(完整版)函数奇偶性归纳总结,推荐文档

1、.函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点：.1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数 f (x) ，如果对于函数定义域内任意一个 x ，都有 f (-x) =那么函数 f (x)

2、就叫做偶函数。f (x) ，一般地，对于函数 f (x) ，如果对于函数定义域内任意一个 x ，都有 f (-x) = - f (x) ,那么函数 f (x) 就叫做奇函数。理解：(1) 奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数( 图象关于原点成中心对称的函数，偶函数( 图象关于 y 轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质

3、：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。常用的结论：若 f(x)是奇函数，且 x 在 0 处有定义，则 f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数 f(x)在区间a,b(0ab)上单调递增（减），则 f(x)在区间b,a上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数 f(x)在区间a,b（0ab）上单调递增（减），则 f(x)在区间b,a上单调递减（增）任意定义在 r 上的函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和

4、。若函数 g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x，都有 f (- x)= f (x)或 f (- x)= 1或 f (- x)- f (x)= 0 ( 函数 f（x）是偶函数； f (- x)f (x )对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x，都有 f (- x)= - f (x)或f(x)= -

5、1或f (- x)+ f (x)= 0 ( 函数 f（x）是奇函数； 判断函数奇偶性的步骤：、判断定义域是否关于原点对称；、比较 f (-x) 与 f (x) 的关系。、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数。，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。若 f (x) 为偶函数，则 f (-x) =二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：f (x) = f (| x |) 。分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶

6、函数， 若定义域关于原点对称，再看 f(x)与 f(x)的关系.【例 1】 判断下列函数的奇偶性：x2 (2x (3x (32(1). f ( x) ( x ( 2 x ( 1 ;(2) . f ( x) (解： f ( x) 函数的定义域是( ( ，( () ，, x (xx( 0( ;( f ( x) ( x2 ( 2 x ( 1 ， f ( x) ( ( x)2 ( 2 ( x ( 1( x2 ( 2 x (1(f ( x) ， f ( x) ( x2 ( 2 x ( 1 为偶函数。（法 2图象法）：画出函数 f ( x) ( x2 ( 2 x ( 1 的图象如下： 由函数 f ( x)

7、 ( x2 ( 2 x ( 1 的图象可知，f ( x) ( x2 ( 2 x ( 1 为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) . 解：由 x ( 3 ( 0 ，得 x(，3(3，+).x ( 3定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例 2】 判断下列函数的奇偶性：4 ( x2(1). f ( x) ( x ( 3 ( 3 ; (2) . f ( x) ( 3sin(3p(2x);2(3). f ( x) (1( x0。x2 (1( 4 ( x2 ( 0(2 ( x ( 24 ( x24( x2(解： (1).由( x ( 3 (

8、 3 ( 0 ，解得 (x ( 0 、x ( (6定义域为2x0 或 0x2，则 f ( x) (; .4 ( ( x)24( x2x ( 3 ( 3x( ( f ( x) ; . f ( x) (xx4 ( x2 f ( x) (x ( 3 ( 3 为奇函数.说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2) .函数3pf ( x) ( 3 sin( 2 x)2定义域为 r， f ( x) ( 3 sin( 3p( 2 x) ( ( 3 cos 2 x ，2 f ( x) ( ( 3 cos 2( x) ( ( 3 cos 2 x (

9、 f ( x) ， 函数 f ( x) ( 3 sin( 3p( 2 x) 为偶函数。(2(3). 由 (x ( 02，解得 (x (0 ， 函数定义域为( ( r x ( 0 , x ( ( (，( x ( 1 ( 01 ( x0( x ( (1 1 ( 1又 f ( x) ( x2 (1 ( x2 ( 1 ( 0 ， f ( x) ( 0 ， f ( x) ( f ( x) 且 f ( x) ( ( f ( x) ，所以 f ( x) ( 1( x0 ( 1 ( 1 ( 0x2 ( 1x2 (1既是奇函数又是偶函数。【例 3】 判断下列函数的奇偶性：(1). f ( x) ( log0.5

10、 ( x (x 2( 1) ；(2).( x(1 ( x) , ( x ( 0)(f ( x) ( ( 0 ,( x ( 0)( x(1 ( x) , ( x ( 0)解：(1) . 定义域为 r，f (x) ( f ( x) ( log0.5 ( x ( x)2 (1) ( log 0.5 ( x (x2 ( 1)( log0.5 ( x2 ( 1) ( x) ( log 0.5 1 ( 0 ， f(x)=f(x)，所以 f(x)为奇函数。说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找 f ( x) 与 f ( x) 关系，但当直接找 f ( x) 与 f ( x) 关系困难时，可用定义的变

11、形式： f (- x)- f (x)= 0 ( 函数f（x）是偶函数； f (- x)+ f (x)= 0(2) .函数的定义域为 r，( 函数 f（x）是奇函数。当 x ( 0 时， (x ( 0,当 x ( 0 时， (x ( 0,f ( x) ( ( x)(1 ( x) ( ( x(1 ( x) ( ( f ( x) ;f ( x) ( 0 ( ( f ( x) ;当x ( 0 时， (x ( 0,f ( x) ( ( x ( ( x ( ( x(1 ( x) ( ( f ( x) .综上可知，对于任意的实数 x，都有 f ( x) ( ( f ( x) ，所以函数 f ( x)为奇函数

12、。说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例 4】 已知函数 f ( x) ( x ( r 、x ( 0) , 对任意的非零实数 x1 , x2 , 恒有f (x1 ( x2 ) ( f ( x1 ) ( f ( x2 ) , 判断函数 f ( x) ( x ( r 、x ( 0) 的奇偶性。解：函数的定义域为( , 0) u (0 , ( () ，令 x1 ( x2 ( 1 ，得 f (1) ( 0 ，令 x1 ( x2 ( (1 ，则 2 f (1)(f (1) ,( f (1) ( 0 ,取

13、 x1 ( (1 , x2 ( x ，得 f ( x)(f (1) ( f ( x) , ( f ( x) ( f ( x) ,故函数 f ( x) ( x ( r 、x ( 0) 为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例 5】已知函数 f ( x) ( f (2) ( 3 ，求a , b , c 的值.ax2 (1bx ( c (a , b , c ( z ) 是奇函数，又 f (1) ( 2 ，解：由 f ( x) ( ( f ( x) 得(bx ( c ( (bx ( c) ， c ( 0 。4a ( 1又 f (1) ( 2 得a ( 1 ( 2 b ，而 f (2

14、) ( 3 得2b4a ( 1( 3 ，解得(1 ( a ( 2 。a (1又a( z ， a ( 0 或a ( 1 .( 3 ，若a ( 0 ，则b ( 1 ( z ，应舍去；若a ( 1 ，则b ( 1( z b=1z.2 a ( 1, b ( 1, c ( 0 。说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值， 如 f(1)=f(1)，得 c =0。(2) . 解不等式：【例 6】若 f(x)是偶函数，当 x0，+)时，f(x)=x1，求f(x1)0 的解集。分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，可先作出 f(x)的图象，利用数形

15、结合的方法.解：画图可知 f(x)0 的解集为x1x1，f(x1)0 的解集为x0x2. 答案：x0x2说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求 f(x)的表达式，再求f(x1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.(3). 求函数解析式：【例 7】已知 f(x)是 r 上的奇函数，且 x(，0)时，f(x)=xlg(2x)，求 f(x).分析：先设 x0，求 f(x)的表达式，再合并.解：f(x)为奇函数，f(0)=0.当 x0 时，x0，f(x)=xlg(2+x)，即f(x)=xlg(2+x)，f(x)=xlg(2+x) (x0).( x lg(2 ( x) ( x (

16、0)( f ( x) ( ( x lg(2 ( x) ( x ( 0) 。说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。三、巩固训练：一、选择题1.若 y=f(x)在 x0，+)上的表达式为 y=x(1x)，且 f(x)为奇函数，则 x(，0 时 f(x)等于a.x(1x)b.x(1+x)c.x(1+x)d.x(x1)2.已知四个函数： y ( log 1 ( x ， y ( ex (1 ， y=3x+3-x， y=lg(3x+3-x).2 x其中为奇函数的是1 ( xe ( 1a.b.c.d.3. 已知 y=f(x)是定义在 r 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=

17、x22x，则在 r 上 f(x)的表达式为a.x(x2)b. x（x2） c.x(x2)d.x（x2） 二、填空题4. 已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数，且定义域为a1，2a，则a=，b=.15. 若 f ( x) ( 2x (1( a (xr 且 x0)为奇函数，则a=.6.已知 f(x)=ax7bx+2 且 f(5)=17，则 f(5)=.7. 已知 f (x) 是定义在(-3, 3) 上的奇函数，当0 x 3 时，f (x) 的图像如右图所示，那么不等式 f (x) cos x 0 的解集是 (三、解答题 18. 已知g( x) ( 2f ( x) (f 1 ) (且 x

18、=lnf(x)，判定 g(x)的奇偶性。(x(9. 已知函数 f(x)满足 f(x+y)+ f(xy)=2f(x)f(y)(x、yr)，且 f(0)0，试证 f(x)是偶函数.310. 设函数 f ( x) 是偶函数，函数 g( x) 是奇函数，且 f ( x) ( g( x) (，求 f ( x) 和x ( 3g( x) 的解析表达式。11.已知 f(x)x5+ax3-bx-8，f(-2)10，求 f(2)。12. 已知 f ( x )、 g( x) 都是定义在 r 上的奇函数，若 f ( x) ( af ( x) ( bg( x) ( 2 在区间(0 , ( () 上的最大值为 5，求 f

19、 ( x) 在区间( , 0) 上的最小值。13. 已知 f ( x) 是奇函数，在区间(2 , 2) 上单调递增，且有 f (2 ( a) ( f (1 ( 2a) ( 0 ，求实数a 的取值范围。四、巩固训练参考答案：一、选择题1. 解析：x(，0，x0， f(x)=(x)(1+x)，f(x)=x(1+x).f(x)=x(1+x). 答案：b2. 提示：可运用定义，逐个验算.答案：d 3. 解析：设 x0，则x0，f(x)是奇函数，f(x)=f(x)=(x)22(x)=x22x.( x2 ( 2 x ( x ( 0)( f ( x) ( ( x2 ( 2 x ( x ( 0) ，即 f(x

20、)= x（|x|2），故答案：b 。二、填空题4. 解析：定义域关于原点对称，故 a1=2a， a ( 1 ，3又对于 f(x)有 f(x)=f(x)恒成立，b=0. 答案： 13， 0 。5. 解析：特值法：f(1)=f(1) ，1(a (1( a) ， a ( 1 。2(1 (121 ( 12答案： 1 。26. 解析：整体思想：f(5)=a(5)7 b(5)+2=17(a575b)=15， f(5)=a57b5+2=15+2=13.答案：13 。7. 解析： f (x) 是定义在(-3, 3) 上的奇函数， 补充其图像如图，又不等式f (x) cos x 0 同解于( f ( x) (

21、0 或( f ( x) ( 0 ，解得p( x ( 3 ，或(p( x ( (1 或0 ( x ( 1 ，不等式(f (x) cos x cos x ( 0(的解集是(0cos x ( 0( p, ( 1, 32(0 , 1( ( p2( ，答案：( (p(, (1 (0 , 1(p, 3(。(2( 2(2( 2(三、解答题8. 解：由 x=lnf(x)得 f(x)=ex. g( x) ( 12 ( f (x) ( f (1x) ( ( 12 (ex ( e1x ( ( 12 (ex ( e( x ) 。(又g(x) ( 1 (e( x (ex ) ( ( 1 (ex (e( x ) ( (g

22、(x) ，g(x)为奇函数。 229. 证明：令 x=y=0，有 f(0)+f(0)=2f2(0). f(0)0，f(0)=1.令 x=0，f(y)+f(y)=2f(0)f(y)=2f(y). f(y)=f(y). f(x)是偶函数.归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到.10. 解： f ( x) ( g( x) (3l(1)， f ( x) ( g( x)(3，( x ( 3x ( 3又函数 f ( x) 是偶函数，函数 g( x) 是奇函数， f ( x) ( f ( x) ， g( x) ( ( g( x) ，上式化为 f ( x) ( g( x) (3l(2) ，解(

23、1),(2) 组成的方程组得f ( x) (99 ( x2(x (3( x ( r , x ( (3) ， g( x)(3 xx2 ( 9( x ( r , x ( (3) 。11. 分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解解：令 g(x)=x5+ax3-bx，则 g(x)是奇函数，所以 g(-2)g(2)，于是 f(-2)g(-2)-8, g(-2)=18.所以 f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.12. 解：设h( x) ( af ( x) ( bg( x) ，则h( x) ( af ( x) ( bg( x) 为奇函数，因为当 x ( (0 , ( () 时， f (

24、 x) ( 5 , 所以h( x) ( af ( x) ( bg( x) ( f ( x) ( 2 ( 3 ,所以当 x ( ( , 0) 时， f ( x) ( 2 ( h( x) ( af ( x) ( bg( x) ( (3 , 即 f ( x) ( (1 ,故 f ( x) 在区间( , 0) 上的最小值为-1 。13. 解：因为函数 f ( x) 是奇函数，所以 f ( x) ( ( f ( x) .由 f (2 ( a) ( f (1 ( 2a) ( 0 得 f (2 ( a) ( ( f (1 ( 2a) ，即 f (2 ( a)( (2 ( 2 ( a ( 2f (2a ( 1) .又 f ( x) 在区间(2 , 2) 上单调递增，故得(2 ( 2a ( 1 ( 2，解得( 1( a ( 0 .所以实数a 的取值范围为(1 , 0