概率论与数理统计-6-1数理统计基本概念ppt课件

1、数 理 统 计 学,Statistics,数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性的自然及社会现象进行数据收集、整理、分析和推断、预测的学科,第六章 样本及抽样分布,数理统计的基本概念,一、总体和样本 二、统计量及其分布,将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体,总体中的每个元素称为个体,整体和个体,一、总体与样本,1 随机样本,一般地，我们所研究的总体，即研究对象的某项数量指 标 X , 它的取值在客观上有一定的分布，X是一个随机变量 我们对总体的研究就是对相应的r.v X的分布的研究。X的分 布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征,总体,r.v X,例如，考察某工

2、厂10月份生产的灯泡的寿命所组成的总 体。灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的百分比，如灯泡 寿命落在1000小时1300小时的占灯泡总数的85，落在1300 小时1800小时的占灯泡总数的5,即灯泡寿命的取值有一定的分布,为推断总体的形态而从总体中抽取部分个体的过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中个体的数目称为样本容量,2. 样本,样本是随机变量,抽到哪5辆是随机的,容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,Xn,样本容量为5,注:1 在抽取或观察每个个体之前， X1,X2,Xn都是未知的，因而它们都是随机变量，(X1,X2,Xn)为n维随机变量,2当n次抽取或观察一经

3、完成，我们就得到一组实数（x1,x2,xn),称其为样本观察值或样本值,2. 独立性,由于抽样的目的是为了对总体的分布规律进行各种分析推 断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽 样方法.最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，抽取的样 本(X1,X2,Xn)称为简单随机样本,1. 代表性,每次抽取或观察独立进行，其结果不受其它抽取或观察结果的影响,每个Xi都是X的一个代表，X的一个复制品,注,若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为,F(x1) I F(x2) I I F(xn,在上述条件之下，r.v X1,X2，Xn独立且与X有相同的分布,有限总体时，采

4、用放回抽样所得的样本才是简单随机样本，今后只讨论简单随机样本,除具有随机性，还满足,样本的定义, 简单随机抽样的定义,获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样,我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如： 我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是 样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而 见不到随机变量,3. 总体、样本、样本值的关系,统计方法具有“部分 推断整体”的特征,统计是从手中已有的有限的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质,样本是联系二者的桥梁,统计量及其分布,注意,例 设(X1,X2)是从总体 XN( ,2)中抽取的一个容量

5、为2的样本,其中为未知参数 , 则,1 、统计量定义,不含任何未知参数的样本的函数称为统计量. 它是完全由样本决定的量,X1,统计量是独立同分布随机变量X1,X2,Xn的函数,因而它也是一个随机变量,抽样分布,2、几种重要的统计量（样本数字特征,设（X1,X2,Xn）为总体X的样本，则,样本均值,样本方差,样本标准差,样本 k 阶(原点)矩,样本 k 阶中心矩,对于装25瓶的一箱而言，平均每瓶灌装量与标定值之差不超过 0.3毫升的概率近似为0.8664,设总体XN(,2),X1,X2,Xn为取自该总体X的样本,几种常用统计量及常用分布,标准正态分布及其上侧分位数,若P(Zz)=, 则称z为标准

6、正态分布 的上侧分位数,z,其中,定义 设XN(,2),则 N(0,1),对任意01,正态总体下的常用统计量及其分布,设XN(,2),(X1,X2Xn)是它的一个样本,那么有,统计量的分布(随机变量函数的分布)又称抽样分布,证,由概率论的知识知,服从正态分布,样本均值 的分布,一）统计三大分布,记为,定义: 设 相互独立,且都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量： 服从自由度为 n 的 分布,n=1,n=4,概率密度函数图象,3、常用统计量及其分布,性质,设Y1 2(n1), Y2 2(n2),且Y1, Y2相互独立,则 Y1+Y2 2(n1+ n2),(可加性,此性质可以推广到多个随机变

7、量的情形.,证明,2分布的上分位点,的点 为2(n)分布的上分位点,对于给定的正数(01),称满足条件,n45时，用近似公式,有表可查( P304附表5,n,n=1,概率密度函数图象,1)图形关于t=0对称,2) t分布的的极限是标准正态 分布,即,事实上,当n30时,两者就非常接近了,注：当n充分大时，t 分布近似N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分布相差很大,服从自由度为n的t分布,记为Tt(n).又称Student分布,2) t 分布,定义,上分位点t (n) 还有性质,当n45时,查表P303附表4,当n45时,可利用N(0,1)近似, 即 t (n) Z,t

8、1-(n)= - t(n,例,t分布的上分位点t (n): 对于给定的(0 1),称满足 条件,的点t(n)为t分布的上分位点,F分布的上分位点,可查P305附表6,如F0.01(10,15)=3.8,0 1)的点F(n1 ,n2)为F分布的上分位点,定义:设U 2(n1), V2(n2),且U与V相互独立,则称 r.v,服从自由度为(n1,n2)的F分布,3) F分布,F分布的上分位点有性质,1 、若XN（，2）， (X1,X2Xn) 为其样本,与S2相互独立，,四、几个重要结论,分别为样本均值与样本方差，则有,的证明从略。的证明如下,证明,从而由t分布的定义得,例2 在研究设计导弹发射装置

9、时，弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布 ，这里 =100米2，现在进行了25次发射试验， 表示这25次试验中弹着点偏离目标中心距离的样本方差，试求 超过50米2的概率,解 根据上述重要结论也即本定理6.1知,于是,超过50米2的概率为0.975,设总体X N（1，2）， Y N（2，2） 而 (X1,X2Xn1) 和(Y1,Y2Yn2)分别是取自总体X和Y的 样本，X与Y相互独立,则有,设总体X N（1，21）， Y N（2，22） 而(X1,X2Xn1) 和(Y1,Y2Yn2)分别是取自总体X和Y的样本，S12,S22分别表示它们的样本方差,且X与Y相互独立,则,例3 设,是来自正态总体,

10、的样本，问统计量,服从什么分布,而,例4 设总体X服从正态分布N(,2),从中抽取容量为16的样本,试在 : 1)已知2=25, 2) 2未知,但已知样本方差S2=20.8 的情况下,求样本均值 与总体均值之差的绝对值小于2的概率,解,1)由统计量,2)由于2未知,但S2=20.8,这时统计量,于是,小 结,一、基本概念,总体、个体、抽样、样本、样本值、简单随机样本,二、统计量及其分布,作业 P129 1,3,4,6 预习2 点估计,解,1)由于统计量,思考题: 设总体X服从正态分布N(,2),从中抽取容量为16的样 本,试在 1)已知2=25, 2) 2未知,但已知样本方差S2=20.8 的情况下,求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率,解:2)因2未知,但S2=20.8,这时统计量,于是,思考题: 设总体X服从正态分布N(,2),从中抽取容量为16的样 本,试在 1)已知2=25, 2) 2未知,但已知样本方差S2=20.8 的情况下,求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率,1)样本均值的分布,设XN(,2),(X1,X2,Xn)是它的一个样本,那么有,证,由概率论的知识知,服从正态分布,二）单个正态