人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.3

1、3.三个正数的算术-几何平均不等式,自主预习】 1.三个正数的算术-几何平均不等式(定理3) 如果a,b,cR+,那么 _,当且仅当 _时,等号成立,a=b=c,2.基本不等式的推广 对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们 的几何平均,即 _ ,当且 仅当_时,等号成立,a1=a2=an,即时小测】 1.函数y=2x2+ (xR+)的最小值为() A.6B.7C.8D.9 【解析】选A.因为xR+,所以 当且仅当x=1时等号成立,2.若n0,则 的最小值为() A.2B.4C.6D.8 【解析】选C.因为 所以 当且仅当n=4时等号成立,3.若ab0,则a+ 的最小值为_. 【

2、解析】因为ab0,所以a-b0, 所以 当且仅当(a-b)=b= 时等号成立. 答案:3,知识探究】 探究点三个正数的算术-几何平均不等式 1.不等式 成立时,a,b,c的范围是什么? 提示:a0,b0,c0,2.应用三个正数的算术-几何平均不等式,求最值应注意什么? 提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.求最值时应注意三个条件“一正、二定、三相等”同时具备,归纳总结】 1.定理3的变形及结论 (1)abc . (2)a3+b3+c33abc. (3) 上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c,2.利用定理3可确定代数式或函数的最值 (1)若a,b,cR+,

3、且积abc为定值s时,由a+b+c (定值),当且仅当a=b=c时,和a+b+c有最小值3 . (2)若a,b,cR+,且和a+b+c为定值p时,由abc (定值),当且仅当a=b=c时,积abc有最大值 p3,类型一利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2x 的最大值. 2.求函数y=x+ (x1)的最小值,解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值? 提示:可将式子(1-3x)2x化为 (1-3x)(1-3x)6x 的形式. 2.典例2中如何构造式子,使其积为定值? 提示:可将式子x+ 化为 则其积 为常数,解析】1.因为00, 所以y=(1-3

4、x)2x= (1-3x)(1-3x)6x 当且仅当1-3x=1-3x=6x, 即x= 时等号成立,此时ymax=,2.因为x1,所以x-10, 当且仅当 即x=3时等号成立,即ymin=4,延伸探究】1.若将典例1中的条件变为“y=x(1-x2) (0 x1)”,则如何求y的最大值? 【解析】因为y=x(1-x2),所以y2=x2(1-x2)2= 2x2(1-x2)(1-x2) 当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x= 时,等号成立, 所以y ,ymax=,2.若将典例1条件变为“x,yR+且x2y=4”,如何求 x+y的最小值? 【解析】因为x,yR+且x2y=4, 所以x+y= 当且仅当

5、 =y时等号成立, 又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3,方法技巧】用平均不等式求最值的注意点 (1)应用平均不等式,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”同时具备时,方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等,2)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性,变式训练】 1.如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为2,高为1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,记CD=2x,梯形面积为S,则S的最大值是_,解析】建立如图所示的坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),

6、则B(1,-1),代入抛物线方程可得2p=1,所以抛物线方程为x2=-y,因为CD=2x,所以D(x,-x2,所以梯形的高为1-x2,梯形的面积为S=(x+1)(1-x2), x(0,1), S=(x+1)(1-x2)= (x+1)2(2-2x) 当且仅当x+1=2-2x,即x= 时,S的最大值是 . 答案,2.已知x0,求y= +3x的最小值. 【解析】因为x0,所以y= 当且仅当 即x=2时等号成立.故y= +3x 的最小值为9,类型二利用三个正数的算术-几何平均不等式证明 不等式 【典例】设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+ 【解题探究】典例可分几次使用不等式? 提示:分两次使

7、用不等式,证明】因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3 =3abc0,当且仅当a=b=c时,等号成立.又3abc+ 当且仅当3abc= 时,等号成立.所以a3+b3+c3,方法技巧】证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明. (2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子,变式训练】1.已知x,y均为正数,且xy,求证: 2x+ 2y+3,证明】因为x0,y0,x-y0, 所以2x+ -2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ 等号成立的条件是 =

8、x-y,即x-y=1. 所以2x+ 2y+3,2.(2016哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足 abcd,求证,证明】因为abcd,所以a-b0,b-c0, c-d0,a-d0,所以 = (a-b)+(b-c)+(c-d) 当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即,补偿训练】设a,b,cR+,求证: 【证明】因为 当且仅当c= 时取等号,所以原不等式成立,拓展类型平均不等式在解应用题中的应用 【典例】如图所示,在一张半径是2米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道, 灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小; 挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的,由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度E和电

9、灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比,而和这 一点到光源的距离r的平方成反比.即E=k . 这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎 样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮,解析】因为r= ,所以E= 所以E2= sin2cos4= (2sin2)cos2cos2,当且仅当2sin2=cos2时取等号,即tan2= ,tan= , 所以h=2tan= ,即h= 米时,E最大,此时桌子边缘 处最亮.故当灯的高度为 米时,才能使桌子边缘处最 亮,方法技巧】用不等式解决应用问题的方法 解应用问题的关键是读懂题意,建立适当的函数关系式,把所求问题转化为求函数的最值问题,并将函数式配凑

10、成可以利用平均不等式的形式,变式训练】1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_,解析】设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别 是x,y,z,三角形的面积为S.则S= (3x+4y+5z),又因为 32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S= 34=6, 所以3x+4y+5z=26=12,所以 3x+4y+5z=12,所以(xyz)max= . 当且仅当3x=4y=5z,即x= ,y=1,z= 时等号成立. 答案,2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售 量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系 式y

11、= +10(x-6)2,其中3x6,a为常数,已知销售价 格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克,1)求a的值. (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,解析】(1)因为x=5时,y=11, 所以 +10=11,所以a=2. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2, 3x6,f(x)=2+5(2x-6)(x-6)2 2+5 =42,当且仅当2x-6=6-x,即x=4时等号成立. 当x=4时,f(x)取最大值,且最大值等于42. 答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,自我纠错三个正数的算术-几何平均不等式在求最值中的应用 【典例