第6章微分方程系统求解的伪谱方法ppt课件

1、航空航天中的计算方法,授课教师：陈琪锋 中南大学航空航天学院,第二部分 边值问题求解方法,第6章 微分方程求解的伪谱法,2021/2/9,内容提要,6.1谱方法及伪谱法的概念 6.2谱方法与Lagrange插值 6.3正交多项式 6.4最优配点分布 6.5微分矩阵与两点边值问题求解 1 John P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods (Second Edition), DOVER Publications, Inc., 2000.Chap.1,3-6 2 Shen, J., and Tang, T., Spectral and High

2、-Order Methods with Applications（谱方法和高精度算法及其应用）, Science Press, Beijing, 2006, Chap.（1.1-1.3；2.1,2.4,2021/2/9,6.1 谱方法及伪谱法的概念 以N+1个全局基函数的加权和近似某一连续函数： 其中： 为多项式或三角函数。 残差函数： 例，二阶微分方程求解 残差为 某种准则下使残差最小，确定系数,6.1 谱方法及伪谱法的概念,Fourier谱方法,谱方法,2021/2/9,在与未知量个数相对的特定点处令残差为零：配点法 加权残差为零：加权残差法 Galerkin法：,为权函数,采用最佳配点的

3、谱方法，即伪谱法,6.1 谱方法及伪谱法的概念,2021/2/9,谱方法、有限单元法、有限差分法的区别： 有限单元法将区间分成一些子区间，在子区间选择局部多项式基函数 有限差分是局部计算 谱方法应用具有高阶次的全局基函数在整个计算域上,6.1 谱方法及伪谱法的概念,2021/2/9,伪谱方法精度高、收敛快、存贮省，适用于问题的几何特征平滑和规则时 伪谱法的问题： 如何选择最优的基函数？ 如何选择最优的配点,6.1 谱方法及伪谱法的概念,2021/2/9,6.2 谱方法与Lagrange插值 6.2.1 Lagrange插值 对函数f(x)，根据N+1个插值点的函数值，构造N次插值 多项式近似：

4、 其中，插值基函数： 任意N次多项式 Lagrange插值形式,6.2 谱方法与Lagrange插值,等价,2021/2/9,6.2.2 Runge现象 对任意光滑函数f(x)，根据均匀分布的N+1个插值点的函 数值，构造N次Lagrange插值近似，误差随N增大趋于0？ 例,两端点附近的误差大,端点附近插值点增多，中间可减少,插值点随均匀分布时，误差随点数增多不收敛,6.2 谱方法与Lagrange插值,2021/2/9,6.3 正交多项式 6.3.1 函数正交性与正交多项式 函数f(x)与g(x) 在加权Sobolev空间 上正交，是指 其中 为 上的正值权函数。 正交多项式序列是指一系列

5、的多项式 ，满足 可规范化为x的n次首一多项式,6.3 正交多项式,2021/2/9,任意n次多项式q(x)均可表示为正交多项式 的线性加权和： 若多项式序列 是正交的，则多项式 与任何不高于n次的多项式正交。 若多项式序列 是正交的，则多项式 的零点是互不相同的实数，且位于开区间 内,6.3 正交多项式,2021/2/9,6.3.2 正交多项式的生成 根据正交多项式的定义（首一情况为例） 当 ， 时，得到Legendre多项式 当 ， 时，得到Chebyshev多项 式,6.3 正交多项式,2021/2/9,Legendre多项式 ： Chebyshev多项式,6.3 正交多项式,2021/

6、2/9,6.3 正交多项式,正交多项式曲线图,2021/2/9,6.4 最佳配点分布 6.4.1 Gauss求积与Lagrange插值 将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和： 若适当选取 和 ，可使公式对次数 2N+1的多项式被积 函数均精确成立，节点 称为高斯点。 等价于将函数 f 用Lagrange插值近似为插值多项式，然后求 积分。若选用Gauss点插值，能实现最高精度,6.4 最佳配点分布,最佳配点（插值点）为Gauss点,2021/2/9,6.4.2 几类Gauss点 Gauss求积点 对于带权函数的Gauss求积： 其中Gauss点为 正交多项式 的零点。 由方程组： 可唯

7、一解出 ， 并且,6.4 最佳配点分布,Gauss点不包括两端点a和b，求解边值问题使用不便,2021/2/9,Gauss-Radau求积点 定义： 若采用 ，以及多项式 的零点 作 为求积点，称为Gauss-Radau求积点。 由方程组： 可唯一解出 ，并且,6.4 最佳配点分布,Gauss-Radau求积点包括端点a,2021/2/9,Gauss-Lobatto求积点 定义： 则采用 ， ，以及多项式 的零 点 作为求积点，称为Gauss-Lobatto求积点。 由方程组： 可唯一解出 ，并且,6.4 最佳配点分布,Gauss-Lobatto求积点包括端点a和b，适用于两点边值问题,202

8、1/2/9,6.4.3 常用正交多项式的Gauss点 Chebyshev多项式的Gauss点 Chebyshev-Gauss-Lobatto,6.4 最佳配点分布,2021/2/9,Legendre多项式的Gauss点 Legendre-Gauss-Lobatto,6.4 最佳配点分布,Legendre-Gauss-Lobatto点没有显式表达式，需数值求解,2021/2/9,Legendre-Gauss-Lobatto,6.4 最佳配点分布,2021/2/9,6.5 微分矩阵与两点边值问题求解 6.5.1 微分矩阵的概念 伪谱法将微分方程近似解用Lagrange插值表示： 采用Gauss点为

9、配点（插值点），在配点处满足微分方程： 需计算近似解的各阶导数在配点处的值 是配点未知量 的线性函数,6.5 微分矩阵与两点边值问题求解,2021/2/9,1阶微分矩阵： 2阶微分矩阵,6.5 微分矩阵与两点边值问题求解,可通过插值公式微分求解,2021/2/9,6.5.2 常用伪谱法的微分矩阵 Chebyshev伪谱法的微分矩阵 当采用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值点时。 一阶微分矩阵 各元素的显示表达为： 高阶微分矩阵与一阶微分矩阵的关系,6.5 微分矩阵与两点边值问题求解,2021/2/9,Legendre伪谱法的微分矩阵 当采用Legendre -Gauss-Lobatto插值点时。 一阶微分矩阵 各元素的显示表达为,6.5 微分矩阵与两点边值问题求解,2021/2/9,6.5.3 伪谱法求解两点边值问题 以二阶系统为例，考虑边值问题： 将问题的解用Lagrange插值近似表示为： 采用Chebyshev-（或Legendre - ）Gauss-Lobatto插值点， 在配点处满足的残差代数方程,