2009年全国高中数学联合竞赛一试

1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1 若函数且，则 【答案】【解析】 ，故2 已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 【答案】【解析】 设，则圆心到

2、直线的距离，由直线与圆相交，得解得3 在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 【答案】【解析】 由题意知 4 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 【答案】【解析】 设显然单调递减，则由的最大值，可得5 椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 【答案】【解析】 设，由，在椭圆上，有 得于是当时，达到最小值6 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 【答案】 或【解析】当且仅当对由求根公式得， 或()当时，由得所以，同为负根又由知所以原方程有一个解()当时，原方程有一个解()当时，由得所以，同为正根，且，不合题意，舍去综上可得或为所

3、求7 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】【解析】 易知：()该数表共有100行；()每一行构成一个等差数列，且公差依次为，()为所求 设第行的第一个数为，则 故8 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27【解析】 旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题1 （本小题满分14分）

4、设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由【解析】 由消去化简整理得设，则 4分由消去化简整理得设，则 8分因为，所以，此时由得所以或由上式解得或当时，由和得因是整数，所以的值为，当，由和得因是整数，所以，于是满足条件的直线共有9条14分2 （本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和【解析】 方法一：()由韦达定理知，又，所以，整理得令，则所以是公比为的等比数列数列的首项为：所以，即所以当时，变为整理得，所以，数列成公差为的等差数列，其首项为所以于是数列的通项公式为；5分当时， 整理得，所以，数列成公比为的等比数列，其首项为所以于是数列的通项公式为10分()若，则，此时由第()步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以15分方法二：()由韦达定理知，又，所以，特征方程的两个根为，当时，通项由，得 解得故 5分当时，通项由，得 解得，故 10分()同方法一3 （本小题满分15分）求函数的最大和最小值【解析】 函数