第二章拉普拉斯变换ppt课件

1、主要内容,第一节 拉普拉斯变换简介 第二节 拉普拉斯变换的性质 第三节 拉普拉斯反变换 第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程,拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法,第一节 拉普拉斯变换简介,原函数(Original Function,象函数(Image Function,一、拉普拉斯变换的定义,设时间函数 ,则 的拉普拉斯变换定义为,一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是,1)在t0时,2)在t0的任一有限区间内， 是分段连续的,如果复变函数 是时间函数 的拉氏变换，则 称为 的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为,二、典型时间函数的拉氏

2、变换,单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等,常用的时间函数有,一）单位脉冲函数,单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄拉克函数(Dirac Function)，其变化曲线如图2-1-1,数学表达式为,其拉氏变换为,函数具有如下重要性质,任意连续函数,二）单位阶跃函数,单位阶跃函数(Unit Step Function )又称位置函数通常用 或1(t)来表示。 其变化曲线如图2-1-2所示,数学表达式为,的拉氏变换为,三）单位斜坡函数,其拉氏变换为,单位斜坡函数(Unit Ramp Functi

3、on)又称速度函数，其变化曲线如图2-1-3所示,数学表达式为,四）单位加速度函数,其拉氏变换为,单位加速度函数（Unit Acceleration Function）又称抛物函数(Parabolic Function)，其变化曲线如图2-1-4,数学表达式为,其拉氏变换为,五）指数函数,指数函数(Exponential Function)分为指数增长函数和指数衰减函数。变化曲线如图2-1-5所示,数学表达式为,r (t)= eat (指数增长函数) r (t)= e-at (指数衰减函数,其中a 0,其拉氏变换为,六）正弦函数,其拉氏变换为,七）余弦函数,八) 幂函数,其拉氏变换为,注:欧拉

4、公式,一、线性性质(Linearity,第二节 拉普拉斯变换的性质,线性性质指同时满足叠加性和齐次性,齐次性 (Homogeneity Property)：指当输入信号乘 以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如： ， 则,则,例2-2 求,解,二、延时定理（Time-Shift Theorem,若有 ，对任意实数 a ,则,三、周期函数的拉氏变换,若函数 是以T 为周期的周期函数,即 ， 则有,四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem,若 ，对于任意常数a(实数或复数)，有,五、时间尺度改变性质(Change of Time Scale,时间尺度改变性质又称相似定理或

5、称尺寸变换特性(Scaling Property)或称压扩特性(Companding Property,若 ，a 是任意常数，则,六、微分性质(Differentiation Property,f (0)为时间函数 f (t)在t =0处的初始值。注意，本书假设 f (0-) = f (0+) = f (0),推论 若 ，则,特别地，当 时，有,七、积分性质(Integration Property,其中,当初始条件为零时,八、初值定理(Initial Value Theorem,若 ，且 存在，则,九、终值定理(Final Value Theorem,解： 由初值定理和终值定理得,例2-8

6、已知 （a0），求,十、复微分定理(Complex-Differentiation Theorem,十一、复积分定理(Complex-Integration Theorem,十二、卷积定理(Convolution Theorem,两函数 f 1(t)和f 2(t) 的卷积定义为,卷积满足以下性质,1）交换律,2）结合律,3）分配律,拉氏变换的卷积定理,则,第三节 拉普拉斯反变换,已知象函数 ，求其原函数 的变换称作拉氏反变换（Inverse Laplace Transform），记为： ，并定义为,通常求拉氏反变换的方法有,1)查表法,3)部分分式法,2)有理函数法,一般象函数可以表示成如下的

7、有理分式,式中， 和 分别为F (s)的极点和零点，它们是实数或共轭复数，且nm。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下两种情况,一、F (s)无重极点的情况,当F (s)无重极点时，即只有各不相同的单极点（Distinct Poles）。 F (s)总是能展开为下面简单的部分分式之和,因此,式中，ci 为待定常数，称为F (s)在极点 pi 处的留数,例2-11已知 ,试求原函数,解：将 F (s)写成部分分式形式,式中,于是，有,二、F (s)有重极点的情况,假设F (s)有 r 个重极点(Multiple Poles) p1，其余极点均不相同，则F (s)可表示为,式中 ,为重极点对应的待定系数,求法如下,其余系数 的求法与第一种情况所述的方法相同，即,因此，F (s)的拉氏反变换为,例2-12 已知 ，试求原函数 f (t,解： 将F (s)写成部分分式形式，有,式中，c11, c12, c13为三重极点s=-2所对应的系数，根据公式式计算,c2, c3为单极点对应的系数，根据公式计算,于是其象函数可写为,查拉氏变换表可求得原函数为,第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程,利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下,1)对方程