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一道平面几何定值问题里的“小乾坤”王钦华 四川苍溪实验中学校 在平面几何中常常会遇见一些定值问题，所谓的定值问题是指：在变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或是几何元素的某些几何性质或位置关系不变的一类问题。如初中数学竞赛中有如下平面几何题：这些题形式简洁，但内涵丰富。笔者略微整理，请指正。题目1 若是给定等腰三角形中底边上的任意一点，过作于，于，求证：为定值。1.1 解题先来看看它本身的解法，目前探讨的解法有四种，分别如下： 1.1.1 解法一：极端化法点是边上任意一点，于是可以考虑点与点重合时，过点作于,显然此时的,即定值为腰上的高。 现证明如下： 过（异于、两点）作于，于,于。显然,再证明即可。 为等腰三角形 又 故在和中 即 为定值且为腰上的高得证 1.1.2解法二：面积法 如图所示连接 （等腰中) 而，所以（为腰上的高）显然为定值。 1.1.3解法三：借助于锐角三角函数设等腰的底边为，腰长为，过点作于,过点作于 易知，又有 在和中, 在中，又 （定值） 1.1.4解法四：坐标法 以等腰底边所在的直线为轴，底边高为轴建立如图所示的直角坐标系：设, 直线 直线 由不等式表示的平面区域知点在直线的右侧，在直线的左侧，所以将点代入直线可得： 又由点到直线的距离公式可知： =（定值） 可以验证这一值仍然是等腰腰上的高。 由此我们还可以得出如下结论： 等

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