线性代数-考研笔记

1、第一章 行列式性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3 行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。第i行（或者列）乘以k，记作rik(或cik)。推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第i行（或者列）提出公因子k，记作rik(或cik)。性质4 行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：D=a11a12a21a22a

2、1i+a1ia1na2i+a2ia2nan1an2ani+ani ann=a11a12a21a22a1ia1na2ia2nan1an2aniann+a11a12a21a22a1ia1na2ia2nan1an2ani ann性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。a11a1ia21a2ia1ja1na2ja2nan1anianjannci+kcj=a11a1i+ka1ja21a2i+ka2ja1ja1na2ja2nan1ani+kanjanjannij(ci+kcjrci+krj)定义 在n阶行列式，把（i,j）元aij所在的第i行和第j列

3、划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i,j）元aij的余子式，记作Mij；记Aij=(-1)i+jMij ，Aij叫做（i,j）元aij的代数余子式。引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAij定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin i=1,2，n，或D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj j=1,2，n推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。a

4、i1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0ij和a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0ij范德蒙德行列式Dn=11x1x12x2x221xnxn2x1n-1x2n-1xnn-1=nij1xi-xj克拉默法则a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn如果线性方程组的系数行列式不等于零，即D=a11a1nan1ann0，那么，方程组有唯一解x1=D1D，x2=D2D，xn=DnD 其中Dj(j=1，2，n)是把系数行列式矩阵D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即Dj=a11a1，j-1b1

5、a1，j+1a1nan1an，j-1bnan，j+1ann定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式D0，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。定理4 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D0，则齐次线性方程组没有非零解定理5 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零第二章 矩阵级其运算定义1 由mn个数 aij(i=1，2，n)排成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵；A=a11a12a21a22a1na2nam1am2amn 以数aij为(i，j)元的矩阵可简记作（aij）或（aij）mn mn矩阵A也记作Amn

6、 。行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶矩阵A也记作An。特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是 同型矩阵 同型矩阵A和B的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，A=B；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O；注意不同型的零矩阵是不同的。特殊矩阵n阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为1，其他元素为0；E=100100001对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作 =diag(1,2，n)=10020000n定义2 矩阵的加法设有两个mn矩阵A=（aij）和B=（bij），那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为A+B=a11+b11a12+b12a21+

7、b21a22+b22a1n+b1na2n+b2nam1+bm1am2+bmn2amn+bmn注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；矩阵加法满足运算律（设A，B，C都是mn矩阵）（i.） A+B=B+A（ii.） A+B+C=A+(B+C)定义3 数与矩阵相乘A=A=a11a12a21a22a1na2nam1am2amn数乘矩阵满足下列运算规律（设A，B都是mn矩阵，为数）（i.） A=(A)；（ii.） +A=A+A；（iii.） A+B=A+B（iv.） A=A定义4 矩阵与矩阵相乘设A=（aij）是一个ms矩阵，B=（bij）是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的

8、乘积是一个mn矩阵C=（cij），其中cij=ci1c1j+ci2c2j+ciscsj=k=1saikbkj(i=1，2，m；j=1，2，n)，并把此乘积记作 C=AB注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；矩阵的乘法性质（不满足交换律）（i.） （AB）C=A（BC）（ii.） AB=AB=AB（iii.） AB+C=AB+AC，（B+C）A =BA+CA（iv.） EA=AE=A（v.） A=AE=EA；AkAl=Ak+l，(Ak)l=AklE=矩阵的转置定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。性质：（

9、i.） (AT)T=A；（ii.） (A+B)T=(A)T+(B)T（iii.） (A)T=AT（iv.） (AB)T=BTAT定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵A的行列式，记作A或det A；（A，B为n阶方阵，为数）（i.） AT=A（ii.） A=nA（iii.） BA=AB=AB伴随矩阵定义：A*=A11A21A12A22An1An2A1nA2nAnn A的各个元素的代数余子式Aij性质：AA*=A*A=AE定义7 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB= BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称 逆阵 。定理1 若矩阵A可逆

10、，则A0定理2 若 A0 ， 则矩阵A可逆，且 A-1=1AA*A*=AA-1 其中A*为矩阵A的伴随阵。A是可逆矩阵的充分必要条件是 A0推论 若AB=E或BA=E，则B=A-1方阵的逆阵满足下述运算规律：（i.） 若A可逆，则A-1亦可逆，且A-1-1=A（ii.） 若A可逆，数0，则A可逆，且A-1=1A-1（iii.） 若A，B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且AB-1=B-1A-1分块矩阵的运算法则（i.） 分块矩阵的加法 矩阵的加法（ii.） 数与分块矩阵相乘 数与矩阵相乘（iii.） 分块矩阵与分块矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘（iv.） 分块矩阵的转置:设A=A11A1rAs1As

11、r AT=A11TAs1TA1rTAsrT （v.） 设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A=A1A2As其中Ai(i=1，2，s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵 A=A1A2As克拉默法则 对于n个变量、n个方程的线性方程组a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn如果它的系数行列式D0，则它有唯一解xj=1DDj=1Db1A1j+b2A2j+bnAnj 其中j=1，2，n xj=1DA1jA2jA3jTb1b2b3第三章 矩阵的初等变换与线

12、性方程组定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i.） 对调两行（对调 i，j 两行，记作rirj）；（ii.） 以数k0乘某一行中的所有元素（第i行乘k，记作rik）；（iii.） 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj；把定义1中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把“ r”换成“c”）矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称A与B行等价，记作ArB；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称A与B列等价，记作AcB；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称A

13、与B列等价，记作AB；矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i.） 反身性 AA；（ii.） 对称性 若AB，则BA；（iii.） 传递性 AB，BC，则AC；行最简形矩阵，特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。定理1 设A与B为mn矩阵，那么：（i.） ArB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P；使PA=B；（ii.） AcB的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q；使AQ=B；（iii.） AB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B；推论 方阵A可逆的充分必要条件是ArE行变换三个应用：(1) A，ErB，PPA=BP=BA-1求P(2) A，

14、ErE，PP=A-1(3) A，BrE，XAX=BX=A-1B定义3 在mn矩阵A中，任取k行与k列（km，kn），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的n阶行列式。定义4 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)；并规定零矩阵的秩序等于0定理2 若AB，则RA=R(B)推论 若可逆矩阵P，Q使PAQ=B，则RA=R(B)矩阵秩的基本性质1. 0R(Amn)minm，n2. R(AT)=R(A)；3. 若AB，则RA=R(B)4.

15、若P，Q可逆，则RPAQ=R(A)5. maxRA，RBRA，BRA+R(B)，特别地，当B=b为非零列向量时，有RARA，bRA+16. RA+BRA+R(B)7. RABminRA，RB8. 若AmnBnl=O，则RA+R(B)n定理3 n元线性方程组Ax=b（i.） 无解的充分必要条件是RAR(B，b)（ii.） 有唯一解的充分必要条件是RA=RB，b=n（iii.） 有无限多解的充分必要条件是RA=RB，bn求解线性方程组的步骤（i.） 对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B化成行阶梯形，从B的行阶梯形可同时看出RA和RB。若RAR(B)，则方程组无解。（ii.） 若RA=RB，则进一

16、步把B化成行最简形。而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形。（iii.） 设RA=RB=r，把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1，c2，cn-r，由B或A的行最简形，即可写出含n-r个参数的通解。定理4 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是RA0v. x，y2x，xx，y施瓦茨不等式定义2 令x=x，x=x12+x22+xn2， x n维向量x的长度（或范数）。x=1时，称x为 单位向量 。向量的长度具有下述性质：i. 非负性 当x0时，x0；当x=0时，x=0；ii. 齐次性 x=

17、x；iii. 三角不等式 x+yx+yiv. 当x，y=0时，称向量x与y正交。定理1 若n维向量a1，a2，ar是一组两两相交的非零向量，则a1，a2，ar线性无关；定义3 设n维向量e1，e2，er是向量空间V（VRn）的一个基，如果e1，e2，er两两正交，且都是单位向量，则称e1，e2，er是V的一个规范正交基。a1，a2，ar规范正交化：b1=a1b2=a2-b1，a2b1，b1b1br=ar-b1，arb1，b1b1-b2，arb2，b2b2-br-1，arbr-1，br-1br-1单位化e1=1b1b1，e1=1b1b1，er=1brbr定义4 如果n阶矩阵A满足ATA=E （即

18、A-1=AT）那么称A为正交矩阵，简称正交阵。方阵A为正交阵的充分必要条件是 A的列向量都是单位向量，且两两正交；定义5 若 P为正交矩阵，则y=Px称为正交变换定义6 设A是n阶矩阵，如果和n维非零列向量x使关系式Ax=x成立，那么，这样的数 称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量。特征方程为： Ax=xA- Ex=0A- E=0a11-a12a21a22-a1na2nan1an2ann-=0A- E是矩阵A的特征多项式，记作f()设n阶矩阵A=(aij)的特征值1，2 ，n，不难证明（i.） 1+2+n=a11+a22+ann；（ii.） 12n=A定理2 设1，2，

19、m是方阵A的m个特征值，p1，p2，pm依次是与之对应的特征向量，如果 1，2，m各不相等，则p1，p2，pm线性无关。定义7 设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换。可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。定理3 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。推论 若n阶矩阵A与对角阵=12n相似，则1，2，n即是A的n个特征值。定理4 n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A

20、与对角阵相似。定理5 对称阵的特征值为实数。定理6 设 1，2是对称阵A 的两个特征值，p1，p2 是对应的特征向量。若 12，则p1与p2 正交；定理7 设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使P-1AP=PTAP=，其中是以A的n个特征值为对角元的对角阵。推论 设A为n阶对称阵，是A的特征方程的k重根，则矩阵A- E的秩RA- E=n-k，从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量。对称阵A对角化的步骤：（i.） 求出A的全部互不相等的特征值1，2，s，它们的重数依次为k1，k2ks(k1+k2+ks=n)（ii.） 对每个ki重特征值i，求方程 A- iEx=0的基础解系，得ki个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单位化，得ki个两两正交的单位特征向量。因k1+k2+ks=n，故总共可得n个两两正交的单位特征向量。（iii.） 把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，便有P-1AP=PTAP=。注意中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应。定义8 含有n个变量x1，x2，xn的二次齐次函数fx1，x2，xn=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1，nxn-1xn称为二次型，取aij=aji 则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是fx1，x2，xn=a11x1