA和OB相交于O点，在/ AOB的部有工 厂C和D，现要修建一个货站 P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且 到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键是 利用锐角三角函数求出 AB的长.23 . （10 分）（2013?）如图，在 ABC 中，/ C=90 AD 平分 / CAB，交

39、 CB 于 点D，过点D作DE丄AB于点E .(1) 求证： ACD AED ;(2) 若/ B=30 CD=1，求 BD 的长.考点：作图一应用与设计作图.分析：根据点P到/ AOB两边距离相等，到点 C、D的距离也相等，点 P既在/ AOB的角平分线上，又在 CD垂考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形.分析：解答:点评: Z FHG=180 -本题考查了全等三25 . (10分)已知：如图, D , BE平分/ ABC，且1)求证：BF=AC ;(2)求证：.(1) 根据角平分线性质求出 CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可;(2) 求出Z DEB=

40、90 DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可.(1)证明：/ AD 平分 Z CAB , DE 丄 AB , Z C=90 CD=ED , Z DEA= Z C=90 在 Rt ACD 和 Rt AED 中 Rt ACD 也 Rt AED ( HL ); Z DHF= Z CBF=60 Z DHF=180 - 60=120.角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键. ABC中，/ ABC=45 DH垂直平分 BC交AB于点 BE丄AC于E,与CD相交于点F.考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.专题：证明题. 分析：证明：(1) / DH垂直平分 BC,且/ABC=4

41、5 BD=DC，且 / BDC=90 / Z A+ / ABF=90 / A+ / ACD=90 Z ABF= Z ACD , BDF CDA , BF=AC .(2)解：/ DC=DE=1 , DE 丄 AB , Z DEB=90 / Z B=30 BD=2DE=2 .点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用,点到角两边的距离相等.24. (10分)(2013?)如图，把一个直角三角形 ACB (/ ACB=90 绕着顶点 B 顺时针旋转60使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD , BE上的点，BF=BG，延长 CF与

42、DG交于点H .(1) 求证：CF=DG ;(2) 求出/ FHG的度数.(1)由ASA证厶BDF CDA，进而可得出第(1)问的结论；注意：角平分线上的ABC中由垂直平分线可得 AB=BC，即点E是AC的中点，再结合第 解答：考点：全等三角形的判定与性质. 分析：解答:(1) 在厶CBF和厶DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相(2) 根据全等三角形的对应角相等，即可证得/ DHF= / CBF=60 从而求解.(1)证明：在 CBF和厶DBG中，点评:5 CBF DBG ( SAS), CF=DG ;(2)解：/ CBFDBG , / BCF= / BDG ,

43、 又/ / CFB= / DFH ,(2)由(1) 得 BF=AC ,/ BE 平分/ ABC，且 BE 丄 AC ,CBE 中，,E (ASA ),在厶ABE和厶目等即AB证得； CB CE=AE=AC=BF .本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应分.共24分)ABC中，D是BC是中点，过点 D的直线GF交AC于点五、解答题(每小题 1226 . (12分)如图，在F,交AC的平行线BG于点G, DE丄DF交AB于点E,连接EG、EF.(1) 求证：BG=CF ;(2) 求证：EG=EF ;(3) 请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论. 如图2,当点D在线段BC上移动，判断 BEF的形状并证明；考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质. 当点D在线段BC的延长线上移动， BEF是什么三角形？请直接写出结论并 画出相应的图形