变力做功学案

1、变力做功问题的解法授课人 高海波高中物理教材利用恒力对物体做功的物理模型推导出功的计算式。如果力的大小是变化的，那么公式中的F就无法取值；如果力的方向是变化的，公式中角就无法取值。因此其公式仅适用于恒力做功过程，而对于变力做功问题又经常出现，那我们该如何求解呢？本文现就计算变力所做功的方法及到底采用哪种方法进行求解作如下阐述。一、化变力为恒力在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用求解。例1. 如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为。已知图1中的高度是h，绳与滑

2、轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。分析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。由图1可知，在绳与水平面的夹角由变到的过程中，拉力F的作用点的位移为：所以绳对物体做功：图1 练1. 如图所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水平面的高度为，AB的长度，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。二.微元法对于变力做

3、功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普通的适用性。在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功问题。例1如图1所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？解析：由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作点的轨迹分成无限多小段，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看

4、作恒力做功过程。运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功：则转动一周过程中推力做的功：。例2.用水平拉力拉着滑块沿半径为的水平圆轨道匀速运动一周，如图5141。已知物块的质量为，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。三、力的平均值法通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一维线性关系的直线运动中。例1. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）分析与解：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成

5、正比。，可用平均阻力来代替。如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为，做功为： 第二次击入深度为到，平均阻力为：位移为做功为：两次做功相等：解后有：例2、如图2所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s米（）求释放滑块后弹簧弹力所做的功。例3 要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？四、图象法表示力随位移变化规律的图象叫做示功图。其纵坐标轴表示作用在物体上的力F，横坐标轴表示力

6、的作用点在力的方向上的位移s。图象、力轴、位移和由位移决定的与力轴平行的直线所围成的面积在数值上等于变力所做的功。例1. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）分析与解：因为阻力，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出图象，如图4所示，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。由于两次做功相等，故有：（面积）即例2. 放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过

7、程中拉力所做的功。例3如图5所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？五、运用求解当机车以恒定功率工作时，在时间内，牵引力做的功。例1. 质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。分析：汽车的功率不变，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功再由动能定理得：所以例2电

8、动机通过一绳吊起一质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起，用最快的方式吊高90m所需时间为多少（已知此物体在被吊高达90m时开始以最大速度匀速上升）？例3. 质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。六、动能定理法动能定理求变力的功是非常方便的，但是必须知道始末两个状态的物体的速度，以及在中间过程中分别有那些力对物体做功，各做了多少功。例1. 如图1所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B点时的速度变

9、为，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析与解：物体由A滑到B的过程中，受重力G、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。分析上式可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A运动到B的过程中，弹力不做功；重力在物体由A运动到C的过程中对物体所做的正功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到B的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即例2质量为的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物

10、块重力的倍，它与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块开始在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为多少？例3. 如图2所示，质量的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点。物体到达B点时的速度为，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。图2七. 机械能守恒法例1. 如图所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧的弹力对物体所做的功。分析与解：由于斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增

11、加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则对状态A：对状态B：由机械能守恒定律得：小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。八. 能量守恒法例1. 如图所示，一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取）求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此过程中力F所做的功。分析与解：（1）设A上升前，弹簧的压缩量

12、为，B刚要离开地面时弹簧的伸长量为，A上升的加速度为。A原来静止时，因受力平衡，有：设施加向上的力，使A刚做匀加速运动时的最小拉力为，有：B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为，对A有：对B有：由位移公式，对A有：由式，得：由式，解得分别解得：（2）力作用的0.4s内，在末状态有，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。九、功能原理法如果除重力和弹力之外的其他力对物体也做功，系统的机械能将不再守恒，而且这些力做了多少功、系统就有多少机械能发生转化，这就是功能原理。如果这些力

13、是变力或只有一个变力做功，而其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。除系统内的重力和弹簧弹力之外，其它力做的功等于系统机械能的增量，即。例1如图4所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置将（ ）A逐渐升高 B逐渐降低C先降低后升高 D始终不变解析：在C点施加的竖直向下的力做了多少功，就有多少其它能转化为绳的机械能。由于，而，所以，即绳的重力势能增加，得知绳重心升高。例2. 将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？十、

14、耗散力做功在曲线运动或往复运动中，滑动摩擦力或空气阻力的大小不变但方向可变，在计算这些力做功时，可将其“视为”恒力做功，其功等于力和路程的乘积，而不是力和位移的乘积例1如图，与为两个斜面，分别与一个光滑的圆弧形轨道相切，圆弧的圆心角为，半径为，质量为的物块在距地面高为的处无初速滑下，若物块与斜面的动摩擦因数为，求物块在斜面上（除圆弧外）共能运动多长路程分析与解物块在斜面和上往复运动，摩擦力的方向会发生变化，由于摩擦阻力做功，物块每次上滑的高度都在降低当物块在点或点速度为零时，便在光滑曲面上往复运动，高度不再变化设物块在斜面上（除圆弧外）运动的总路程为，以为初位置，或为末位置，由动能定理，有0，

15、即（）（2）0，（1（2）（2）十一. 用W=PV一般用来求解液体或气体做功的情况，P为压强，V为液体或气体推进体积，其实该公式来源于功的计算式，设压强P的作用面积为S，推进的距离为L，则压力PS作用距离L时的功为PSL即PV。例1、成年人正常心跳每分钟约75次，一次血液循环中左心室的血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值为1.37104pa ，左、右心室收缩时射出的血量约为70mL，右心室对肺动脉的压力约为左心室的1/5，据此估算心脏工作的平均功率。分析：一次心跳左心室作功W1Pv1.37104701060.954J右心室一次心跳作功W2W10.1918J解得平均功率P十二. 利用W=qU在匀强电场中移动电荷的时候，可以直接根据恒力做功的公式求解。如果是在非匀强电场