势垒贯穿(隧道效应)汇总ppt课件

1、提纲,18-10 势垒贯穿（隧道效应,18-9 一维无限深方势阱,隧道效应和扫描隧道显微镜STM,薛定谔方程,标准化条件及解的物理意义,几点讨论,力场中粒子的薛定谔方程,定态薛定谔方程,18-8 薛定谔方程,自由粒子的 薛定谔方程,作业：18-28、29、32,18-8 薛定谔方程,在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数 来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律,1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理 的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的 又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律,本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用 波函数来描述；力学量如何用力学量算符来 描述,建立薛定谔方程的主

2、要依据和思路,要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足 德布罗意关系式,满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E， 质量为m，动量为P的粒子,若 是方程的解，则 也是它的解； 若波函数 与 是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态,因此，波函数应遵从线性方程,自由粒子的外势场应为零,自由粒子的 薛定谔方程,沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数,为自由粒子的质量，因为势能为零，所以,所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程,一个动能为E和动量为 ，即波矢为 的自由粒子，在坐标表象的波函数,同样推广到三维如下,显然，波函数对时间求导，可得出,波函数对空间求导可得出,定义算符,则得

3、,考虑自由粒子的能量,又因为,得出,许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解,自由粒子的 薛定谔方程,量子体系的运动状态由波函数来描述， 力学量用力学量算符来描述,在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值， 不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的 测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量 的本征态,下面简单介绍量子力学算符和 经典力学中的力学量的对应关系,前面已经从经典自由 粒子的波函数得出了 它应满足的方程，从 中我们可得到些启示,从上式推导可知若有如下对应关系,可得出,动量 算符,动能 算符,力场中粒子的薛定谔方程,如果粒子在势场 中运动，能量,其薛定谔方程,定义哈密顿算符： （也称能

4、量算符,则薛定谔方程为,称 为在坐标表象中的势能算符,定态薛定谔方程,两边除以 可得,若作用在粒子上的势场 不显含时间 t 时， 在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情 况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解,由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边 必须等于同一个常数，设为E则有,可见E具有能量的量纲 与自由粒子波函数类比 它代表粒子的能量,把常数A归到空间部分， 薛定谔方程的特解为,定态波函数,对应的几率密度与时间无关,由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。 其波函数为定态波函数,定态薛定谔方程,下面将举例求解,处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在空间的 概率密度分布不随时间变

5、化，而且力学量的测量值的 几率分布和平均值都不随时间变化,18-9 一维无限深方势阱,以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是 薛定谔方程的自然结果,已知粒子所处的势场为,粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深方势阱,其定态薛定谔方程,在阱内粒子势能为零，满足,在阱外粒子势能为无穷大，满足,方程的解必处处为零,根据波函数的标准化条件，在边界上,所以，粒子被束缚在阱内运动,在阱内的薛定谔 方程可写为,类似于简谐振子的方程，其通解,代入边界条件得,所以,n不能取零，否则无意义,因为,结果说明

6、粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的,结论,由归一化条件,一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数,讨论, 零点能的存在 称为基态能量, 能量是量子化的。是由标准化条件而来。 能级间隔,当 能级分布可视为连续的, 称 为量子数； 为本征态； 为本征能量,一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,稳定的驻波能级,n+1个节点,能量本征值 对应的能量本征函数 组成完备的集合。能量量子数n从1至,在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一 组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性,所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、 确定的本征值、独立完整的存在于其中,实验上

7、物理量的测量值，是各参加叠加态 的可能的本征态的本征值。可以用本征态 出现的几率来计算物理量的平均值,18-10 势垒贯穿（隧道效应,在经典力学中,若 ,粒子的动能 为正,它只能在 I 区中运动,定态薛定谔方程 的解又如何呢,令,三个区间的薛定谔方程化为,若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波 反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区， 在III区只有透射波。粒子在处的几率要大 于在处出现的几率,其解为,根据边界条件,求出解的形式画于图中,定义粒子穿过势垒的贯穿系数,隧道效应,当 时，势垒的宽度约50nm 以上时， 贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在 实际上已经没有意义了

8、。量子概念过渡到经典了,隧道效应和扫描隧道显微镜STM,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm,只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠,若在样品与针尖之间 加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏,Scanning tunneling microscopy,因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布,使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景,利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 阵列。