教师做个思想者

1、儿童的智慧在指尖跳跃数学实验的内涵诠释与实践探索江苏省海安县实验小学 储冬生前言：从一道“钟面问题”说起数学中的许多结论都是用实验和归纳发现的，证明只是补充手续而已。 高斯这是一个流传很广的“钟面问题”：一天 24 小时内钟面上的时针和分针一共重合多少次？我对身边的小学生进行过调研， 结果发现： 大部分的学生无从下手， 少数学 生能够动笔演算出结果 （但是需要较多的时间） ，也有极少的几个学生能从拨弄 手表的实验中收获成功。想到“拨弄手表进行实验”，问题就不难了，关键在于孩子们普遍想不到这 种实验的方法。这种数学实验意识的淡漠与我们的数学教学方式有着千丝万缕的 关联。数学教学必须重视数学实验意

2、识的培养和实验方法的指导。 “经历、观察、 感知、操作、模仿、收集、参与、尝试、发现、探究”构成了数学课程标准 中实验教学的主要行为动词，是实现“过程与方法目标”的主要途径，也是数学 实验的主要思想一种“用实验学数学、用实验做数学”的思想。（一）数学实验发展的概述数学有两个侧面， 一方面它是欧几里得式的严谨科学， 从这个方面看数学像 是一门系统的演绎科学； 但另一方面， 创造过程中的数学， 看起来却像是一门试 验性的归纳科学。波利亚长期以来，人们有一种误解， 认为物理、化学需要实验， 而数学不需要实验。 其实实验不是物理、化学等自然科学的专利，数学来源于生活，起源于实践，应 该说自古以来数学就

3、有实验。 人们从结绳计数开始就在进行着数学实验， 并且通 过实验不断地发展数学。 人们最先接触到的数学问题， 都是从实践中得来的， 然 后进一步形成了数学的理论。从儿童的数学学习历程看， 学生从幼儿园开始建构人的数学知识系统时， 就 是从实验和操作开始的； 小学一年级学习数的加法和减法时， 孩子是借助于实物 从数数开始的；在认识图形时，孩子是通过自己动手折纸、剪纸、画图或其他相 关操作来认识的可见，对于数学实验的关注和研究某种意义上是一种 “旧话 重提”，为什么要“重提”？主要是基于以下几方面的思考：第一、我国的部分学生不能较好地完成老师布置的这类学习任务， 动手能力 和创新意识有些欠缺；第二

4、、在应试教育的评价体系中动手操作和实验能力方面的测评曾一度被忽 视；第三、不仅在“空间与图形”领域的学习中需要实验， “数与代数”、“统计 与概率”、“实践与综合应用”等领域的学习也需要数学实验的介入；第四、现代意义上的数学实验已不再局限于演示教学和简单的动手能力训 练，而是更多地被应用于数学研究和问题探究；第五、随着计算机技术的迅速发展，计算机模拟（也称计算机仿真实验）为 数学实验的研究拓展了更为广阔的空间。（二）数学实验现状的调查数学实验是现代科学和实践的产物， 在现代科学知识的所有各个领域内， 都愈来愈多地采用一个新的研究方法 数学实验。前苏联学者P.N.斯特伦吉娜为了了解教师对数学实验

5、的看法及具体实践情况，笔者对南通市 8 所小学 （兼顾不同层次） 的 130多位数学教师 （注意年龄分布） 做了一份简单的问卷调 查。从中抽取 100 份有效问卷做了汇总和分析，有 89 人认为“在数学教学中有 必要做数学实验”。大部分教师认为做数学实验是必要的，但在实践中，却做得 很少。根据这些问卷的统计，平均每个教师每年仅做过 1.41 次数学实验，最多 的平均每年约 7 次，最少的平均每年仅 013次。既然都认为“做数学实验是必 要的”，为什么又很少采用这种教学形式呢？问卷中的回答主要有四类： 1.“怕 影响教学进度” ，占54； 2. “没有经验” ，占27；3.“自己没有时间考虑”

6、， 占 12； 4. 其他回答，占 7。分析这些回答， 应试教育压力过重是一个客观原因， 但教师自身的主观原因 也不容忽视： 第一、 对数学实验教学的认识不足。 54的教师由于怕影响教学进 度而放弃数学实验， 其中的大多数恐怕不能把原因完全归咎于客观环境， 主要原 因还是对数学实验的意义和价值认识不足。 第二、对数学实验教学的经验缺乏。 虽然只有 27的教师表示“没有经验”，却是一个非常值得关注的信号。其实 老师们对数学实验都略显陌生， 相关参考资料也很少， 而且主要集中在统计、 测 量等几类课题上。 此外，还有教师提出缺乏实验所需的工具和材料， 这个因素也 值得关注。由此可见， 从数学教师主

7、观的角度来看， 要使数学实验真正进入课堂， 成为 数学教学的一种重要的、 有效的教学形式， 应特别注意两个问题： 一是进一步提 升教师对数学实验的价值认同，二是深入开展数学实验教学的相关研究。（三）数学实验方法的分类为什么数学真理如同物理学领域中的定律和原理那样， 有时可以通过实验和 归纳的方法去发现呢？原因很简单， 因为数学对象本身 （如数量关系、 空间形式 等）也具有客观实在性。 Gatlss数学的学科特点决定了数学实验的方法与物理、 化学实验不同。 根据所研究 问题的不同， 以及不同问题所呈现出的不同形式， 我们可以将数学实验方法大致 归为以下的四类：1. 操作实验数学中的有些实验问题，

8、 是通过对实物对象的操作完成的， 通常被称为操作 实验，即利用实物模型或数学教具等进行实验操作，从而发现并解决数学问题。 如测量、手工及模型制作、 实物或教具演示等， 主要是为了帮助学生理解和掌握 数学概念、定理，以发现、演示、验证结论为主要目的。案例： 建筑模型选择题： 小强观察一个建筑模型 （由若干个相同的小正方体拼成 ），分别从前面，右面，上面观察，看到的图案如下图所示，那么该模型共由（）个小正 方体拼成。b曲、/- 7_ 刖面右面上面A、8B、9C、10D、 11由于正方体的块数较多，看到的图案相对复杂，所以大部分的学生（甚至是老师）凭想象解决这个问题是不容易的。 有数学实验意识的孩子

9、，自己用小方块 参照从各个方向看到的图案，动手摆一摆，再根据实际情况做些调整。在操作实 验之后，大部分的孩子都可以解决这个问题，选出正确的答案 B。2. 思想实验思想实验就是根据研究的目的人为地创设、改变和控制某种数学情景的需 要，在一定条件下经过思想活动（包括必要的推理和计算），来研究某种数学现象和规律，这种实验是在想象中做的，是设想着做的，不必依靠具体的实验器材， 只需要有一个具体操作的模型作为依据。正如象棋这种高智商游戏是在棋盘上操 作完成的，但是它的最高境界却又是在大脑里下“盲棋”。案例：撕纸片简答题：一张纸，将其撕成5片，以后的每一片都可以再撕成 5片，照这样撕下去能够撕成25片吗？

10、照这样撕下去能够撕成2009片吗？能否撕成25片，我们可以通过操作实验来完成，并记下每次的结果：次数 0 1 2 3 4 5 6片数 1 5 9 13 17 21 25显然，第6次就能撕成25片了。真正撕下去，一直撕到2000多片这是不可思议的，我们的大脑也会在我们 撕纸片的过程中关注是否能找出其中的规律，而这一问题中的规律就是：原来有1片，每撕一次，将增加4片，撕第n次，会得到（1+ 4n）片。这时我们就可以将操作实验转化成思想实验，在“头脑中操作”：根据1+ 4n=2009,得n=502，即撕到第502次，恰好可以撕成2009片。3. 模型实验数学模型是根据一定的目的，对所研究的客观事物的

11、数量关系，空间形式及 其简化的、抽象化的模拟而得到的一种数学结构， 通常表现为一些数学符号、 学公式、程序和图形。美国数学家L.Steen说“创建好的数学模型正如证明深刻 的定理一样有意义”。数学模型方法是问题解决中借用数学模型处理各类问题的 方法。数学模型方法是将数学思想方法应用于理论问题和实际问题的实验。案例：糖水浓度判断题：真分数a，如果把它的分子和分母同时加上m（m0），则所得的b新分数Ma o（）b m b解答这道题，根据小学生的知识水平和认知特点大多数老师给学生的指导都 是举几个真分数的例子去试一试，但是这种举例的方法显然是不严密的， 因为它 无法穷尽所有的可能。我们可以尝试构造一

12、个模型实验：将a克糖加上水配成b克糖水，其浓度为-，如果再加入m克糖，其浓度就b变成，显然加糖后的糖水浓度应该是提高了，即 乞-0这里用一个实b mb m b际问题的模型将一个抽象的不等式问题，阐释得严密、深刻而又直观。4.模拟实验计算技术的快速发展，给数学实验增添了许多的技术成分，计算机模拟实验 使得以前手工操作不能实现或不易实现的很多实验得以解决。计算机模拟实验以计算机软件的应用为平台，充分运用现代信息技术，模拟实验环境，通过操作、 实践、试验，探索数学定理的证明、数学问题的解决。这种模拟实验，可以是学 生按照教师提出的实验要求，自己用电脑完成相应的实验；还可以是学生自己由 于解决某个问题

13、的需要而自觉地运用计算机这一工具对问题展开的研究。案例：药物残留量探索题：小明锻炼时受伤了，医生要求他服用一种药。每次服药量为440mg， 每日三次（间隔8小时），连服10天。假如小明身体每8小时吸收药物的60%， 试分析学生小明体内的药物含量从什么时候开始将大致稳定在一定的水平上。这是我在教学“百分数的应用”之后留给孩子们的一个具有一定挑战性的探 索题，原题出自美国数学课程标准。这是一个动态的递推问题，它反映事物 的动态变化过程，以8个小时为一个时段，10天一共是30个时段。若用Xk表示k个时间段后的药物含量，可以得到递推公式Xk+1 =x kX 0.6 + 440若将Xk理解为第k个8小时

14、后身体内吸收的药物含量，可得递推公式Xk+1 = （ Xk+ 440）X 0.6启动Excel，在A1单元格输入440,在A2单元格输入“ =A1*0.6 + 440” 再 将A2中的公式向下引用至A30;在C1单元格输入440,在C2单元格输入“ =（C1 + 440） *0.6 ”再将C2中的公式向下引用至C30,得到如图所示系列实验数据。I r . .i l *. -i I a i: PIMr I i - . L LjH 1町：.I * i 1 . - 诅：-rl一口 PQJPilu 划 00 皿v,1-s.1 sl-i.L!.c:l1.l.:*li-.,l.l.al由此可见，大约到第1

15、5个时间段左右即服药5天后，药物含量（或吸收量） 将会大致稳定在一定的水平上。（四）数学实验教学的探索我一生中最得意的是什么？是孩提时代的那些小实验和充满孩子气的智力游戏。理查德费曼实验是一种数学学习方式，是进行数学探究的一种方式，是数学应用及问题 解决的一种方式。也许只需要一个实验的引入，就能将某几节课的效率提高好几 倍;也许一个新内容的整个学习过程都在进行着实验；也许有时很有必要为一道 习题设计一个实验；也许某些内容学习之后，应该给学生安排一个综合实验，以 便于检查他们对知识的系统掌握情况及应用所学知识解决实际问题的能力 凡此种种需要教师的教学工作富有开创性，“把工作当学问做”，努力提高自

16、己的 教育教学水平和研究的能力。教学苏教版四年级上册 游戏规则的公平性 这一内容，我设计了三次摸球 的游戏活动，这里的摸球游戏其实就是一种实验，是一种真正能够“寓教于乐” 的教学方式。摸球游戏（一）在一个小包里放了一些球（六个黄球） ，每次任意摸出一个球，摸到黄球算 老师赢，摸到白球算学生赢。摸球结果都是老师赢，学生质疑老师作弊。老师将 球倒出，学生大呼上当。说明：一上课就让孩子紧紧地“盯”上了这个实验，对实验的关注不是老师的强制要求，而是源自对实验本身的兴趣。摸球游戏（二）调整包里球的个数（六个黄球，两个白球） ，再玩一次。白球代表“男生 ”， 黄球代表“女生”，哪种颜色的球摸到的次数多，就

17、代表哪一方获胜。详细说明 游戏要求后，游戏开始。游戏结束后，先比较学生的各种记录方法（打“V”的， 画“O”的，写“正”字的）,分析利弊（画正字，既简洁又明了，又便于汇 总），然后再公布游戏结果，女生获胜。男生不服气并陈述理由，再次将包里的 球倒出来，学生一片哗然说明：组织学生的实验活动， 首先要拟定可操作的实验规则， 没有明晰的规 则，实验的组织很可能会涣散， 其效果一定不会好。 对记录方式的比较是一种实 验过程中的方法指导， 用画“正”字来记录实验数据是学生在比较后自主地做出 的选择。实验之后的反思很重要， 只有充分反思， 才能让学生获得“思维的发展”， 没有思维参与的实验活动必将沦为“机

18、械的操作” 。摸球游戏（三）先讨论“该怎样改变包中的球，才能使游戏变得公平” ，然后预测“当黄球 和白球的个数一样多时摸球的结果可能是怎样的” ，接着公布小组合作要求，分 小组设计并实施一次公平的摸球游戏，最后结合实验数据分析指出：规则公平， 双方赢的机会是均等的， 但在规则公平的前提下仍然会有输赢， 这就是游戏的魅 力所在。说明：实验前的“预测”显得尤为必要， 因为不少孩子认为： 球的个数相等， 实验的结果摸到两种球的个数也应该是相等的。揭示错误，正是为了矫正错误。 数学实验教学中小组合作是经常使用的组织形式， 明晰的合作要求、 合理的小组 分工、良好的合作习惯都很重要。另外，对实验数据的分

19、析是一种重要的能力， 老师在教学中要有意关注。关于数学实验， 困扰教师的问题可能很多， 譬如：学生如果具有了先期经验， 能够做出判断， 还需要再做实验吗？实验强调动手实践， 思维含量到底该如何体 现？这些问题总是不断引发我们对数学实验教学的再思考，不断调整、优化自己的教学行为。在具体的实验教学中，下面几点尤其要注意：第一、实验动机，不能“一厢情愿” 。目的不明，意义不清的实验，对于孩 子而言很大程度上就是一种“机械的操作”而已。真正有效的实验，学生应该有 明确的实验动机，教师只起一个引路人的作用。第二、实验方案，不求“一步到位” 。一些数学课堂过分追求“顺畅” ，老师 把实验方案控制得太“死” ，学生实验做得顺顺当当，然而实验之后，认识并没 有提升。实验过程过于“顺利”背后潜伏着的往往就是“肤浅” 。第三、实验过程，不得“一做了之” 。“数学实验”不能等同于简单的“动手 操作”，一定要重视孩子活动前的估计、预测，活动后的分析、反思。数学实验 中学生积累感性体验很重要，而理性思考则更为重要。第四、实验结论，不可“一告而知” 。教师不能过于简单地呈现实验结论， 结论应尽可能由学生来总结。如果有困难，可以借助统计、观察、比较、反思等 方法，让学生逐