第六章-二次型习题课ppt课件

1、线性代数习题讲解,第六章 二次型,一、要点复习 二、作业讲解 三、典型例题介绍,二次型,定义,矩阵表示,可逆线性变换,标准二次型,正交变换,配方法,正定二次型 正定矩阵,定义,判定,一、要点复习,1. 二次型及其矩阵表示,定义6.1 含有 个变量 的二次齐次函数,称为 元二次型,用矩阵表示为,其中向量,矩阵,称为对称矩阵 的二次型，并称 的秩为该二次型的秩,所以 是对称矩阵， 称为二次型 的矩阵,注 二次型的矩阵要求是对称矩阵.还有正定矩阵也是这样,称为 的标准形或法式,称这时的标准形为 的规范形，即,特别地，当标准形中的系数 只取1，-1或0时,只含平方项的二次型,2. 二次型的标准形,二次

2、型的标准形不唯一，但其规范形唯一（在实变换 下 ）.标准形中所含非零平方项的项数等于二次型的秩,3.合同变换 对于 阶方阵 ，如果存在可逆方阵 ，使 则称 为合同矩阵或称 与 合同，变换 称 为合同变换，矩阵 称为合同变换矩阵. 对任意可逆方阵 ，若 对称，则 也对称且 用可逆变换把实二次型化为标准形等同于用合同变换 把实对称矩阵化为对角矩阵.实对称矩阵可以用正交的相似变换对角化，又正交的相似变换也是合同变换,4.化二次型为标准型方法和步骤,定理 任给实二次型 总有正交变换 使 化为标准形 其中 是 的矩阵 的特征值,1）用正交变换化二次型为标准形,步骤: 第一步 写出二次型 所对应的实对称矩

3、阵 ； 第二步 求出 的所有特征值； 第三步 对 的每一特征值求出对应的特征向量，把对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根的特征向量正交化、规范化； 第四步 以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩阵 ，得正交变换 ； 第五步 写出标准形 ， 其中 为 的特征值，其顺序应和 中的列特征向量顺序相对应. 以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基本一致,2) 用配方法化二次型为标准形 这种方法是将二次型的各项归并成完全平方项，即不含交叉项，再对这些平方项引入新变量以达到二次型成为关于新变量的平方项之和.具体做法是： 如果二次型中含有某 的平方项，则先把含 的各项集中，按 配成完全平方，然后按

4、此法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果二次型中不含平方项，但有某个 ， 则先作一个可逆的线性变换： 使二次型出现平方项，再按上面方法配方,5. 惯性定理 一个二次型的标准形是不唯一的，但其所含非零项 的项数是确定的（即二次型的秩）.不仅如此，在限定 变换为实变换时，标准形中正平方项的个数是不变的 （从而负平方项的个数也是不变的,6. 正定二次型 设有实二次型 ，如果对任 何 都 （ ），则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的，记 作 ；如果对任何 都有 则称 为负定二次型，并称对称矩阵 是负定 的，记作,判断实二次型正定的充要条件 （1) 实二次型标准形中的个系数全为正； （2) 实二

5、次型的矩阵的特征值全为正； （3) 实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全 大于零. 至于 的负定性可通过 的正定性来判断,注 判断一实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要 条件若是一具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断 相对方便些. 另要强调的是,我们说是正定矩阵是在为实对称矩阵 的大前提下讲的,离开了这一点就会犯下列错误: 各阶顺序主子式大于0的矩阵为正定矩阵； 特征值全大于0 的矩阵为正定矩阵； 对任意 ,使 的矩阵为正定矩阵,二、作业讲解,用矩阵记号表示下列二次型： (1) (2) (3,解：(1,3,2,2. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形,解,分析 这是本章的一个主要问题，只要按步骤

6、求解即可， 关键还是求 特征值和特征向量,取,则利用正交变换,二次型可化为标准型,3. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形,解,单位化得,取,则利用正交变换,二次型可化为标准型,4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形,解,取,则利用正交变换,二次型可化为标准型,5. 二次型,通过正交变换可化为标准形,求参数,及所用的正交变换矩阵,分析 本题是已知二次型通过正交变换所得到的标准形，这等于知道了二次型矩阵 的特征值,取,用正交变换,二次型标准型为,6. 用配方法化,为规范形，写出所用变换的矩阵,得二次型的规范型为,分析 化二次型为标准形可用正交变换法也可用配方法，这要看题目的具体要求. 若无

7、要求，在变量不多时配方法相对简单些,解,注 用配方法化二次型为标准形所用的线性变换只是可逆的，这实际上是对二次型作了合同变换.而特征向量正交、规范化所得的变换是正交变换.由于配方的方法不同，因此所作的合同变换是不唯一的，自然所得到的标准形也不唯一,7. 判别下列二次型的正定性： (1,2,解：（1,分析：判断一二次型或实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要条件，若是一 具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断相对方便些,故负定,2,故为正定,8. 二次型,取何值时是正定二次型,二次型正定即要求所有顺序主子式,解： 二次型矩阵为,9. 已知,为,阶方阵,是正定矩阵，证明,为正定矩阵,分析 本题所涉及的是抽象矩阵，根据已知条件，可用特征值证明,10. 设,为可逆矩阵,证明,为正定二次型,分析 本题所涉及的是抽象问题，根据已知条件，可用定义证明,三、典型例题介绍,解,写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例1,从而得特征值,求特征向量,将特征向量正交化,得正交向量组,将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,