中值定理的应用

1、微分中值定理的应用,1.微分中值定理,1)罗尔定理,2)拉格朗日中值定理,3)柯西中值定理,在 上连续, 在 内可导, 且,在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一,使,在 上连续, 在 内可导,则至少存在一 使,则至少存在一 使,5) 三个定理之间的内在联系,拉格朗日中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,4) 判别 的方法,若,则,6) 微分中值定理的主要应用,1) 研究函数或导数的性态,2) 证明恒等式或不等式,3) 证明有关中值问题的结论,7). 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维,设辅助函数,一般解题方法,证明含一个中值的等式或根的存在,2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数,3) 若结

2、论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理,必须多次应用,中值定理,4) 若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,5) 若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧,有时也可考虑对导数用中值定理,5. 证明有关中值问题的结论,题型一：证明存在,使,例1,证明：（存在与唯一性）设,上可导,由零点定理，存在,使,由罗尔定理知，存在,使,即,这与,矛盾,练习,例2. 设,上连续,求证,证明,设,题型二：证明,证明思路,例3. 设,上可导,求证,证明,例4,设函数 f (x) 在 0, 3 上连续, 在( 0, 3 )内可导,分析: 所给条件可写为,试证必

3、存在,想到找一点 c , 使,证: 因 f (x) 在0, 3上连续,所以在 0, 2 上连续,且在 0, 2 上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一点,由罗尔定理知, 必存在,且,例5,设函数 f (x) 具有二阶导数,且,试证必存在,证,在 0, 1 上满足Rolle定理的条件,使,或 的一部分,构造辅助函数的一般方法,1. 将结论改写为方程,2. 将方程中的 换成,3. 方程的一端就是 或,题型三：证明有关中值的等式成立,例6. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一

4、点,问题转化为证,分析,练习1,设 在 上连续, 在 内可导, 且,证明存在一点 使,证明: 令,且,即,由已知条件知 在 上连续, 在 内可导,故由罗尔定理知,使,例7,设 在 上连续, 在 内可导, 且,证明存在一点 使,证明: 令,且,即,由已知条件知 在 上连续, 在 内可导,故由罗尔定理知,使,分析,例8,证,即,证明,练习1,2,练习2,设 在 上连续, 在 内可导, 且,证明存在一点 使,证明: 令,且,即,由已知条件知 在 上连续, 在 内可导,故由罗尔定理知,使,练习3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点,提示,设,欲证,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上

5、满足,Rolle定理条件,练习4,由罗尔定理,练习4,构造辅助函数,构造辅助函数,构造辅助函数,总结,通过恒等变形,例9. 设 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 试证存在 , (a, b), 使,证 对 f (x)与 x2在a, b上使用柯西中值定理,存在 (a, b), 使,再对 f (x)在a, b上使用拉格朗日中值定理, (a, b), 使,上两式相除即得, (a, b,练习,例10. 设,在,上连续, 在,试证对任意给定的正数,内可导,且,存在,证,转化为证,因,即,由连续函数定理可知,存在,使,使,因此,对,分别在,上用拉氏中值定理 , 得,即,1. 设,且在,内

6、可导, 证明至少存,在一点,使,提示,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足Rolle定理条件,设,练习,试证至少存在一点,使,2,则f (x)在 1 , e 上,使,因此,证 法一,令,满足Rolle中值定理条件,分析,即,3,分析,将结论交叉相乘得,辅助函数F(x,证,设辅助函数,因此F(x)满足Rolle定理的条件,即,得,证毕,4. 设,上连续,求证,分析,证明,设,分析,将所证等式变形为 或,可见，应对 与 在,上应用柯西中值定理,5. f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导 (0 a b), 证明存在 (a, b), 使,证法一 对 f (x)与 g(x) = lnx 在a, b上用柯西中值定理(条件显然满足), 得,整理即得所证结果,即,证法二 令,容易验证(x)在 a, b上满足罗尔定理的条件, 故存在 (a, b), 使 ( ) = 0, 即,整理即得,证,6,证明,为单调增加函数,由lagrange中值定理,7,证,作辅助函数,8.设,上二阶可导,求证,证明,设,9. 设,上是导数连续的函数,求证,证明,设,即,练习1.设,有界且导函数连续,求证,证明,设,即,10,证明,1)反证法,10,分析,将结论交叉相乘移项得,