实验一微分学基础

1、数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：4:康萍时间：2016.03.22实验一微分学基础一、实验目的：学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的儿个 基本理论。1、函数应用及图像2、数e3、积分与自然对数4、调和数列5、双曲函数二、实验环境基于Windows环境下的Mathematica7. 0软件。三、实验的基本理论与方法使用Mathematica4. 0软件可绘制函数图像。四、实验的内容和步骤及得到的结果和分析实验1函数及其图像1. 1 Taylor 级数1. 1. 1（1）实验内容：在同一坐标系中画出同一个区间/（一龙,/）上的函数

2、图像y = sin x,y = 0.8%,y = x与y = 12x的图像，观察哪一条与正弦函数的图像最接近。（2）实验步骤：在Mathematica?. 0输入语句如下：PlotSinx,0.8x,xz1 2x, x,-Pi,Pi（3）实验结果：（4）结果分析：在具有不同斜率k的过原点的直线y = kx中， = 1时的直线 y = x与正弦曲线y = sinx在原点附近最接近：且从原点出发沿直线y = x前进 与沿正弦曲线y = sinx前进的方向是一致的，在原点附近很小的一段旅程内两条 线路儿乎看不出任何差别，但继续下去，两条线路就分道扬锤了：直线沿原来的 方向继续前进，而正弦曲线则开始转

3、弯，两条线路越离越远。1.1.2 (1)实验内容：在同一坐标系中做岀区间龙,龙)上正弦函数图像335357尸sin兀及多项式尸“千,尸一令+茁尸奇+亍令的图像, 观察这些多项式函数的图像逼近正弦曲线的情况。(2) 实验步骤:在Mathematica?. 0输入语句如下:Plot Sin x , x-x3/6, x-x3/6+x5/120, x-x3/3 ! +x5/5 ! -x7/7 ! , xf -Pi,Pi curvel=PlotSinxz x,-Piz Piz PlotStyle-RGBColor1,0,0 ;curve2=Plot x-x3/6+x5/120z （x, -Pi, Pi

4、, PlotstyleRGBColor 1,0,1;curve3=Plot x-x3/3 ! +x5/5 ! -x7/7 ! , x, -Pi, Pi ；Showcurvel,curve2,curve3（3）实验结果：严I(2 + 1)广（4）结果分析：通过图像可以看出，次数越来越高的多项式函数的图像越来越 好的逼近正弦函数的图像，这些多项式是sin x的泰勒级数sin x = X- + - + (-l)A3的前若干项组成的。1.2函数的升降、零点和极值321.2.1（1）实验内容：在同一坐标系中做出函数y = x- +及其导数=l-y的图像，观察（i）当y 0,y 0时，y的图像在区间-72

5、,0上升，在区间0,2上下降；当）；Y)和仪伙二0)就得到各种不同形状的图 像，只要/(x)不要太连续，就能得到所有的以2”为周期的函数/(x)的图像。1.3.2 (1)实验内容：分别取n=30,300,3000,在同一坐标系中画出区间-4龙,4龙上函数/(x) = sin x与几(x) = x 口； = 1 -的图像。观察当n增加时 K 7T JPn( V)向sin x逼近的现象。(2) 实验步骤：在Mathematica7. 0输入语句如下:fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi.PlotStyle-RGBColor1,0,0 ;px_,n_ :=x*Productl-xA2/

6、(k*Pi)A2)zkzl,n;fgproduct=Plotpx,30,x,-4Piz4Pi;Showfgsin.fgproduct可得” = 30的实验结果.fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi,PlotStyle-RGBColor1,0z0 ;px_zn_ :=x*Productl-xA2/(k*Pi)A2)zk,lzn;fgproduct=Plotpx,300,x,-4Piz4Pi;Showfgsin.fgproduct可得n = 300的实验结果.fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0 ;px_,n_ :=x*P

7、roductl-xA2/(k*Pi)A2)zkzl,n;fgproduct=Plotpx,3000,x,-4Pi,4Pi;Showfgsin.fgproduct可得n = 3000的实验结果.(3) 实验结果：I JOIOIOI JOn=3000(4) 结果分析：由图像可知：当增加时，几(Q向sinx逐渐逼近，当畀足够大时，几()的图像与sinx完全重合.1.4无极限的函数列1.4.1 (1)实验内容：在区间-1,1上做出函数y = sin1的图像，观察图像当 XxtO时的变化情况。在x = 0的附近仍然看不清楚，可以再放大，将区间改为 -0.01,0.01甚至-0. 001, 0. 001

8、o(2) 实验步骤:在Mathematica7. 0输入语句如下:PlotSinl/x,xz-l,1PlotSinl/x,xz-0.01,0.01（3）实验结果：(4)结果分析：看得出当xtO时曲线在y = -1和y = l之间振荡，x越接近于0就振荡的越快，越“疯狂S在x = 0的附近仍然看不清楚，可以再放大，将区 间改为-0.01,0.01甚至-0. 001, 0. 001,可以看出区间越小，曲线震荡的越 “疯狂S图像更加一塌糊涂。1.4.2 (1)实验内容：从以上曲线y = sin -中取一部分点，比如令 XX = f伙=1,2,3000),则当k增加时X向0趋近，相应的y值分别是sin

9、l, ksin 2,sin 3000。这样就在曲线上取出了 3000个点将这3000个点画在同一个坐标系中，看它们组成的图形是什么样子？能否辨别出哪些点组成 一条曲线？(2) 实验步骤:在Mathematica7. 0输入语句如下:T=Tablel/kzSinkzk,l,3000;P=ListPlotTd=4 4;Tl=Tablel/kzSink,k,3,3000,d;T2=Tablel/kzSinkzk,6,3000,d;Pl=ListPlot T1 z PlotJoinedTrue, Plotstyle-RGBColor 1,0,0；P2=ListPlot T2Z PlotJoined-T

10、ruez PlotStyleRGBColor 1,0,0；ShowPz Pl,P2（3）实验结果：IQ1X0503廉犖;I:,. A:;:. K：二0.004*图一(4)结果分析：图一不但不是一塌糊涂、杂乱无章，反而很有规律，呈现出一些美丽的图案组成的网。通过利用祖冲之说的近似值(约率)，从而44约等 于2龙的7倍,sin(k 44) sin k. Ak44与念接近，从某一个念开始的一连串 点Af.,念44,念88,，念44/，组成图的曲线中的一条。实验2数e2.1.1 ( 1 )实验内容：观察当n趋于无穷大时数列+丄丫和令二I n)l+-j+,的变化趋势。n(2) 实验步骤：在Mathema

11、tics?. 0输入语句如下:DoPrint (1.0 + l/10n) (10n)z (1.0 + l/10n) (10n+l),nf 1,7(3) 实验结果：2.59374,2.853122.70481,2.731862.71692,2.719642.71815,2.718422.71827,2.71832.71828,2.718282.71828,2.71828(4) 结果分析：当n趋于无穷大时数列”和A.都趋近于2.71828,最后稳定于2. 71828.2.1.2 (1)实验内容：在同一坐标系中画岀下面三个函数的图像，观察当x增大 时图像的走向。(2) 实验步骤：在Mathemati

12、ca7. 0输入语句如下：Plot (1 + 1CT (-x)八(10x), (1 + 1CT (-x)八(ICTx+l),E, xzl,4Plot （1 + 10八（一x）八（lCTx）, （1 + lCT （-x）八（ICTx+l）,E, x,2,4Plot （1 + 1CT （-x）八（10x）, （1 + 1CT （-x）八（ICTx+l）,E,xz3,5（3）实验结果：(4) 结果分析：通过观察可以看到，当n增大时，5=(1 +十严格单调递增A=( + -rl严格单调递减。随着n的无穷增大，和A_无限接近，趋于共同的 n极限e=2. 70828.以这个为底的自然对数。0C 2.1.3

13、 (1)实验内容：计算 = 1+工一的近似值，精确到小数点后30位。(2) 实验步骤：在Mathematica7. 0输入语句如下:DoPrintNl+Suml/(k!),kz1,nz 30znr5,30(3) 实验结果：2.72.62.52.42.72.52.02.22.12.32.72.32.52.12.42.72.32.72.72.12.82.62.52.52.52.5(4) 结果分析：上面的对数表反映了自然对数的产生过程。在科学中广泛应用 以e为底的的自然对数的更直接的理山是：它使涉及到对数的微积分和积分公式 变得更为简单。2. 2. 1实验内容：通过运行Mathematics语句，计

14、算当兀=10一，n = 1,2, -,7时，2(x)=lg(l + x)/x的值。观察当x趋于0时，久(刃是否趋于某一极限值(2) 实验步骤：在Mathematica7. 0输入语句如下：DoPrintLog10,1.0+10.0(-n)/(10(-n)zn,lz7(3) 实验结果：0.4139270.4321370.4340770.4342730.4342920.4342940.434294(4) 结果分析：当x趋于0时，兄(0越来越趋近于0. 43429附近，最后稳定于0. 434294.2. 2. 2(1)实验内容：通过运行Mathematics语句，计算当乂 = 10一 , n = 1

15、,2, -,7 时，“(x) = ln(l + x)/x的值。观察当x趋于0时，“(0是否趋于某一极限值(2) 实验步骤：在Mathematica7. 0输入语句如下:DoPrintLog1.0+10.0(-n)/(10n),n,1,7(3) 实验结果：0.009531020.00009950339.995x10-79.9995x1O-59.99995x10-9.99999x10-13l.xlO-14结果分析：当X趋于0时，(对趋于极限值1.X10-14实验3积分与自然对数(1) 实验内容：画出函数在区间0.1, 10上的图像，观察图像的 形状，看他像是什么函数的图像，求出函数的参数。(2)

16、实验步骤:在Mathematica?. 0输入语句如下：Sx_:=NIntegratel/tztz1,x;PlotSxzxz0.1z10在求这个对数的底时，它应满足条件S (b)二1,从图像上可以看出b比3稍小一 些，从而以3作为初始值，利用牛顿切线法，用递推关系式聖求出近似值。输入语句如下：s (a)ga_:=a-(Sa-1)aNestListgf3,4(3) 实验结果：3,2.70416,2.71825,2.71828,2.71828(4) 结果分析：观察可以看出，图中所画图像很像是对数函数的图像。计算结 果发现b恰是自然对数的底e。实验四调和数列(1) 实验内容：将坐标(皿(恥=1,2,

17、100)的点依次连接成光滑曲线,观察曲线的形状，它与什么函数的图像形状类似？并进行验证。(2) 实验步骤：在Mathematics?. 0输入语句如下:Hn_ :=NSuml/kzk,n;t=Tablenf Hn ,(nz1,100;picl=ListPlott为了验证，输入语句如下：pic2=PlotLogx,(xz1,100,PlotStyle-RGBColor0,0,1;Showpicl,pic2为了更准确的刻画，输入语句如下：c=H100-Log100;pic3=PlotLogx+c, xz1,100z PlotStyle-RGBColor1,0,0 Showpiclz pic2z pic3（3）实验结果：204060KO1（10（4）结果分析：从结果看，若将这些点集依次连接成光滑曲线，好像是对数函 数的图像。观察发现点集r = （n,H（H）（l/7100）连成的曲线与y = nx的曲线并 不重合，但趋向于“平行”：当n增大时H（n）与In”之差接近于常数。因此考虑 将y = lnx的曲线向上平移适当的距离，计算出c = H（100）-lnl00,绘制图像后 发现y = In x + c的图像与点集/ =（几H（）