2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质(1)学案(含解析)新人教A版必修2

1、2. 3.3 & 234直线与平面、平面与平面垂直的性质fli翌翎第一课时直线与平面、平面与平面垂直的性质1知识点二直线与平面垂直的性质层析教材，新知无师自通提出问题世界上的高楼大厦太多了 ：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)问题1： 上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直.问题2:每列玻璃形成的直线是什么位置关系？提示：平行.导入新知直线与平面垂直的性质定理(1) 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.(2) 图形语言：- 14 -、a丄a(3)符号语言：? a/ b.b a 作用： 线面垂直？线

2、线平行； 作平行线.化解疑难对于线面垂直的性质定理的理解(1) 直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.(2) 定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了 “垂直”与“平行” 关系转化的依据.肩!平面与平面垂直的性质提出问题教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直.问题1:在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？提示：不一定，也可能平行、相交 (不垂直)问题2:怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.导入新知平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 图形语言：(3)符

3、号语言:a丄B ad B = Ia? aa丄I作用： 面面垂直？线面垂直; 作面的垂线.化解疑难对面面垂直的性质定理的理解(1) 定理成立的条件有三个： 两个平面互相垂直； 直线在其中一个平面内； 直线与两平面的交线垂直.(2) 定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.(3) 已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直锁走考向，考题千娈不离其宗线面垂直性质定理的应用例1 如图，已知 AB丄平面ACD DE丄平面ACDA ACD为等边三角形,AD= DE= 2ABF为CD的中点.c求证：平面BCEL平面CDE解证明：取CE的中点G连接FG/ F 为 CD的中点

4、， GF/ DE1且 GF= qDE/ AB丄平面 ACD DEL平面 ACD AB/ DE 贝V GF/ AB1又 AB= 2DE - GF= ABAF/ BG则四边形GFAB为平行四边形于是F为CD的中点, ACD为等边三角形， AFL CDDEL 平面 ACD AF?平面 ACD： DEL AF又 Cm DE= D, CD DE?平面 CDE - AF丄平面 CDE/ BG/ AF, BGL平面 CDE/ B(?平面BCE二平面 BCEL平面CDE类题通法1 此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件 和已知定理来证，或从结论出发逆推分析.2 若已知一条直

5、线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.活学活用如图，在四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD菱形，PBL平面 ABCD(1)若AC= 6, BD= 8, PB= 3,求三棱锥 A-PBC的体积； 若点E是DP的中点，证明：BDL平面ACE解: (1) 四边形ABCD菱形， BD与AC相互垂直平分，1底面 ABC啲面积S菱形abcd= 2 6X 8= 24, SaABC= S菱形 ABCS= 12.又PB丄平面 ABCD且PB= 3,1三棱锥 A-PBO的体积VA-pbc

6、= Vp-PBX Sabc 12.3证明：如图，设 BD与 AC相交于点O连接OEO为BD的中点，E是DP的中点， OE/ PB又PB丄平面ABCD二OEL平面 ABCD BC?平面 ABCD： OEL BD由(1)知 ACL BD 又 A8 OE= Q BDL平面 ACE面面垂直的性质的应用是垂四边形ABCD其所在平面G是AD的中点，贝U PGLAD例2如图所示，P是四边形ABC所在平面外的一点, / DAB= 60,且边长为 a的菱形侧面 PAD为正三角形, 直于底面ABCD(1) 若G为AD边的中点，求证：BGL平面PAD(2) 求证：ADL PB解证明：(1)连接PG由题知 PAD为正

7、三角形,又平面 PADL平面 ABCD PG 平面PAD PGL平面 ABCD/ B(?平面 ABCDPGLBG又四边形ABCD是菱形，且/ DAB= 60, ABD是正三角形.贝U BGLAD又 ADA PG= G,且 AD PG 平面 PAD BGL平面 PAD(2)由(1)可知 BGL AD PGL AD又 BG PG为平面PBG两条相交直线, ADL平面 PBG/ PB?平面 PBG二ADLPB类题通法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证 明线面垂直的问题时，要注意以

8、下三点:(1) 两个平面垂直；(2) 直线必须在其中一个平面内；(3) 直线必须垂直于它们的交线.活学活用ABEF如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形 ABCD所在平面互相垂直，=2AD= 2CD= 4,/ ABE= 60,/ BAD=Z CDA= 90，点 H 是线段的中点.(1)求证：平面 AHCL平面BCE(2)求此几何体的体积.解： 证明：连接 AE在菱形ABE冲，因为/ ABE= 60, 所以 AEF是等边三角形.又因为H是线段EF的中点，所以AHL EF所以AHL AB因为平面ABEL平面ABCD 且平面ABEfR平面ABC母AB 所以AHL平面 ABCD所以AHL BC在直角梯形

9、 ABCD中, AB= 2AD= 2CD= 4,/ BAD=/ CDA= 90,得到 AC= BC= 2 2, 从而 AC+ bC = aB,所以 ACL BC 又AHn AC= A,所以BCL平面 AHC 又BC?平面BCE所以平面 AHC_平面BCE 连接 FC,因为 V= Ve-acb+ Vf-adc+ VAEF, 又易得ACB= 4 , & ADC= 2 , & AEF= 4乜3 ,所以 V= V- ACB V- ADC+ V AEF= 3(2 ,3 X 4+ 2 ,3X 2+ 2X4 .3)3线线、线面、面面垂直的综合冋题例3 已知：如图，平面 PABL平面ABC平面PACX平面AB

10、C AE!平面PBC E为垂足.(1) 求证：PAL平面 ABC(2) 当EPBC的垂心时，求证： ABC是直角三角形.解 证明： 在平面ABC内任取一点 D,作DF丄AC于点F,作DGL AB于点G 平面PACL平面ABC且交线为 AC DFL平面PAC PA?平面 PAC - DFL PA同理可证，DGL PA/ DGH DF= D, PAL平面 ABC(2)连接BE并延长交PC于点H/ E是厶PBC的垂心, PCL BH又 AE是平面PBC的垂线， PC丄 AE/ BHn AE= E,. PC丄平面 ABE - PC丄 AB又 PA!平面 ABC - PAI AB/ PAn PC= P,

11、 AEI平面 PAC AB丄AC,即厶ABC是直角三角形.类题通法线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想证明线面垂直常转化为线 线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直.活学活用如图，在三棱锥(1)求证：EF/平面PAB若平面PAC_平面ABC且PA= PC / ABC= 90,求证：平面 PEFL平面PBC证明：(1) E, F分别为AC BC的中点， EF/ AB又EF?平面PAB AB?平面PAB EF/平面 PAB-P2 PC E为AC的中点， PE! AC又平面PACL平面ABC PE1平面 ABC - PEL BC又 F为BC的中点， EF/ AB/ ABC= 90,二

12、BCL EF/ EFn PE= E,. BCL平面 PEF又 BC?平面PBC平面PBCL平面PEF储补短檢.拉分題一分不丢BD5.垂直性质定理应用的误区典例 已知两个平面垂直，有下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直 线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 0解析 如图，在正方体 ABCDABCD中，对于AD?平面AADD, ?平面ABCD AD与BD是异面直线，所成角为 60。，错误；正确.对于

13、，AD?平面AADD,AD不垂直于平面ABCD对于，过平面 AADD内点D作DC/ ADL平面 DDCC DC?平面 DDCC ADL DC.但DC不垂直于平面ABCD错误.答案C易错防范对于，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内.成功破障如果直线I , m与平面a ,之间满足:I = 3门丫，I / a ,R?a 和n丄丫，那么A. a丄丫且I丄mB.丫且 mil 3C.m/3 且 I 丄 mD.a /3 且 a丄丫答案

14、：Aii固囲随堂即时演练i .下列命题中错误的是（）A.如果平面丄平面3，那么平面a内一定存在直线平行于平面3B.如果平面不垂直于平面 3，那么平面 a内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面丄平面丫，平面3丄平面丫 ,a n 3 =I，那么I丄平面D.如果平面丄平面3，那么平面a内所有直线都垂直于平面3答案:C.设a ,3为不重合的平面，1m n若a ,n? 3 ,m/n,贝Ua /若门丄a ,n 丄 3 , rL 3 ,贝 UnL若 m/ a ,n / 3 ,nL n,贝 Ua丄若 a L 3,n丄 3 , nL n,则nLDA.3B.a3D.aB2.为不重合的直线，则下列命题正确的是答案:

15、3 .若a, b表示直线（不重合），a表示平面，有下列说法： al a , b/a丄b；a丄 a , a丄b? b/ a ；a/ a , alb? bL a :al a , bl a ? a / b.其中正确的是序号）.答案：4 .平面a丄平面3 , a n 3 = I , n? 3 ,门丄1，直线 mL a，则直线m与n的位置关系答案：平行5.如图，正方形ABC刖四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF/ AC AB= . 2, CE= EF= 1,求证：CF丄平面BDE证明：如图，设 ACA BD= G,连接EG FG由 AB= ,2易知 CG= 1,贝U EF= CG= CE又EF/ CG

16、所以四边形CEFG为菱形，所以CF丄EG 因为四边形ABCD为正方形，所以BDLAC又平面 ACE丄平面 ABCD且平面ACER平面ABC母AC所以BDL平面 ACEF所以BDL CF 又BDR EG= G,所以CFL平面BDE课时达标检测一、选择题1.若I , m n表示不重合的直线，a表示平面，则下列说法中正确的个数为（） I / m, m/ n, I 丄 a ?nLa； I / m, mL a , nLa ? I / n； mL a , n? a ? mL n.A. 1B. 2C. 3D. 0答案：C2 .如果直线a与平面a不垂直，那么平面 a内与直线a垂直的直线有（）A. 0条B. 1

17、条C.无数条D.任意条答案：C3 .（浙江高考）设I是直线，a , 3是两个不同的平面（）A. 若 I / a , I / 3 ,贝U a / 3B. 若 I / a , I 丄 3,贝 V a L 3C. 若 a L 3 , I La,U9 I L 3D. 若 a L 3 , I / a ,贝V I L 3答案：B4 .已知平面 a丄平面3 , a R 3 = I，点A a , A?I，直线 AB/ I，直线 ACL I，直线m/ a , m/ 3 ,则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. AB/ mB. ACL mD. ACL 3C. AB/ 3这答案：D5.如图，线段AB的两端在直

18、二面角a -I- 3的两个面内,两个面都成30角，则异面直线 AB与I所成的角是（）A. 30B. 45D. 75C. 60答案：B、填空题6.如图，已知平面 a Cl平面3 = I , EAL a，垂足为A, EBL 3 , 垂足为 B,直线a? 3 , a丄AB则直线 a与直线I的位置关系是答案：平行 7.如图，四面体 P-ABC中, PA= PB= 13,平面PABL平面 ABCABC- 90, AO 8, BO 6PO.答案：78. 如图，已知六棱锥F-ABCDE的底面是正六边形，PA!平面ABCPA= 2AB则下列结论： P吐AE; 平面 ABCL平面PBC 直线BC/平面PAE Z PDA= 45.其中正确的有（把所有正确的序号都填上）答案：三、解答题9. 如