概率论与数理统计公式集锦(2011.6.7

1、概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式，古典概型几何概型，其中为几何度量（长度、面积、体积）求逆公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(AB)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式乘法公式 全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）两件事件相互独立；二、随机变量及其分布1、分布函数性质 2、离散型随机变量分布名称分布律01分布二项分布泊松分布3、续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布 分布名称密度函数分布函数指数分布正态分布标准正态分布三、多维随机变量及其分

2、布1、离散型二维随机变量边缘分布 2、 离散型二维随机变量条件分布3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： 密度函数： 5、二维随机变量的条件分布 6、X、Y相互独立四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型：，连续型：2、 数学期望的性质(1) (2) (3) 若X、Y相互独立则：3、 方差：4、 方差的性质(1) (2) (3) 若X、Y相互独立则：5、 协方差：，X、Y相互独立时：6、 相关系数：，X、Y相互独立时：(X,Y不相关)7、 协方差和相关系数的性质(1) (2) 8、 常见随机变量分布的期望和方差分布数学期望方差

3、0-1分布pp(1-p)二项分布npnp(1-p)泊松分布均匀分布正态分布指数分布五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若对于任意有或2、 大数定律：若相互独立，且则：（切比雪夫）若相互独立同分布，且，则：（辛钦）3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为的独立同分布时，当n充分大时有：(2) 拉普拉斯定理：随机变量则对任意x有：(3) 近似计算：六、数理统计的基本概念1、总体和样本总体的分布函数样本的联合分布为2、统计量(1)样本均值：(2)样本方差：(3)样本标准差： (4)样本阶距：(5)样本阶中心距：3、三大抽样分布(1)分布：设随机变量相互独立，且都服从标准

4、正态分布，则随机变量所服从的分布称为自由度为的分布，记为性质：设且相互独立，则(2)分布：设随机变量，且X与Y独立，则随机变量：所服从的分布称为自由度的的分布，记为性质：(3)分布：设随机变量，且与独立，则随机变量所服从的分布称为自由度的分布，记为，性质：设，则七、参数估计1.参数估计(1) 定义：用估计总体参数，称为的估计量，相应的为总体的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）样本均值：或求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数，它的前k阶原点矩中包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，用样本矩代替，在

5、所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数的矩估计量3.点估计中的极大似然估计极大似然估计法：取自的样本，设或， 求法步骤：似然函数： 取对数： 或解方程：，解得：4.估计量的评价标准估计量的评价标准无偏性设为未知参数的估计量。若E(）=，则称 为的无偏估计量。有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有则称为的一致估计量（或相合估计量）。5. 单正态总体参数的置信区间条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为的置信区间已知未知已知未知八、假设检验1.假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。这里所说的小概率事件就是事件，其概

6、率就是显著性水平，通常我们取=0.05，有时也取0.01或0.10。基本步骤1.提出原假设H0；2.选择统计量K；3.对于查表找分位数；4.由样本值计算统计量之值K；将进行比较，作出判断：当时拒绝H0，否则认为接受H0。两类错误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：P拒绝H0|H0为真=； 第二类错误当H1为真时，而样本值却落入了接受域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：P接受H0|H1为真=。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很