北京理工本科自动控制原理辅导班笔记

1、410自动控制原理辅导班笔记钟海秋教授一、 自动控制理论的分析方法：（1）时域分析法；（2）频率法；（3）根轨迹法；（4）状态空间方法；（5）离散系统分析方法；（6）非线性分析方法二、系统的数学模型(1)解析表达：微分方程；差分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉冲响应函数；阶跃响应函数(2)图形表达：动态方框图（结构图）；信号流图；零极点分布；频率响应曲线；单位阶跃响应曲线时域响应分析一、对系统的三点要求：(1)必须稳定，且有相位裕量和增益裕量(2)动态品质指标好。、%(3)稳态误差小，精度高二、结构图简化梅逊公式例1、解：方法一：利用结构图分析：方法二：利用梅逊公式 其中特征式 式中

2、： 为所有单独回路增益之和 为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和 为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和其中， 为第k条前向通路之总增益； 为从中剔除与第k条前向通路有接触的项；n 为从输入节点到输出节点的前向通路数目对应此例，则有：通路： ，特征式： 则： 例2：2002年备考题解：方法一：结构图化简继续化简：于是有：结果为其中=方法二：用梅逊公式 通路： 于是：三、稳态误差（1）参考输入引起的误差传递函数：；扰动引起的误差传递函数：（2）求参考输入引起的稳态误差时。可以用 、叠加，也可以用终值定理：（3）求扰动引起的稳态误差 时，必须用终值定理：（4）对阶跃输入： ，如，则，（5）对

3、斜坡输入：，如，则，（6）对抛物线输入：，如，则，例3：求：，令，求，令解：结构图化简：继续化简，有：当时，求得=。；当时，有求得=例4：令，求，令，求为了完全抵消干扰对输出的影响，则解：求，用用梅逊公式： 则：，同理求得=若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。即=0,故=0，所以例5：2002年题4其中 ，r(t)和n(t)分别是参考输入和扰动输入。(1)求误差传递函数 和；(2)是否存在n10和n20,使得误差为零？(3)设r(t)和n(t)皆为阶跃输入，若误差为零，求此时的n1和n2解：， ，n(s)为负 r(t)=t,要求=0.则系统应为型系统,那么n1+n2=2. r

4、(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求=0,则n1+n2=1因为如,则而事实上：可见积分环节在部分中，而不在中。故n1=1，n2=0。就可以实现要求例6：如图，当时，求稳态输出解：应用频率法：，则 四、动态指标(1)二阶系统传递函数的标准形：(2)，越大，越小(3)，（=5%或2%）例7：如图，要求，试确定参数k，t。解：，则， 。由，可得=？，t=？例8：求： 选择，使得%20%，ts=1.8秒() 求、，并求出时的稳态误差解： 由%20%，则，求得由，求得。，从而得、。 由传递函数：得，当时，频率法一、基本概念：g(s)，输入是正弦信号，稳态输出。如：，则二、 惯性环节jw0+u，0

5、+，则：，注意：0+因为 ，（如图3）则0+ ，（如图4）求w1。因，故两边取正切： ，其中，（如图5）0+ 增益裕量：，相位裕量：，如图6注意：用求k；用求w1。例1：，t1t2，k=10，作出波德图例2：2002年题1求：(1)写出开环传递函数(2)计算系统的相位裕量和增益裕量(3)做出的nyquist曲线，并分析闭环系统的稳定性解： 可见图中，因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折，显然w=2时，曲线只在w1=0.5发生转折，而未到w2=10。故w2=10不发生作用，所以，故 相位裕量：因为，则：则z=0，n=0，p=0。符合z=p+n，故稳定三、nyquist判据z为闭环

6、右半平面根数，p为开环右半平面根数，n为包围-1圈数，顺时针为正，逆时针为负。当符合z=p+n是系统稳定。其中z=0例3：解：奈氏曲线如下图。n=2，p=0，z=n+p=20，故不稳定。例4：，如图：n=2，p=0，z=n+p=20，故不稳定。例5：，判断系统是否稳定。分析：判断稳定性，用劳斯判据：相邻系数必须为正，不能缺项如：。显然缺s项，故不稳定。劳斯阵列第一列全为正，则系统稳定。如果有一个负数，则变号次，即系统有个有根，不稳定。系统如果与虚轴有交点，则劳斯阵有一行全为，此行的上一行为辅助多项式，由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。如，劳斯阵为：，则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多

7、项式为：，则与虚轴的交点为。解：劳斯阵：，可见系统不稳定，有两个右根。例：，解：劳斯阵：，因为此处不能往下计算，换成。，故系统不稳定。例：2002年备考题单位反馈系统，开环传递函数，要求： 画出对数幅频特性，求，判断系统稳定性。 加入矫正装置，使扩大一倍，求矫正后系统传递函数和相位裕量。解： 开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式：，由作图可得，由劳斯判据可知，缺项，则系统不稳定。也可由，判定系统不稳定。也可由零极点判断画图，不稳定。 加入矫正装置是，即（w1可由图中按比例读出），则。例8：2001年备考题求： 系统阻尼比=0.5时, =0时，求%，、（）解：，则=0时，则，于是，=

8、%=例9设计型题，较易，主要考概念求：，使时，；使时，解： ，利用基本概念，不用计算 ，则故：。根轨迹法一、定义：。其中为根轨迹增益。开环放大倍数闭环特征方程的根随参数而变化的轨迹，称为根轨迹。其符合两个条件：几条规则：实轴上的根轨迹最小相位系统右边有奇数个零极点时，有根轨迹非最小相位系统右边有偶数个零极点时，有根轨迹根轨迹条数=max（n,m），起点为开环极点（），终点为开环零点（）渐进线条数：（n-m）条，与实轴交点坐标：与实轴夹角：。分离点与会合点：使，并使0的点复数极点出射角：对非最小相位系统复数零点的入射角：对非最小相位系统与虚轴交点：（a）用劳斯判据确定，用辅助方程求得（b）代入闭

9、环特征方程，由实部=0，虚部=0求得例1：解：渐进线（3条）：，由，则，得与虚轴的交点：方法一，劳斯阵：要与虚轴有交点，则有一行全零，即辅助方程：方法二将代入特征方程：，则与虚部的交点 根轨迹如下图例2：解：渐进线一条。出射角分离点与会合点：，故：，则，得，可见根轨迹是圆弧。证明：取圆弧上一点。（应用辐角条件）两边取正切：可见是圆。例3：解：结构图化简,有:闭环特征方程为,由此画根轨迹图。也可以由，画根轨迹。例4：解：，则： =1，=9时，有一个分离点当9时，如取=10，则，根轨迹如上图。离散系统分析方法一、采样定理镜像作用,采样频率二、开环脉冲传递函数闭环，特征方程。判断稳定性：用双线性变换

10、，将其代入特征方程中，再用劳斯判据。如果k给定，则直接解特征方程，若|z|1则不稳定。，对参考输入有：求时，可以用两种方法：a）部分分式法；b）长除方法g(s)z变换公式：如：非线性系统分析方法g(s)注：1为sinwt；2为基波和高次谐波经过g（s）后剩下的基波。一、分析方法：二、描述函数法：闭环特征方程：，则判断是否包围，包围则系统不稳定，不包围则稳定。如同，判断是否包围-1，包围则不稳定，不包围则稳定。负倒特性：a点不稳定,自激振荡b点为稳定自激振荡，因有干扰时系统发散，则系统正好进入稳定区，而系统稳定时要衰减，则系统又回到b点右边，又再次进入到不稳定区，又要发散，然后又进入稳定区，如此

11、反复，则系统始终稳定再b点附近。例1：如图。其中：，判断是否存在稳定的自激振荡？为消除自激振荡如何调整？解：例2：解：，则合成为：则，变换成：再画图分析例3：2002年题5其中：。讨论参数t为系统自激振荡的影响设t=0.25sec，求输出自激振荡的振幅和频率。解：，两者相切时，即频率特性g(jw)的虚部等于-1/n(x)，b点稳定，a点不稳定。此时，李雅普诺夫稳定性理论一、李氏第一方法：线性化方法，线性系统平衡状态只有一个；非线性系统平衡状态有多个。雅可比矩阵：，判断其稳定性用特征多项式，然后用劳斯判据。如果线性系统稳定，则非线性系统稳定；反之，如果线性系统不稳定，则非线性系统不稳定。如果处于

12、稳定边界（有纯虚根），则不能判定非线性系统的稳定性。李氏直接方法：1克拉索夫斯基方法；2变量梯度法（不考）二、对非线性系统在平衡状态处的稳定性问题的解题步骤：先用线性化方法：，由得，若：（1），则系统在平衡状态处是不稳定的；（2），则系统在平衡状态处是渐进稳定的。（3），中至少有一个实部为0，则此方法失效。否则，用克拉索夫斯基方法：，当q(x)正定时，即当主子式均大于零时，且当时，有：，则系统在平衡状态处大范围渐进稳定。最后想到用李雅普诺夫第二方法：构造标量函数v(x)，例如：，要求v(0)=0，x0,v(x)0。步骤：1、构造；2、，将，代入，若为负定，半负定，有。则系统在处大范围渐进稳定。

13、例1：使用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。解：线性化方法失效，则只好用克拉索夫斯基方法：，则且时，有，故此系统在原点处大范围渐进稳定。例2：试用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。解：用线性化方法：，状态空间分析方法一、模型的建立则，即：令，则，如对，令则， 或例1：由传递函数来求，则，则，即例2：，有：即：可见-2为重根，则此为约当标准型。约当块对应b阵中的行中有一列不为零，则能控；约当块对应c阵中的列中有一列不为零，则能观。222-153二、对型题的解答步骤：判断系统稳定性：，得，若则系统稳定，否则系统不稳定。能控性判别矩阵：，若r(m)=n，即

14、满秩，为完全能控，否则不完全能控。能观性判别矩阵：，若为满秩，为完全能观，否则不完全能观。注意：如果a是对角阵且没有重根时，则用直接观察的方法判别能控、能观便可。若b中对应的值不为0，则此状态分量能控，若b中全不为0，则为完全能控。若c中对应的值不为0，则此状态分量能观，若c中全不为0，则完全能观。如果a是对角阵且有重根，或是一般矩阵时，则必须用能控性判别矩阵m和能观性判别矩阵n。状态反馈：条件所调整的极点对应的状态分量必须能控。原理：，引入，则有解题方法：特征多项式=期望多项式，即。状态观测器条件：系统完全能观，才可用状态观测器输出可控性矩阵：，若满秩，则输出完全可控，否则输出不完全可控。例

15、3 、要求：(1)判断系统的稳定性(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并指出各状态分量的能控，能观性(3)能否用线性状态反馈将原有的极点-1，-2，3调整为-1，-2，-3？若能请计算出k1,k2,k3的值；若不能，请说明原因。(4)判断系统的输出可控性解：(1)显然有+3特征根，则系统不稳定(2)由b阵知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由c阵知不完全能观，x2,x3能观，x1不能观。(3)能，因为x3时能控的，设，由，因此有(4)输出可控性矩阵，秩为1，可控。例4 ：，要求：(1)判断系统的稳定性(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。(3)能否通过状态反馈使闭环系统

16、稳定？(4)能否应用状态观测器？解：（1）显然0，系统不稳定；=0边界状态；0时系统稳定。（2）因为-1时重根，由不是约当型，则用较稳妥的方法，即用可控性矩阵。，则秩为2 ，为不完全能观（3）状态反馈要通过x3进行，则要能观测x3才行。当c3不为0时，可以通过状态反馈使闭环系统稳定。（4）系统完全能观，才可应用状态观测器。例5：要求：(1)判断系统的稳定性(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。(3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？(4)能否应用状态观测器？解：（1）显然有+1根，则系统不稳定（2）不完全能控，x1可，x2不可不完全能观，x1不可，x2可（3）因为x1能控，则可以改

17、成-1，设故（4）不能，因为系统不完全能观例6：要求：解：传递函数：，故三、状态方程的解，状态转移矩阵如：，则齐次，则。采用变换的方法：,特别当如果有二重根，则如果有三重根，则分块，有：注意：观测器不考最后例1：设系统的开环传递函数为，试画出nyquist图，并确定系统的稳定性。解：t1t2时，显然n=1，p=0，z=n+p=1，系统不稳定。例2、要求：（1）求出闭环系统的特征多项式f(s)；(2)(3)(4)解：(1)特征方程为：，则特征多项式为：(2)零极点：，渐近线：，分离点：三条根轨迹汇合，因为此时k值相同。例3：=9，要求：(1)(2)(3)(4)解：(1) (2) (3) 由劳斯判据：，