立体几何练习

1、立体几何练习21如图，四棱锥 P ABCD的底面是边长为1的正方形，PA 底面ABCD , AE PD于E ,EF /CD 交 PC于 F，点 M 在 AB上，且 AM EF。（I）求证MF是异面直线 AB与PC的公垂线；（II）若PA 2AB，求二面角E AB D 的正弦值；（山）在（II）的条件下求点 C到平面AMFE的距离。2图22.如图2,在棱长为1的正方体 ABCD AiBiCiDi中，点E、F、G分别是 DDi、BD、BB 1的中点。（I ）求直线EF与直线CG所成角的余弦值；（H ）求直线CiC与平面GFC所成角的正弦值;（川）求二面角E FC B的余弦值。3如图，在四棱锥 P

2、ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，且DAB 60；菱形ABCD的两条对角线的交点为O,PA PC, PB PD且PO 3点E是线段PA的中点，连接EO,EB,EC（I）证明：直线OE/平面PBC;（II ）求二面角E BC D的大小4.已知三棱锥 P ABC中PB丄底面 ABC,BCA 90 , PB=BC=CA= E是PC的中点，点 F在PA上，且3PF=FA. (1)求证：平面 PACL PBC (2)求平面BEF与底面ABC所成角(用一个反三角函数值表示)125.如图，四棱锥P ABCD勺底面是正方形，PA丄底面 平面AMN.(1) 求证：AML PD(2) 求二面角 P AM-

3、 N的大小；(3) 求直线CD与平面AMN所成角的大小6.如图，平面 ABCL平面 ABEF ABCD是正方形,(1)求证平面AGCL平面BGC2) 求GB与平面AGC所成角的正弦值.3) 求二面角 B AC- G的大小.ABCD PA=AD=2 点 M N 分别在棱 PD PC上，且 PCP1ABEF是矩形，且 AF - AD a,G是EF的中点,28.如图，四棱锥 P ABCD 中，PA 面 ABCD , AB AC, PA AD CD 2, BC 72, ADC 90：(1) 求证：面PCD丄面PAD(2) 求面PAB与面PCD所成的锐二面角9.在斜三棱柱 ABC AiBiCi 中，BC

4、 AC,BA) 的中点D。(1) 求证：AC1 平面AiBC ;(2) 求点Ci到平面AiAB的距离；3)求二面角 Ai AB C的大小。ACi,AC=BC=2，点Ai在底面ABC上的射影恰为 ACiO.如图i, E, F, G分别是边长为2的正方形ABCD所在边的中点，沿 EF将 CEF截去后，又沿EG将多 边形折起，使得平面 DGEF丄平面ABEG得到如图2所示的多面体.(i ) 求证：FG丄平面BEFi(2) 求二面角 A-BF-E的大小；(3) 求多面体 ADG- BFE的体积11.如图，在直三棱柱 ABC ARG中，AC BC,E是棱CCi上的动点,F 为 AB 中点，AC BC 2

5、,AA 4。(1)求证：CF丄平面ABB!； 当E为棱CC!中点时，求证：CF/平面AEB!； 在棱CC!上是否存在点E，使二面角A EBi B的大小为一？4若存在，求CE之长，若不存在，说明理由。12如图所示，己知三棱柱 ABC _ MRU的侧棱与底面垂直，&A二二彳C =丄/C M,N分别是CC, HC的中点，P点在斗州上，且满足(I) 证明：|(II) 当人取何值时，直线Ph与平面ABC所成的角最大？并求出该最大角的正切值；(III) 在(II )条件下求P到平而AMN勺距离4 J i :-三厂-一.一.1；又AC =平面PAC, *平面PA匚丄平面PBC解设FE的延长线与AC的延长线奁

6、于M 连MB, 则MB为平面BEJ石平面.ABC的交线在平面PG中，由已知E是的中点，F是弟的四等分点】二砲=丄 AC = -a77取BC曲中席H,刚EH ?B,二EH丄底面ABC过H作HO丄田于0.由三垂薙定理，ECLLIB刚ZE0H酋平血BEF与底面A3U所成二面毎的平而角J51在 Rt BCM 中,HO a,在 Rt EHO 中，.EH -a102EH 厂tan EOH5HO即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为 arctan . 5S 1 a2S射影a16S射影1cosS EFB X1 6若利用面积射影法，指出 HDB是厶EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积7分计算出Sefb

7、 a216即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为 arccos665.(1) 证明： ABCD是正方形， CDL AD/ PAL底面 ABCD - PAL CD. CDL平面 PAD/ AM平面/ PCL平面 AML平面 AML PD.(2) 解：T AML平面PCD(已证). AML PM AML NM. / PMN为二 面角P-AM-N的平面角./ PNL平面 AMN PNL NM.在直角 PCD 中,CD=2 PD=2、2, PC=2、.3./ PA=AD AMLPD z.M 为 PD的中点,PMPD= 22CD PM .PCPAD CDLAM.AMN - PCLAMPCD.由 Rt

8、 PMM Rt PCD 得 - MNPMN3arccos .3cos( PMN)业 2D 2PM PC 23即二面角P AM N的大小为arccos31=延扶皿人CD奁于点E_丁PC丄平而 MIX, /-XE为CE在平面.AMX內的射囂 ZCEN为CD （即CZ）与平在池?所咸的角 CD丄PD ENLLPU /. ZCEX=XPX.在 RtAPMX 中，sin（厶UPX）=HF = T七（吩；. iA/P.V =CD与平面AIN所廉的角的大小arcsin6. （1）证明：正方形 ABCD CB AB面ABCD-面ABEF且交于AB, CBL面 ABEF / AG GB 面 ABEF二 CBL

9、AGCBL BG又AD=2a , AF= a , ABEF是矩形，G是EF的中点， AG=BG=.2a , AB=2i, AB2=aG+bG,. AGLBG / CGI BG=B AGL平面 CBG 而 AG 面 AGC AGC_平面 BGC2）解：如图，由（I）知面 AGC_面BGC且交于 GC在平面 BGC内作BHLGC垂足为 H, 平面AGC / BGH是 GB与平面AGC所成的角故平面则BHL在 Rt CBG中 BHBC BGBC BG2 3a又 BG= 2a,CG.BC2BG23BH.6- sin BGHBG3（3）由（H）知，BHL面 AGC作BOL AC垂足为0,连结HO 贝U

10、HOL AC BOH为二面角B- AC- G的平面角在 Rt ABC 中，BO、2a在 Rt BOH中，sinBOH BH乂 6寸6BOH arcsinBO33即二面角B- AC- G的大小为arcsin二3a rtn PAD越）解；由却MFaF.又面0丄WlASGiX：i）丄2征明；取M的中点心连绪叭亿由为叱的中点知：FT“GA二农OAB f/CD.AB =寸C0所议 EF = AB.EF/四边形 ASEF为平鞋四边臥所议血“A兀又血在平面円刀外在平面用D内所以朋，CD丄面PAQ又AFQ面呛D /. AF 丄 0 且 PD Ci CD = D:* 丄 Si PCD由卸月到嵩PCD的距离为AE

11、 取CD的中点G连结 眈,陽由舸頂知四边形61）为矩形，所以乙刊&为异 蘭直线Pfi与朋所战的料或其补角.设IE 3MD的边氏为心则在 3RG中易知P# PC , 4 tBC = ns为顾由题盘叱戸二L =亨;解得m =即H到面PCDtfii距离为丿工3）解涎檢作与创交于您连堵阳-/ AB 首 COrAS - CD = E ?,4 二初工？又CD 1向PADP/J为PE在面F4/J內的射影PC HP门ADPC为平面PAD与平面阳（:相交斯戚的饥二面州的平面煎rp在九AM。呻卫:肿c 丽i 门l）K =孚側平齒 讪 与甲面PRC交朋賊的锐二面角的大小为扌4呻8.刊 J. CD -旳4丄面ABCD

12、 C0丄面PAD駅pCQ丄ZM Hg面卩幼丄jiff PAI).CD C 面 ABCDI CD c 面 PC DiPA r DA =川G)延忙朋j)c?交于点o准尸q,作廐面的示慰国 由 4P = 2.CD = AC =再=岳 MRC申.由余弦定理tcBAC = 4_3Z. BAC -厂34X 5上C4D 二 4-/. tMiABXZ) H 2 故2 DQ = 4作 DM 丄扎P于 M.DH丄严。于 H,连 MH. M MH丄PQ 则乙DHM即为面只佔与血尸匕。所成的磺二简爲， 程中.DM = 备QH -.W1SI 厶 DHM at故面FAH与面PCD所Jffi的饶二面角为Arc sin另卷：

13、如KL以。为坐标原点建立空问宜角坐标乘.则 A C2.0.0) tC(0.1.0) tP 分设y* 4B 土 AC = W、RC = Q密：2 * (y 一 1 尸 2又浑A U代：k = 1 4 m Z二艮(1.2 *0)-由= (0,1 ,O w (2,0t2)得：面 PCD 的一个法JSJ* = (l;0r - 1)由7芦=(&,0t2) .aS = ( - 1 F2f0)得士面 PA& 的一忙法向 n = 2.1,0)十面PAB与面PCD所威的悦二面角 为arecos电夏9 協匀H 7戸.曲甘3AC X XC 4C-Ya辺亠平BUM二直Dg陋所雀査蟻幷别扒也轴摊立空他宜角坐标緊Q切设|

14、兀5|则與山I ao扌C(OJ fl)沾1Q占血戎AG 辭阳二査吐 罠2,讣,硏二(2,L,J由占 G 丄 BA灣；込- fi? = -3+ta=0CO .-斫崩总(缶0,町 A(-cS = DxZ3if(?+K 0 代冶q j, AC艾xq丄叫jS人r sc & 4C, 平面 JLEC2)删1 * (0,11-/ A 谡平面4145.的TS向哥为E B (头真右j； ；= jr sc :丁 = ?干不棘设r訂，则祁壬倔-再订) 设1到平面2出的距离为盒躺疋打 2 2 21d rr. i!=亠 r3J v XAi 平面腼匕打研* (0t0p#)为平面且RC的一乍桔向险AS - C靖大小为erc

15、us10.解 (1)证明 面 DGEIF面 ABEG 且 BEL GE BEL面 DGEF 得 BEL FG又/ gF + eF =(迈)2 +(72)2 = 4 = eG, / EFG= 90，有 EFL FG而BEH EF= E因此 FGL平面BEF(2 )如图所示，建立空间直角坐标系，贝UA (1 , 0, 0), B( 1 , 2, 0), E (0 , 2 , 0), F (0 , 1, 1),于是，FA=(1, 1, - 1) , FB = (1,1, 1) , FE = (0,1, 1).设相交两向量 FA、FB的法向量为ni = ( xi, yi, zi),则由 ni丄 FA，

16、得 xi-yi-zi = 0 ;由 ni丄 FB，得 xi + yi-zi = 0 . 解得 yi = 0 , xi = z i,因此令 ni = (i, 0, i).事实上，由(i)知，平面 BEF的一个法向量为 n2 = (0, i, i).17所以 cos =rk) n2 g丨E I丄，两法向量所成的角为 _,23从而图2中二面角A- BF- E大小为 厂.3另法 如图，补成直三棱柱，利用三垂线定理求出二面角BF- E的大小为，进而求得二面角 A- BF- E的大小为 冬.33(3)连结BD BG将多面体ADG- BFE分割成一个四棱 锥B- EFDC和一个三棱锥 D- ABG则多面体的体积=VB- EFDG+ V ABG.2) 1 12 1 1115236另法补成直三棱柱或过 F作ADG勺平行截面FKM则多面体的体积 =V柱一V-BEH= 5 或=V柱+ V=-BEMK= 5 .6 612. ( I )以AB, AC,AAi分别为x,y,z轴的正方向，建立空