北师大版七年级下数学学习笔记

1、第一章整式的运算11整式学法导引 整式是代数式中最基本的式子，通过实例去感受生活中常常用到的单项式、多项式，在列代数式的基础上，学会自己归纳各个概念的特征，会加深对概念的理解和运用要点精讲 1重点：单项式、多项式、单项式的系数和次数、多项式的次数及各项系数的概念；准确地找出单项式的系数和次数、多项式的次数及各项系数；明确这些概念之间的区别和联系，单独的一个字母或数也是单项式 2难点:确定单项式的系数、次数，多项式的项、次数。 3易错点：单项式的系数是负数或分数时，漏掉“”号或分母；在计算多项式的次数时，把各项的次数 加起来作为次数，或把系数与次数的概念混淆精典例题解析重点 例1求下列各单项式的

2、系数及次数、多项式的次数及各项系数 解析在求单项式次数时，注意两点：（1）单独一个数次数为0；（2）次数为所有字母的指数和.在求多项式的次数时，先求多项式中每一项的次数，再取这些次数中的最高次数作为多项式的次数 答案剖析难点 解析第一项的次数为213次、第二项的次数为1124次、第三项的次数为1次，第四项的次数为0次点击易错点 错解分析（1）把系数的分母丢掉、错把c的次数当成0 （2）第一项的次数是2，第二项的次数是1，第三项的次数为0，2103从而得到多项式的次数为3，错在不能把各项次数相加，能力升级综合能力升级 单项式次数的逆向思维与方程综合运用可培养学生逆向思维的能力 答案由题意知：m2

3、6，m4 所以方程mx2m2，即4x812， 解得x112整式的加减学法导引 在七年级上册学过的合并同类项、去括号的基础上去学习整式的加减，应通过自己的总结、归纳，认识到整式的加减实质就是合并同类项，有括号的应先去括号，然后再合并同类项要点精讲 1重点：整式加减的法则的应用掌握好整式加减的运算，首先掌握好同类项的概念，其次正确的合并同类项，运算时必须讲究算必有据，以理驭算 2难点：（1）括号前是“”号的去括号时，括号里的每一项必须改变符号；（2）括号前有因数的先利用分配律将该数乘以括号里的每一项再去括号，预防发生符号错误 3易错点：（1）去括号时，括号前面是“”号，去掉“”号和括号后，只改变第

4、一项的符号，其他项没有变号；（2）合并同类项时出现找错、漏找同类项，或是系数相加减时出现错误精典例题解析重点【例1】求下列各整式的和 解析解答此类题必须做到以下几点：（1）根据题意列出代数式；（2）会去括号；（3）会合并同类项剖析难点 解析后面个括号前面有系数2，并且2的前面是负号，计算这类题，要先利用分配律，再去括号 点拨遇到这类的题，最好先用分配律点击易错点 错解分析将去括号与做乘法同时进行，结果顾此失彼在计算这类题时，应先用分配律，把括号前面的数与多项式的每一项都相乘之后，再去括号然后合并同类项能力升级综合能力升级 将整式的加减与绝对值、完全平方式综合运用应用创新能力升级 要通过汁算回答

5、，不能想当然【例5】在个直径为d的地球仪的赤道圈上用铁丝打个箍，假设地球的赤道也是个圆，在地球的赤道上也有个铁箍，现将两个铁箍的半径都增加1米，小明认为地球比地球仪大得多，所以赤道上铁箍的半径增加1米比地球仪上的铁箍半径增加1米需要增加的铁丝多得多，你认为这个说法正确吗？请说明理由 答案不正确13同底数幂的乘法学法导引 注意同底数幂的乘法法则是如何归纳总结和证明的，在新旧知识的类比中加深对幂的意义和乘法意义的理解与应用，同时要防止把幂的乘法法则性质与整式的加法相混淆，为后面学习整式乘法打好基础要点精讲 1重点：同底数幂的乘法法则是同底数幂相乘，底数不变指数相加，掌握好此法则的关键要注意公式左右

6、特征，此公式要会逆用，法则的推广，底数即可以是单项式，也可以是多项式，三个或三个以上法则也适用 2难点：法则的正确运用及灵活运用，灵活运用包括法则的推广、法则逆用和法则的迁移 3易错点：把法则记错、符号问题及幂的乘法运算与整式的加法相混淆，乘法只要求同底数就可用性质计算，而加法不仅要求底数相同，而且指数也必须相同精典例题解析重点剖析难点点击易错点 错解分析错误原因都是本节的法则掌握的不准确能力升级综合能力升级 同底数幂的乘法与前面学过的整式的加减综合运用 解析此题是两个幂之积的和，在加号前面的两个幂是同底数的幂，可直接根据法则计算；在加号后面的两个幂也可看作是底数相同的幂，因为（2x1）（1）

7、（2x1）应用创新能力升级 逆用同底数幂的乘法法则，可对一些较大的数比较大小 解析解决此类问题的方法是化成几个数的乘积的形式，使其中的某个因数相同比较另外的因数的大小，就可比较出原数的大小14幂的乘方与积的乘方学法导引 运用观察归纳总结的方法得到幂的乘方的法则、积的乘方的法则，连同上一节的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据，在计算时注意符号，避免运算法则发生混淆要点精讲 两个公式中的底数，可以是一个数或一个字母，也可以是一个多项式，两个公式都可以逆用，简化计算. 2难点：两个法则的灵活运用和逆用 3易错点：（1）幂的乘方法则用错，与同底数幂乘

8、法法则混淆 （2）积的乘方法则用错精典例题解析重点部析难点 点拨计算时要注意运算顺序和正确运用相关的运算法则，要综合运用幂的三种运算法则，计算时一定要认真仔细，正确运用法则点击易错点 错解分析（1）错的根本原因没有真正理解幂的乘方的含义，将幂的乘方与同底数幂的乘法法则混淆，幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算；同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算（2）乘积中的因式b没有乘方能力升级综合能力升级 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整式加减综合运用应用创新能力升级 逆用同底数幂的乘方法则、乘法的运算律，可求某些式子的值15同底数幂的除法学法导引 要善于进行多尝试、多观察，通过自己计算并归纳出同底数

9、幂的除法法则，利用特殊情况得到零指数幂和负指数幂的意义，多发现问题并主动寻找解决问题的方法要点精讲 底数a若为零，则除数为零除法就没有意义了，公式后面的条件是法则的一部分，不要漏掉，应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么然后再按同底数幂除法法则进行计算，单独一个字母，其指数为1，而不是0； （3）指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂以后，幂的4种法则仍然适用；（4）幂的4条运算法则对负整数指数幂仍然适用 2难点：准确、熟练地运用法则进行同底数幂的除法运算；对负整数指数的意义的理解 3易错点：（1）指数的运算混乱，底数不变，指数相减误认为指数相除； （2）运算顺序出现错误； （3）在应用

10、零指数幂和负指数幂的规定时出错； （4）逆用法则时出错精典例题解析重点 解析此题需用同底数幂的除法法则进行计算，先转化成同底数的幂，再运用法则点击易错点 错解分析 （1）错在指数不是相除而是相减； （3）错在运算顺序上，同级运算不能跳着运算，而应自左向右依次运算能力升级综合能力升级 同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方的综合运用应用创新能力升级 在一个式子中用幂的运算法则求多个字母的值16整式的乘法学法导引 运用不同方式自主探索、自主发现、自主体验三类整式乘法的运算法则，达到真正理解法则的来源及实质对于法则并能用自己的语言进行描述，明白多项式乘以多项式可转化为单项式乘以多项式，而

11、单项式乘以多项式则可以化为单项式乘以单项式要点精讲 1重点：三类整式乘法的法则理解三者之间的转化思想方法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式单项式乘法中若有乘方，乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行 单项式与多项式相乘的法则：m（abc）mambmc，即单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加单项式乘以多项式转化成单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，多项式中每一项都包含它前面的符号 多项式乘以多项式的法则：（mn）（ab）m（ab）n（ab

12、）mambnanb，即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘多项式先转化成单项式乘以多项式，运算结果中有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列 2难点：灵活运用整式的乘法法则 运用单项式乘以单项式法则实际上把单项式的乘法变成了有理数的乘法和同底数幂的乘法运算 运用单项式乘以多项式的法则：法则中的“每一项”都包括它前面的符号；单项式乘以多项式其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，计算时不要漏乘项；混合运算应注意运算顺序，最后结果中不允许有同类项 运用多项式乘以多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时，按一定顺序进行，多项式与多

13、项式相乘的结果仍是多项式，在未合并同类项之前，积的项数为两个多项式的项数之积 3易错点：（1）使用运算法则错误及运算顺序错误 （2）计算中的符号问题和丢项问题精典例题解析重点 点拨（1）计算时要注意系数符号，利用单项式乘法法则，转化为同底数幂的乘法（2）把多项式乘以单项式转化为单项式乘以单项式注意符号和不要漏乘（3）多项式的每一项都包括它前面的符号，最后结果中应不含同类项剖析难点 解析题中的系数化成假分数计算比较方便 点拨不要漏掉任何一项，特别是当常数项是1时不要漏乘点击易错点错解分析（1）题漏掉了只在一个单项式里出现的字母z （2）忽略了符号能力升级综合能力升级 把整式乘法与解方程知识综合运

14、用，可求出能化为一元一次方程的解 点拨应用整式乘法法则先去括号，然后再合并同类项，再按照解一元一次方程的步骤求出方程的解应用创新能力升级 利用长方形面积公式与多项式的乘法建立某些字母间的关系式例5在一块长为30米，宽为20米的长方形场地上建造一个游泳池，使四周人行道的宽都是x米，请用含x的代数式表示游泳池的面积y 答案由题意知游泳池的长为（302x）米，宽为（202x）米， 点拨通过画出图形，使条件更加直观，从而正确写出长与宽的表达式17平方差公式学法导引亲身经历探索平方差公式的过程，善于总结规律，并尝试用语言描述这个规律掌握公式的结构特征，理解平方差公式的实质是多项式乘法的特殊化，同时注意应

15、用交换律，从中感受实践理论实践要点精讲公式左边：因式的两个特征两个因式均是二项式，这两个因式中一项相同，另一项互为相反数；公式右边：它是相同项的平方与相反项的平方的差的形式，前后位置不能颠倒；公式中a、b具有广泛性，可以表示一个数、一个单项式、一个多项式2难点：判断是否符合公式的形式，从而正确地运用公式计算，判断时注意两个因式中一项完全相同，而另一项互为相反数这一显著特征；公式的逆用3易错点：(1)对公式结构不熟悉，在运用公式时不知哪项相当子公式中的a，哪项相当于公式中的b(2)出现错用公式的现象精典例题解析重点例1计算：(1)(2x3y)(2x3y)； (2)题中相同项是3x，相反项是b与b

16、及2与2，在第一个因式中把b与2结合，第二个因式中，把b与2结合，原式变为3x(b2)3x(b2)能力升级综合能力升级对于些复杂计算，要多观察发现题的特点，恰当的运用公式解析直接计算繁琐，观察连乘积的每个因式，从第二个因式起每个因式均为2的偶次幂与1的和，注意到211，用1乘原式值不变，这样构造出个因式(21)后可连续使用平方差公式计算18完全平方公式学法导引 和平方差公式一样，完全平方公式也是由两个特殊的多项式相乘得到的结论通过几何图形用观察、变化总结的方法得出完全平方公式，明确它的结构特征，并与平方差公式的结构特征进行比较，分清它们的异同要点精讲 1重点：完全平方公式及其运用完全平方公式：

17、 完全平方公式的结构特征：公式左边为两数和（或差）的平方；公式右边为三项：左边两数的平方和加上（或减去）左边两数之积的2倍特别注意：符号对应关系；a、b具有一般性，它可以表示单项式、也可以表示多项式 精典例题 解析重点例1运用完全平方公式计算： 点拨当所给二项式中两项的符号相同时，选用“和”的完全平方公式当所给二项式中两项符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式 剖析难点 解析（1）题先运用平方差公式，再运用完全平方公式 点拨本题综合运用了幂的性质、平方差公式与完全平方公式 点击易错点 错解分析（1）错解一错在误把（2a3b）看作是“两数之差”，运用了“差”的完全平方公式进行计算，导致乘积项的

18、符号出错；另一种错在结果中乘积项漏乘“2”（2）错在第二步中的两个二项式完全相同，因此应用完全平方公式，而不能用平方差公式 能力升级 综合能力升级 利用公式变形可直接求某些代数式的值例4已知：xy8，xy4，求xy值 点拨可以不求x、y值，可用公式变形直接求出xy值 应用创新能力升级 对于题目较长的问题，多读题，仔细分析，问题便可迎刃而解了例5两个边长为a（a2）厘米的正方形，如果其中一个正方形的边长增加了2厘米，另一个正方形的边长减少了2厘米，请问这两个正方形面积的和有何变化?如有变化，请算出面积和增加（或减少）了多少?如果没有变化，说明为什么? 第二章平行线与相交线 21台球桌面上的角 学

19、法导引 互为余角、互为补角都是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关，理解和掌握余角、补角的性质对今后的学习很重要，对顶角是常见的几何图形，对顶角的性质在以后的几何学习中经常用到，要应用对顶角的性质，首先要理解，掌握对顶角的概念，通过辨析，认识对顶角 要点精讲 1重点：掌握互余、互补及对顶角的概念及其特征 2难点：概念的理解和如何将理论和实际相结合，即怎样正确的运用 3易错点：例如认为“1+2+3180，则1，2，3互为补角”是正确的，概念模糊，对对顶角的特点掌握不清楚 精典例题 解析重点 【例1】如图211，O是直线AB上一点，AOEFOD90，OB平分COD，图中与DOE互余的角有哪些？

20、与DOE互补的角有哪些？并说明理由 解析既要寻找与DOE相邻的角，又要注意不相邻的角 答案图中与DOE互余的角有EOF、BOD、BOC（1）FOD90， DOEEOF90； （2）AOEBOE180，AOE90， BOE90 DOEBOD90（3）OB平分COD， BOCBOD BODDOE90， BOCDOE90 图中与DOE互补的角有BOF，COE（1）AOEDOF， AOFEOFDOEEOF， AOFDOE, AOFBOF180， DOEBOF180；（2）BOCDOEEOFDOE90， BOCEOF， BOCBOEEOFBOE， COEBOF DOE+BOF180， DOE+COE18

21、0 剖析难点 【例2】如图212，AB与CD相交于点O，OE平分AOD，AOC120，求BOD、AOE的度数 解析BOD与AOC是对顶角，可得BOD度数，由于AOD与AOC互补，可知AOD度数，又OE平分AOD，可得AOE度数 答案BOD与AOC是对顶角，根据对顶角相等，可知BOD120 点击易错点 【例3】如图2l3，1和2是对顶角的图形个数有（） A1个 B2个 C3个 D4个 错解选B 错解分析选择B的原因是把图（2）中的1、2当成了对顶角 正解选A 能力升级 综合能力升级 余角、补角知识与方程（组）知识相结合 应用创新能力升级 利用余角、补角的知识解决“测建筑物高度”问题 【例5】雨后

22、初晴，小明站在操场上点B的位置，看到大楼CD的顶部C在水泡E中的像（点B、E、D在同一直线上）已知12，A+290，l35，求A的度数（如图214）22探索直线平行的条件 学法导引 识别同位角、内错角、同旁内角关键抓住“三线八角”，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角 判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此推出哪两条直线平行 要点精讲 1重点：掌握同位角、内错角、同旁内角在图形中的位置 2难点：能正确识别同位角、内错角、同旁内角，因为它是识别平行线的基础，平行线是在以后的学习中经常出现的知识，它的识别对将来的学习有很大作用 3易错点：对同位角、内错角、同旁内

23、角的实质和特征掌握不熟 精典例题 解析重点【例1】在下列图形中（如图221），1和2是同位角的是（） A B C D 解析同位角、内错角、同旁内角的形成，都是由两条直线被第三条直线所截得到的，两个角应有一条边在同一直线上，都具备同位角的特征，而中的1与2不具备同位角的特征 答案应选C 剖析难点【例2】如图222标有角号的8个角中共有同位角、内错角、同旁内角各几对？请分别写出来 答案同位角2对：1和3、5和8 内错角2对：3和6、4和7 同旁内角7对：1和8、2和3、2和7、3和7、4和5、4和6、5和6 点拨在图中角的个数较多的情况下，寻找同位角、内错角、同旁内角易发生遗漏为避免遗漏，在寻找的

24、过程中，应遵循先从最小数字的角开始，把与它有关的角都找出来；例如从1开始，把与它有关的角3与它是同位角；8与它是同旁内角，然后再去找与2有关的角，依次类推，就不会遗漏了 点击易错点例3如图223，1和2，3和4是内错角，问是哪两条直线被哪一条直线所截的？ 错解1和2是AD与BE被AC所截的内错角 3和4是AB与CD被BD所截的内错角 错解分析错解的原因是弄错了被截直线，具体找法：1和2公共边所在直线AC是截线，其余两边AB和CD是被截的两直线，3和4的截线是BD，被截两线是AD和BC 正解1和2是AB与CD被AC所截的内错角，3和4是AD与BC被BD所截的内错角 能力升级 综合能力升级 既能正

25、确识别同位角、内错角、同旁内角，又能正确运用平行线的三条判定定理例4如图224，回答下列问题： 由C2，可以得出哪两条直线平行？并说明理由 由23，可以得出哪两条直线平行？并说明理由 由DC180，可以得出哪两条直线平行？并说明理由 答案由2C，可得DCEF，理由是同位角相等，两直线平行； 由23，可得EFAB，理由是内错角相等，两直线平行； 由DC180，可得ADBC，理由是同旁内角互补，两直线平行 应用创新能力升级 把两角关系转化成同位角、内错角、同旁内角的关系例5如图225，直线a、b都与直线c相交，147，2133，能判定ab吗？说明理由 解法112180，23180， 13， ab

26、解法23180247， 5147， 35， ab 解法3 3180247， 41801133， 34180， ab23 平行线的特征 学法导引 本节应对照平行线的判定去学习，比较性质、判定之间的联系与区别更利于记忆和运用 要点精讲 1 重点：掌握平行线的三个特征及它们的综合运用 2 难点：运用的过程中易与它的判定产生混淆 3 易错点：分不清条件结论，平行线的性质和判定相混淆 精典例题 解析重点【例1】 如图231，已知直线ab，直线cd，1105，求2、3的度数 解析 由ab,可得12从而求得2105，又由cd，可得32从而求得3105 答案 ab（已知）， 21（两直线平行，内错角相等） 又

27、 1105（已知）， 2105 cd（已知）， 32（两直线平行，同位角相等） 3105 剖析难点【例2】 如图232，已知172，272，360，求4的度数 解析 本题是平行线的性质和判定的综合运用，由12可得出ab，再由平行线的性质及对顶角相等可得出34 答案 172，272，（已知） 12（等式的性质）， ab（同位角相等，两直线平行） 35（两直线平行，同位角相等）， 45（对顶角相等）， 34（等量代换）， 360（已知）， 460（等式性质） 点击易错点【例3】 同位角一定相等吗？ 错解 相等 错解分析 同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两角之间的位置关系它们没有确定的数量关系如图2

28、33，l与2是同位角，但它们不相等只有在两条平行线被第三条直线所截的前提下，同位角才相等同样也只有在这个前提下，内错角相等，同旁内角互补 正解 不一定相等 能力升级 综合能力升级 不仅要熟悉图形、性质，还要善于进行等量转化，把待求的角逐步和已知条件建立联系 【例4】 如图234，已知DEBC，DDBC21，12，求DEB的度数。 答案 DEBC（已知）， DDBC180（两直线平行，同旁内角互补） 又 DDBC21（已知）， DBC60 DBC12且12（已知）， 130 DEBC（已知）， 1DEB（两直线平行，内错角相等）， DEB30 应用创新能力升级 平行线与生活中的镜面反射相联系 【

29、例5】 如图235，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时 l2，34 （1）1、3的大小有什么关系？2与4呢？ （2）反射光线BC与EF也平行吗？ 答案 （1） ABDE（已知）， 13（两直线平行，同位角相等） 12，34， 24（等量代换） （2） 24（已证）， BCEF（同位角相等，两直线平行）24用尺规作线段和角学法导引学习本节知识要认真观察老师怎样用直尺与圆规画图，同时自己要注意动手练习，另外本节作图要熟悉已知、求作、作法的表述要点精讲1重点：会用尺规作一条线段等于已知线段，一个角等于已知角2难点：正确掌握尺规作图的方法精典例题解析重点【例1】已知AOB，利用尺规作

30、AOB ，使AOB ，2AOB解析按照尺规作图的要求要有已知、求作、作法（目前作法不要求规范的书写）此例方法不唯一，可以在已知AOB的基础上以射线OB为一边再作一个角等于已知角，也可以另外作一个角是AOB的2倍答案已知：AOB（如图241）求作：AOB 使AOB 2AOB方法：作法（1）以O为圆心，任意长为半径画弧交OA于A，交OB于C点（2）以C为圆心，AC长为半径画弧交前弧于点B（3）过点B作射线OB，AOB 即为所求方法二作法：（1）作射线OA（2）（如图242（1）以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D（3）（如图242（2）以O为圆心，以OC长为半径画弧交OA于C点

31、（4）以C为圆心，以CD为半径画弧交前弧于E点，接着以E为圆心，同样长为半径再画弧交前弧于B点（异于C点）（5）过点B作射线OBAOB 即为所求（如图242（2）所示）剖析难点【例2】已知线段a、b（ab），如图243，求作一条线段c，使c2ab作法作射线AE在射线AE上顺次截取ABBCa，在线段AC上截取CDb，线段AD即为所求（如图244）点击易错点【例3】如图245，以B点为顶点，射线BC为一边，利用尺规作EBC，使得EBCA，EB与AD一定平行吗？错解平行错解分析得到平行这个错误结论是因为作出的EBCA是如图246（1）这种情况，实际以BC为一边，EBC也可以在射线AB的下方，这时EB

32、和AD是不平行的正解此题EBC有两种情况，正确作法如图246（2），EB不一定与AD平行EBC与FBC都是所求与A相等的角能力升级综合题作一个角等于已知角与作垂线知识相联系【例4】已知1，请你用三角尺和圆规在作图区画出1的余角作法如图247所示利用三角板画出直角，这样就出现了1的余角在作图区画出一个角等于这个1的余角，则AOB即为所求应用创新题怎样在长方形木板上截一个平行四边形【例5】如图248，要在长方形的木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB请过C点画出与AB平行的另一条边（1）以A为圆心，任意长为半径画弧交AC于点E，交AB于点G（2）以C

33、为圆心，AE长为半径画弧交AC于点F（取F在C的右侧）（3）以F为圆心，GE长为半径画孤，交前弧于H点（4）过H点作射线CH，得到线段CD，线段CD即为所求点拨尺规作图要保留作图痕迹第三章生活中的数据31认识百万分之一学法导引 感受现实生活中存在许多很小的数，把很小的数据与身边熟悉的事物联系起来，并将不熟悉的数据与熟悉的数据进行比较，特别注意单位之间的换算要点精讲 1重点：感受较小的数，掌握用科学记数法表示一个数的方法 即a的整数部分只有1位数，n的取值分两种情况：（1）当它表示绝对值大于1的数时，n为非负整数且其值等于这个数的整数部分的位数减去1；（2）当它表示绝对值小于1的数时，n为负整数

34、且其绝对值等于这个数的非零数位前面所有零的个数（包括小数点前面的零） 2难点：通过测量、计算能对含有较小数字的信息作出适当的估计，正确地用科学记数法表示较小的数 3易错点：在用科学记数法表示绝对值较小的数时，常会出现以下错误：（1）n的正、负写错了；（2）a的值不在110之间；（3）把小数点前面的零忽略了精典例题解析重点【例1】1 nm0. m，则2.5 nm用科学记数法表示为（） 答案B剖析难点【例2】0.这个数，用科学记数法表示为（） 答案B 点拨绝对值较小的数用科学记数法表示数的性质不变，同时注意a，n的取值点击易错点【例3】用科学记数法表示：（1）；（2）0. 错解分析（1）对科学记数

35、法的定义理解不透彻，负数写成了正数；n的正、负取错了（2）a的取值错误，不在1a10的范围内32近似数和有效数字学法导引 认真观察、实验、动手测量，认识到测量结果都是近似的，从而感受近似数是客观世界中必然存在的，通过具体实例体会有效数字、深刻理解有效数字的意义要点精讲 1重点：知道近似数包含几个有效数字，会按要求取一个数的近似数 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，四舍五入的近似数，从左边第一个不是零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字 取一个数精确到某一位的近似数时，应对紧邻“某一位”后面的第一个数字进行四舍五入，而对后面的数字不应去考

36、虑，近似数的精确程度与所给出的数位有关 2难点：（1）按要求合理地对一个数四舍五入取近似值（2）对较大的数的有效数字的确定精典例题解析重点【例1】下列各数是近似数，指出它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ 答案（1）4.56精确到百分位，有4、5、6三个有效数字； （2）0.00340精确到十万分位，有3、4、0三个有效数字； （3）38.6万精确到千位，有3、8、6三个有效数字； （4）3.23105精确到千位，有3、2、3三个有效数； （5）0.45亿精确到百万位，有4、5两个有效数字 点拨理解有效数字的意义：从左边第一个不为零的数字算起，到最末一位止，（2）小题中0.00340最后一

37、个0是有效数字；用万、亿等作单位的要还原成一般的表示再看精确到哪一位（3）小题中的38.6万应写成再看最末一位6在什么位上就是精确到那位，用科学记数法表示的数也如此剖析难点【例2】用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值： （1）3.12345（精确到0.001）；（2）（精确到万位）； （3）0.01268（精确到百分位）；（3）（保留两个有效数字）； （5）0.00369（保留两个有效数字） 答案（1）3.123453.123； （2）4.567891054.6105； （3）0.012680.01； 点拨四舍五入法是根据要求精确到哪一位，对它的下一位数字决定是入还是舍，（1）小题中

38、由4决定舍，（5）小题中由9决定入，对较大的整数进行处理时，要先将其写成科学记数法的形式，再进行四舍五入点击易错点【例3】（1）近似数1.600有哪几个有效数字； （2）用四舍五入法求1.549的近似数（保留两个有效数字）； 错解（1）1.600有三个有效数字； （2）1.5491.6； 错解分析（1）题1.600后面的两个0，它们都是有效数字，不能漏掉其中一个 （2）题错在先由9进1前面的4变成5，而5进1前面的5变成了6，得到了1.6，而由近似数的定义知1.549要保留两个有效数字，只要看第3个，数字是否够5，与第四位数字无关系33世界新生儿图学法导引 主动尝试从统计图中获得更多信息，主动

39、与同伴进行合作、探讨、交流，交流时要能认真倾听同伴讲解、并得到启发，又能向同伴清晰地表达自己的看法，共同提高要点精讲 1重点：从统计图中尽可能多的获取信息、作出合理的判断、预测 2难点：设计、制作适当的统计图、形象、生动地反映统计出的数据 3易错点：不会分析识图，所得信息是错误的、制作的统计图不准确精典例题解析重点【例1】如图331是某杂志公布的我国1996至2000年国民生产总值统计图 （1）你能从图中获得哪些信息？ （2）根据信息，粗略估计一下2005年我国的国民生产总值 解析根据图象获取数据信息，从而做出预测 答案（1）得到的信息是：五年的国民生产总值是逐年增长的； 1996年的国民生产

40、总值最低，2000年最高 （2）（8.96.6）40.575，0.57552.875， 8.9十2.87511.77511.8 答：2005年我国的国民生产总值约为11.8万亿元部析难点【例2】如图332是中国、美国、日本、印度、澳大利亚五个国家1996年森林面积统计图（单位：千公顷） 上面是五个国家1996年的人口情况 （1）计算各国的人均森林面积； （2）统计图中的树高表示什么？ （3）制作形象生动的统计图表示五国的人均森林面积 （2）树高表示每个国家的森林总面积 （3）五国人均森林面积统计图（单位：米2），如图333第四章概率41游戏公平吗？学法导引在理解必然事件、不可能事件和不确定事件

41、的基础上，要在试验活动中不断积累经验，多与同伴进行交流，体会和感悟不确定事件出现机会的大小与试验次数的相互关系会利用折线统计图去观察、判断事件出现的频率趋向，从而判定公平性，有助于提高我们的探究能力，形成良好的数学学习方法要点精讲1重点：判断游戏是否公平2难点：利用概率知识解决简单的实际问题糟典例题解析重点【例1】甲、乙两人做如下游戏：如图411是一个均匀的小立方体，立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6任意掷出小立方体后，若朝上的数字是6，则甲获胜，若朝上的数字不是6，则乙获胜你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？解析掷立方体的游戏中，“朝上的数字是6”与“朝上的数字不是6”都是不确

42、定事件，而“朝上的数字不是6”则可以出现1，2，3，4，5，它与“朝上数字是6”发生的可能性是不同的答案这个游戏对甲、乙双方不公平，乙获胜的可能性大剖析难点【例2】将代表下面事件的字母标在最能代表它出现的可能性的点上（如图412）（）A投掷一枚均匀的硬币，正面朝上B在一个小时内，你能跑50千米C.一个袋子里装有2个白球，3个红球，从中摸取4个球，一定是两种颜色D在6张扑克牌中，分别是红桃2，3，4，5，6，7，洗匀后，从中抽取一张是红桃3解析本题主要考查对必然事件、不可能事件和不确定事件的判断和用数来表示每个事件发生可能性的大小答案如图413所示42摸到红球的概率学法导引本节内容主要是概率的计

43、算方法，对于某些不确定事件的概率的计算，要注意列举事件所有可能出现的结果，然后结合具体情景加以分析要点精讲重点：计算简单事件发生的概率精典例题解析重点【例1】现有10张卡片，分别写有0至9这10个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，分别计算下列事件的概率：（1）抽到数字9；（2）抽到两位数；（3）抽到的数大于6；（4）抽到的数小于6；（5）抽到奇数；（6）抽到偶数解析人们通常用：p（摸到红球）摸到红球可能出现的结果数/摸到一球所有可能出现的结果数来表示摸到红球的可能性，也称为摸到红球的概率正解不一定中奖能力升级综合能力升级用概率知识解决三角形构成问题【例3】有五条线段，长度分别为1，3，

44、5，7，9，从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率点拨在五条线段中取3条共有10种取法，其中能构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9共3种情况应用创新能力升级用概率分析游戏规则的公平性，帮助商家作出决策【例4】某娱乐场有一项游艺活动，玩这个游戏一次要花2元，一个游戏者投掷一次骰子，算做一次游戏如果掷出的朝上面的点数是6，游戏者获得一份8元的奖品这个娱乐场在这项游戏中能赢利吗？做出解释而投掷6次需花掉12元，得到奖品价值是8元所以娱乐场在这项游戏活动中一定是赢利43停留在黑砖上的概率学法导引本节知识重点是一种重要的概率模型几何概型的计算方法，学习时要掌握计算方法，

45、同时要注意事件的随机性例如，地砖除颜色外完全相同；小猫自由地走来走去要点精讲1重难点：准确计算几何概型中的概率几何概型也就是概率的大小与面积大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积2易错点：忽略事件的随机性精典例题解析重点【例1】如图431，某家厨房铺的地砖，地面是水平的，如果一颗黄豆粒掉在方砖上，它停留在黑色方砖上的概率是多少？解析每块方砖的面积相等，所以落在黑色方砖上的概率等于黑色方砖的块数除以方砖的总块数点击易错点【例2】小明和小强做游戏，袋子中有3个乒乓球，3个垒球，两人任意摸出一球（摸出后将球放回）摸到乒乓球则小明胜，摸到垒球则小

46、强胜，这个游戏对双方公平吗？错解分析此游戏不公平的，乒乓球和垒球本身质地、手感、大小都是不同的，这就不能保证摸球结果的随机性，因而游戏不公平正解不公平能力升级综合能力升级几何概型与面积计算相结合【例3】如图432，矩形花园ABED，AB为4米，BC为6米，小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率是多少？应用创新能力升级几何概型应用于科学计算【例4】地球的半径约为6371千米，某个人站立时，占地面积约为0.17平方米一颗流星坠落地面时，占地面积小于0.17平方米求该人被这颗流星砸着的概率有多大？第五章三角形51认识三角形学法导引三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形

47、的基础，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用本节主要学习三角形的概念及其组成要素边和角，并从边角两方面来探索和研究三角形的基本性质本节中，三角形三边关系定理实质就是“两点之间线段最短”的一个特殊情况，在探索三角形内角和定理时，可联系平角、平行线等知识得出在学习中，关键是要亲自观察、操作、想像、推理，最后得出结论，要注意数学知识同现实生活相联系要点精讲1重点：（1）复习三角形定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，如图511，记作ABC；三角形的构成三条边三个内角和三个顶点（2）三角形三边之间的关系三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边通常运用时

48、，三角形的三边关系满足如下关系：abcab（a、b、c分别为三角形的三边）（3）三角形三个内角的和等子180（4）三角形的分类：（根据角）三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形其中，直角三角形的两个锐角互余（5）认识三角形的角平分线，三角形的中线和高线其中，三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条中线交于一点，三条高所在的直线交于一点本节零碎知识点较多，都应一一掌握2难点：（1）三角形三边关系的运用；（2）三角形内角和定理的证明；（3）钝角三角形三条高的画法3易错点：本节的易错点主要在于对三角形的有关概念模糊不清，理解不够准确，比如运用三角形三边关系定理“两边之和大子第三边

49、”时，没有注意到“每两边（或说任意两边）之和都要大于第三边”这一事实；并且，解出三角形的三边之后，常忽略检验这三边能否构成三角形，或不能解出多种符合条件的题目解出结果后检验能否构成三角形是避免错误的基本方法这里，提供一运用三边关系定理的简捷方法：只判断两条较小线段的和是否大于第三条线段，或只判断两条较大线段的差是否小于第三条线段精典例题解析重点解析首先用代数式表示每一个角，然后利用三角形三个内角之和是180列出关系式并求解剖析难点【例2】一个三角形的两边分别是2 cm和9 cm，第三边是一个奇数，则第三边长为多少？解析三角形三边之间符合这样一个关系：已知两边之差第三边长已知两边之和求出第三边长范围之后，再找出符合条件的奇数答案设第三边长为x cm，92x92，即7x11，x是奇数，x9 cm答：第三边长为9 cm想一想小明想用4 cm、8 cm的两根木棒做一个等腰三角形，则他选择的第三根木棒长为多少？点击易错点【例3】在钝角ABC中，B是钝角，画出ABC的高AE错解错解分析这五种作法错误的原因都是对三角形高的定义理解不清三