知识讲解_高考总复习：古典概型与几何概型(提高

1、实用标准高考总复习：古典概型与几何概型【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率;2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。【知识网络】【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不 同的基本事件。（2 ）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。3. 古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发

2、生是等可能的，如果一次试验中共有 n种等可能的结果，那么1每一个基本事件的概率都是。如果某个事件 A包含m个基本事件，由于基本事件是互斥的，n则事件A发生的概率为其所含 m个基本事件的概率之和，即 P(A) m 。n所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：E八、事件A包含的基本事件数P(A)试验的基本事件总数4求古典概型的概率的一般步骤：(1 )算出基本事件的总个数 n ；(2) 计算事件A包含的基本事件的个数 m ；(3) 应用公式P(A) m求值。n5 古典概型中求基本事件数的方法：(1 )穷举法；(2 )树形图；(3) 排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到

3、不重复不遗漏。知识点二、几何概型1.定义:事件A理解为区域Q的某一子区域 A , A的概率只与子区域 A的几何度量(长度、面积或 体积)成正比，而与 A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。2.几何概型的两个特点：(1) 无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；(2 )等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。3. 几何概型的概率计算公式:随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占总面积(体积、长度)”之比来表示。所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：P(A)a表示构成事件 A的区域的几何其中表示试验的全部结果构成

4、的区域Q的几何度量,度量。要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并 对几何图形进行相应的几何度量 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法【典型例题】类型一、古典概型【例1】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：(1 )向上的点数一共有多少种不同的结果？(2) 点数之和是4的倍数的概率；(3) 点数之和大于 5小于10的概率【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解：(1 )算出基本事件的总个数 n ；(2) 计算事件A包含的基本事件的个数 m ；(3) 应用公式P(A) m求值。n【解析】(1)作图，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，

5、共36种es432T691011IE&7aaioil5673g104S67893 4 573345D7i e4 5 r第一次掷后时上的点数（2 ）记“点数之和是 4的倍数”的事件为 A ,从图中可以看出，事件 A包含的基本事件共有 9个:（1，3），（2，2），（3，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（ 6，6），1所以P（A）4（3）记“点数之和大于 5小于10 ”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有 20个，即（1，5），（ 2，4）,（ 3，3），（ 4，2）,（ 5，1），（ 1，6），（ 2，5），（ 3，4），（ 4，3），（ 5，2）

6、，所以P（B）2036（6，1），（ 2，6）,（ 3，5），（ 4，4），（ 5，3），（ 6，2），（ 3，6），（ 4，5），（ 5，4），（ 6， 3），【总结升华】 在解决古典概型问题时，首先应当分清楚计数的类型，要分清是排列还是组合，单一的 还是混合的； 若所求事件的基本事件个数不易求，很容易出现遗漏或重复，可借助有关图形，以便更 准确地把握基本事件个数.举一反三：【变式】用数字1，2，3，4，5组成五位数，其中恰有 4个相同数字的概率为 .【答案】P讐5沽【例2】连续掷3枚硬币，观察落地后这 3枚硬币出现正面还是反面（1 ）写出这个试验的基本事件；（2 ）求这个试验的基本事件的总

7、数；（3） “恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件【思路点拨】利用古典概型解题步骤进行求解。【解析】（1 ）这个试验的基本事件Q =（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正,反，反），（反，正，正）,（反，正，反），（反，反，正）,（反，反，反）;（2 ）基本事件的总数是 8.（3） “恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正,正） 【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件【例3】抛掷两颗骰子，求：（1 ）点数之和出现7点的概率；（2 ）出现两个4点的概率.【思路点拨】根据条件列举出事件A所包含基本事

8、件个数。【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S= （x, y） |x N , y N , 1 x6 , 1wy W6中的元素对应因为S中点的总数是6 X6=36 （个），所以基本事件总数 n=36.（1 ）记“点数之和出现 7点”的事件为 A ,从图中可看到事件 5 A包含的基本事件数共 6 个:6 1(6 , 1 ) , (5 , 2), (4 , 3), ( 3, 4), (2 , 5 ), (1 , 6 ),所以 P (A)二一-.366(2 )记“出现两个4点”的事件为B,则从图中可看到事件 B包含的基本事件数只有 1个：(4 ,14) 所以 P ( B)=.36【总结升华

9、】在古典概型下求P (A )，关键要找出 A所包含的基本事件个数然后套用公式事件A包含的基本事件数P(A)试验的基本事件总数【例4】在一次口试中，考生要从 5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中 2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对 5道题中的2道题，试求：(1 )他获得优秀的概率为多少；(2 )他获得及格及及格以上的概率为多少；【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数【解析】设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有(1，2，3), (1，2，4), ( 1，2，5), (1，3，4), (1，3，5), (1，4，5), (2，3

10、，4) , (2，3，5)，(2, 4，5 ),( 3，4，5 )共10个基本事件.3(1 )记“获得优秀”为事件 A，则随机事件 A中包含的基本事件个数为 3，故P(A).10(2)记“获得及格及及格以上”为事件B,则随机事件 B中包含的基本事件个数为9，故9P(B)10【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重举一反三：【变式】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：有一面涂有色彩的概率；有两面涂有色彩的概率;有三面涂有色彩的概率【解析】在1000个小正方体中:一面涂有色彩的有82 6个，两面涂有色彩的有 8

11、12个，三面涂有色彩的有 8个，所以一面涂有色彩的概率为两面涂有色彩的概率为有三面涂有色彩的概率 P2PF238410009610000.384 ；0.096 ；0.008文档【例5】某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团)围棋社戏剧社书法社高中4530a初中151020学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人,结果围棋社被抽出12人.(I)求这三个社团共有多少人？(II)书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率【思路点拨】(I)根据围棋社共有 60人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取3

12、0人，结果围棋社被抽出12人，得到三个社团的总人数.10个基本事件，书法(II )本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，共有展示的同学中初、高中学生都有列举出共有6种结果，根据概率公式得到结果.【解析】(I)围棋社共有60人，由一 30150可知三个社团一共有 150人.12(II)设初中的两名同学为 62，高中的3名同学为b1,b2,b3,随机选出2人参加书法展示所有可能的结果：ai,a2, ai,b), ai,b2, ai,m, a2,bi, a2 , b2, a2,b3, b1 , b2, b1,b3, b2,b3，共 10 个基本事件设事件A表示“书法展示的同学中初、高

13、中学生都有”，则事件 A 共有 ai , bi, ai , b2, ai , b3, a2, b1, a2, b2, a2, d6 个基本事件P(A)10故参加书法展示的2人中初、咼中学生都有的概率为5.【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数.举一反三:【变式】现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品:(1 )如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率;(2 )如果从中一次取 3件，求3件都是正品的概率.【解析】(1 )有放回地抽取3次，

14、按抽取顺序(x,y,z )记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10 X10 X10=10 3种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有Q38 X8 X8=8 3种，因此，P(A)=3 =0.512 .10(2 )可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录( x,y,z),则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10 X9 X8=720种.设事件B为“3件都是正品”，贝U事件B包含的基本事件总数为8 X7 X6=336,所以 P(B)=336720715类型二、与长度有关的几何概型1如果试验的结果构成的区域的几何度量可用

15、长度表示，则其概率的计算公式为P(A)构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度2.将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点， 这样的概率模型就可以用几何概型来求解。【例6】在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超 过圆内接的等边三角形边长的概率是【思路点拨】解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化1成：直径上到圆心 0的距离小于-的点构成的线段长与直径长之比。2【解析】记事件 A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”

16、，如图，不妨在过等边三角形 BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为弦长大于CD的充要条件是圆心0到弦的距离小于 OF （此时-2 1F为0E中点），由几何概型公式得：P（A）寫=-。CD时，就是等边三角形的边长,【总结升华】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每 一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区 域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。举一反三:【变式1】取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于20cm的概率有多大？60cm20cm20cm60cm【解析

17、】从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为 60cm的绳子上的任 意一点如上图，记“剪得两段绳子的长度都不小于20cm ”为事件A,把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生1由于中间一段的长度等于绳子长的丄，31于是事件A发生的概率P(A)=.3【变式2】在半径为1圆周上有一点A，以A为端点任选一弦，另一端点在圆周上等可能， 求弦长超过3 的概率【答案】如图：另一端落在圆周上任一点，基本事件空间，可用圆周长来度量，圆内接正三角形 ABC的边长为、3，若任一端点落在劣弧 BC上，则弦长超过、3，而落在劣弧BC之外，则弦长不超过3，劣弧BC之长为圆周的-，3事件A=

18、“弧长超过3 ”发生意味着另一端点落在劣弧BC上，A可用劣弧BC弧长来度量,BC弧弧长故P（A）圆周长【例7】在等腰Rt KBC中,（1）在斜边AB上任取一点 M，求AM的长小于AC的长的概率.（2 ）过直角顶点C在 ACB内作一条射线 CM，与线段AB交于点M，求AM b .(I) 基本事件共 12 个: (0,0 (0 1) , (Q 2,) (1,0), (11), (1,2 (2 0) (21), (2, 2,) , 0),(31), (3 2). 其中第一个数表示 a的取值，第二个数表示 b的取值.事件a中包含9个基本事件，93事件A发生的概率为P(A)124(n)试验的全部结束所构

19、成的区域为(a, b)|0 a 3,0 b 2 .构成事件 A的区域为(a, b) 10 a 3,0 b b .321222所以所求的概率为2-.323【例9】将长为I的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率【思路点拨】将构成三角形问题转化为三段的长度关系，进而转化有关面积的几何概型问题进 行求解。【解析】设A= “ 3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，贝U第3段的长度为丨x y.则实验的全部结果可构成集合(x, y) 0 x 1,0 y l,0 x y I，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合文档I实用标准1 I,X2 221 I2 2 14A

20、 1 A x,y x y -,ySA所求的概率为P（A）S【总结升华】用几何概型解题的一般步骤是:（1）适当选择观察角度；（2 ）把基本事件转化为与之相应的区域；（3 ）把事件A转化为与之对应的区域；（4 ）利用概率公式计算举一反三：【变式】 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.【解析】如下图，区域Q是长 30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件 A :“海豚嘴尖离岸边不超过2m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Q的面积为30 X20=600(m2 ),阴影 A 的面积为 30 X20 26

21、 06=184 ( m2 )184236007530m类型四、生活中的几何概型【例10】两人约定在20 : 00到21 : 00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20 : 00到21 : 00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。【思路点拨】两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即-小时。设两人分别于 x时和y322时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当x y，因此转化成33面积问题，利用几何概型求解。【解析】设两人分别于 x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当22且仅当x y 。两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单位正33方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y ）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）不表示。因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映 了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为Tt-