(完整版)高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解,推荐文档

1、.(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分 析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合 a，b 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从 ab 的映射 f:(x,y)(x2+y2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合 a 到集合 b0，1，2，3的映射 f:x 元素最多时的集合 a.1x - 1，则集合 a 中的元素最多有几个?写出2、函数。构成函数概念的三要素定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同）a 、 0个b 、 1个c 、 2个d、3个yyyy31、下列各对函

2、数中，相同的是（）a、 f (x) = lg x 2 , g(x) = 2 lg xb、 f (x) = lg x + 1 , g(x) = lg(x + 1) - lg(x - 1)x - 1c、f (u) =1 + u , g(v) =1 - u1+ v1- vd、f（x）=x， f (x) =x 22、m = x | 0 x 2, n = y | 0 y 3给出下列四个图形，其中能表示从集合 m 到集合 n 的函数关系的有（2二、函数的1222解析式与定义1域11函 数 解 析o式1的2七x种 求o法 12 xo12 xo12x待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1

3、设 f (x) 是一次函数，且 f f (x) = 4x + 3 ，求 f (x)配凑法：已知复合函数 f g(x) 的表达式，求 f (x) 的解析式， f g(x) 的表达式容易配成 g(x) 的运算形式时， 常用配凑法。但要注意所求函数 f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g(x) 的值域。例 2已 知 f (x + 1 ) = x 2 + 1xx 2(x 0) ， 求f (x) 的解析式三、换元法：已知复合函数 f g(x) 的表达式时，还可以用换元法求 f (x) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。xx例 3已知 f (+ 1) = x + 2，求 f

4、 (x +1)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4 已知：函数 y = x2 + x与y = g(x) 的图象关于点(-2,3) 对称，求 g(x) 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通1过解方程组求得函数解析式。例 5设 f (x)满足f (x) - 2 f ( ) = x, 求 f (x)x例 6设 f (x) 为偶函数， g(x) 为奇函数，又 f (x) + g(x) =1x -1, 试求 f (x)和g(x) 的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有

5、“任意性”的变量进行赋值， 使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7已知： f (0) = 1，对于任意实数x、y，等式 f (x - y) = f (x) - y(2x - y + 1) 恒成立，求 f (x)七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8设 f (x) 是 n + 上的函数，满足 f (1) = 1 ，对任意的自然数 a, b都 有 f (a) + f (b) = f (a + b) - ab ， 求f (x)1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零

6、，零取零次方没有意义；（3） 对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；6.（05 江苏卷）函数 y =log(4x - 3x) 的 定20.5义域为2 求函数定义域的两个难点问题（1） 已知f (x)的定义域是 - 2, 5 , 求f ( 2x+3) 的定义域。例 2 设 f (x) = lg 2 + x ，则 f ( x ) + f ( 2) 的定义域为 2 - x变式练习： f (2 - x) = 2x4 - x 2 ，求 f ( x ) 的定义域。（2）已知f (2x1的) 定义域是 - 1, 3 , 求f ( x) 的定义域三、函数的值域1 求函

7、数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 x r 的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1（直接法） y =1x2 + 2x + 32 f (x) = 2 -24 + 2x - x2 3（换元法） y = -x +2x -

8、14. （ 法 ） y =3xx 2 + 45. y =- 1 6. (分离常数法) y =x2x 2 + 1xx +1 y = 3x -1 (-2 x 4) 7. (单调性) y = x - 3 (x -1, 3) 8. y =2x +12x1，x +1 -x -1y =x +1 -x -19(图象法) y = 3 + 2x - x2 (-1 x 2) 10(对勾函数)y = 2x + 8 (x 4)x11. (几何意义) y = x + 2 - x -1四函数的奇偶性1定义:2.性质：y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点

9、对称,若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0奇奇=奇 偶偶=偶奇奇=偶偶偶=偶奇偶=奇两函数的定义域d1 ，d2，d1d2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系1 已知函数 f (x) 是定义在( - , + ) 上的偶函数. 当 x ( - , 0 ) 时， f (x) = x - x 4 ，则当x ( 0, + ) 时， f (x) =.x2x+1 + aa, bt r ，不等式 f (t 2 - 2t) + f (2t 2 - k ) 0 时，f (x) 1 ，求证： f (x) 在 r 上是增函数；若 f (3) = 4 ，解不

10、等式 f (a 2 + a - 5) 23 函数 y = log0.1(6 + x - 2x ) 的2单调增区间是 4(高考真题)已知 f (x) = (3a -1)x + 4a, x 1a是（a）(0,1)（b）(0, 1)3（c） 1 , 1)7 3（d） 1 ,1)7y = f g(x)在 m 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则 y = f g(x)在 m 上是增函数。一：函数单调性的证明 1.取值2，作差3，定号4，结论二：函数单调性的判定，求单调区间y = x 2 - 2x - 3y = x 2 - 2 x - 3y =y =1- x 2 - 2x + 3- x 2

11、 + 5x - 42x2 -4 x1 1 1 y = log (x 2 - 3 x + 2)y = 1y =y = - 2 + 52y = x + ax（ a 0 ）2y = x - axx 2 + 2x（ a 0 ） x x 三：函数单调性的应用 1.比较大小例：如果函数 f (x) = x 2 + bx + c 对任意实数t 都有f (2 + t) = f (t - 2) ，那么 a、 f (2) f (1) f (4)b 、 f (1) f (2) f (4) c 、 f (2) f (4) f (1)c、f (4) f (2) f (1)2. 解不等式例：定义在（1，1）上的函数 f

12、(x) 是减函数，且满足： f (1- a) 1是 r 上的减函数，那么a 的取值范围是（）1b.1c. 1 1d.(0, )3 , )7 3 ,1)74. 二次函数最值例：探究函数 f (x) = x 2 - 2ax + 1在区间0,1的最大值和最小值。例：探究函数 f (x) = x 2 - 2x + 1 在区间a, a + 1的最大值和最小值。5. 抽象函数单调性判断例：已知函数 f (x) 的定义域是(0,+) ，当 x 1时， f (x) 0 ，且 f (xy) =求 f (1) ，证明 f (x) 在定义域上是增函数f (x) + f ( y)如果1f ( ) 3= -1，求满足不

13、等式 f (x) - f (1x - 2) 2 的 x 的取值范围2例：已知函数 f(x)对于任意 x，yr，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)1 时，f(x)0. (1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)1，解不等式 f(|x|) 252、方程mx 2 + 2mx + 1 = 0 有一根大于 1，另一根小于 1，则实根 m 的取值范围是 八指数式与对数式1. 幂的有关概念(1)零指数幂a 0 = 1(a 0) (2)负整数指数幂a-n =m 1 a( 0, n n * )ann am(3)正分数指数幂a n =(a 0, m, n n

14、*, n 1)；(5)负分数指数幂a-=1(a 0, m, n n *, n 1)m1n n amma n(6) 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.2. 有理数指数幂的性质(1)aras = ar+s (a 0, r, s q) (2)(ar )s = ars (a 0, r, s q)(3)(ab)r = arbr (a 0, b 0, r q)3. 根式根式的性质:当n 是奇数，则n= a ；当n 是偶数，则n an= a = aan- aa 0a 0, a 1) ,那么 b 叫做以 a 为底 n 的对数,记b = log a n (a 0, a 1)(2) 对数的性

15、质：零与负数没有对数 log a 1 = 0(3) 对数的运算性质log a a = 1logmn=logm+logn对数换底公式： log n = log m n (n 0, a 0且a 1, m 0且m 1)alog ma对数的降幂公式： logn n = n logn (n 0, a 0且a 1)amma(2)lg 8 + lg1 25 - lg 2 - lg 5lg 10 lg 0.11(0.1)-2 (a3b -3 ) 24( 4ab -1 3)1 - 1( ) 2 (1)十指数函数与对数函数1、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a0 , a1)互为反函数名称指数函

16、数对数函数一般形式y=ax (a0 且 a1)y=logax (a0 , a1)定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点（，1）（1，）图象指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a0 , a1)图象关于 y=x 对称单调性a 1,在(-,+ )上为增函数a1,在(0,+ )上为增函数a1 ?y0?y 0 恒成立。求a 的取值范围。（1（4.若1 a2x+ 1 ax 1 0（a0 且 a1，求 y=2a2x3ax+4 的值域.22、平移变换： （左+右- ，上+ 下- ）即y =fy =f( x) h0,左移 y =( x) k0,上移 y =f ( x +

17、h)f ( x) + k 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）y = f ( x) x轴 y= - f ( x) y =f ( x) y轴 y =f (- x)y =f ( x) 原点y= - f (- x)y = f ( x) y= x y = f -1 ( x)y = f ( x) y轴右边不变，左边为右边部分的对称图 y =f ( x )y = f ( x) 保留x轴上方图，将x轴下方图上翻 y =f ( x)1f(x)的图象过点(0,1)，则 f(4-x)的反函数的图象过点（）a.(3,0)b.(0,3)c.(4,1)d.(1,4)（3）y=2|x|；2x2作出下列函数的简图：

18、（1）y=|log |；2）yx=|2 -1|；函数图像的变换函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。2、图象的变换（1（ 平移变换（左加右减）函数 y=f(x+2)的图象是把函数 y=f(x)的图像沿 x 轴向左平移 2 个单位得到的；反之向右移2 个单位函数 y=f(x)-3(的图象是把函数 y=f(x)的图像沿 y 轴向下平移 3 个单位得到的；反之向上移3 个单位（2（ 对称变换函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 对称； 函数

19、y=f(x) 与函数 y=-f(x)的图象关于直线 y=0 对称； 函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于坐标原点对称；如果函数 y=f(x)对于一切 xr 都有 f(x+a)=f(x-a)，那么 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称。y=f-1(x)与 y=f(x)关于直线 y=x 对称y=f(x)y=f(|x|)3、伸缩变换y=af(x)(a0)的图象，可将 y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a1)或缩短(0a0)的图象，可将 y=f(x)的图象上的每一点的横坐标缩短(a1)或伸长(0a 0x1 - x2单调递增f (x) - f (x )单调递减 12 0x1 - x22. 函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：f (x) + f (-x) = 0f (x) - f (-x) = 0奇函数偶函数3. 函数的凸凹性：f ( x1 + x2 ) f (x1) + f (x2 )凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）22“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand