第二章 计算机控制系统的数学基础课堂

1、第,2,章,计算机控制系统的设计方法,1,计算机控制系统的基础知识,2,计算机控制系统的数学描述,3,计算机控制系统的模拟化设计方法,4,计算机控制系统的离散化设计方法,本章主要内容,1,2,1,计算机控制系统的信号变换,一,连续信号的采样,0,3T,4T,5T,6T,7T,8T,T,2T,3T,4T,5T,6T,7T,8T,T,t,f,t,f,t,f,t,f,0,T,t,T,t,2T,T,图,1,采样过程,采样,用连续信号在离散时间瞬时值的序列,代替原来连续信号的过程,2,在计算机控制系统中，采样信号,是一数字,序列，可分解成一系列单脉冲之和,t,f,k,f,f,f,t,f,1,0,kT,t

2、,kT,f,t,f,k,式中,为,时刻的单脉冲，脉冲的幅值,为,时刻的单脉冲，脉冲的幅值,为,时刻的单脉冲，脉冲的幅值,T,t,0,0,f,0,T,f,1,f,T,t,1,1,T,f,k,f,kT,t,kT,f,只有在,时刻，才有,而在的所有,时刻,都有,kT,t,0,kT,t,kT,t,0,kT,t,用,函数,3,量化过程,t,f,0,1,2,3,4,5,6,1,t,2,t,3,t,4,t,5,t,6,t,7,t,8,t,t,q,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,A,7,A,8,A,t,f,0,1,2,3,4,5,6,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,A,7,A,8,A,

3、t,1,t,2,t,3,t,4,t,5,t,6,t,7,t,8,t,图,3,量化过程,所谓量化，就是采用,一组数码（如二进制,码）来逼近离散模拟,信号的幅值，将其转,换成数字信号。经量,化使采样信号成为数,字信号,该过程称为,量化过程,4,为保证采样信号的频谱是连续信号的频谱无重叠的重复,沿频率轴方向），以便采样信号能反映连续信号的变化,规律，采样频率,至少应是,的频谱,的最高频率,的两倍，即,2,2,f,T,s,t,f,j,F,max,max,2,s,采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于,连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率,因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中

4、,还要根据系统的实际情况综合考虑,采样定理,5,二、采样信号的复现和采样保持器,保持器,保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连,续信号，实现采样点之间的插值的元件,零阶保持器,kT,e,T,k,1,kT,e,h,t,e,零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值,一,直保持到下一个采样时刻,从而把采样信号,变成了,阶梯连续信号,t,e,h,t,e,零阶保持器,b,T,T,2,T,t,t,e,0,a,h,t,e,0,T,T,2,T,t,c,2,T,图,5,零阶保持器的功能,s,e,s,G,Ts,h,1,6,2,2,计算机控制系统的数学描述,1 . Z,变换,0,2,2,0,k,kT,t,

5、kT,f,T,t,T,f,T,t,T,f,t,f,t,f,0,k,k,z,kT,f,t,f,Z,z,F,对上式取拉氏变换,Ts,z,e,令,则,0,e,k,kTs,kT,f,t,f,L,s,F,7,z,G,z,Y,z,R,z,V,s,G,t,r,t,r,z,G,T,T,t,y,t,y,a,b,零初始条件下，系统或环节的输出采样函数的,z,变,换和输入采样函数的,z,变换之比,为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚,设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来,获得输出信号的采样信号,2,脉冲传递函数,8,0,0,n,n,n,n,z,nT,r,z,nT,y,z,R,z,Y,z,G,z,

6、R,z,G,如果已知,和,则在零初始条件下，线性,定常离散系统的输出采样信号为,1,1,z,R,z,G,Z,z,Y,Z,t,y,9,3,差分方程,2,2,2,1,0,2,1,mT,kT,r,b,T,kT,r,b,T,kT,r,b,kT,r,b,nT,kT,y,a,T,kT,y,a,T,kT,y,a,kT,y,m,n,计算机控制系统的差分方程,图,6,连续系统和离散系统,a,连续系统,b,离散系统,s,F,t,r,t,y,s,F,k,r,k,y,T,T,10,脉冲传递函数与差分方程的相互转换,1,1,1,0,1,m,k,r,b,k,r,b,k,r,b,n,k,y,a,k,y,a,k,y,m,n,

7、n,m,若已知,n,阶离散系统的差分方程是,在零初始条件下，进行,Z,变换,1,1,1,0,1,1,z,R,z,b,z,b,b,z,Y,z,a,z,a,m,m,n,n,n,m,得脉冲传递函数为,n,n,m,m,z,a,z,a,z,a,z,b,z,b,z,b,b,z,R,z,Y,z,G,2,2,1,1,2,2,1,1,0,1,n,m,11,2.3 S,平面到,Z,平面之间的映射关系,sT,z,e,s,j,j,T,T,j,T,T,z,e,e,e,e,T,T,R,z,e,z,T,s,平面虚轴映射为,z,平面单位圆，左半平面映射在,z,平面单位圆内,1.s,平面与,z,平面映射关系,12,二、极点位置

8、与时间响应的关系,i,i,z,G,z,c,z,p,k,i,i,c,k,c,p,1,极点位于实轴,13,2,复极点位置与系统响应之间关系,14,Z,平面极点位置的趋势,极点越接近原点，脉冲响应收敛速度越快,极点从右向左移动，脉冲响应振荡频率增加,已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中,的分布情况，分析系统的动态响应特性,15,2,4,计算机控制系统的模拟化设计方法,16,一、连续域,离散化设计的步骤,第,1,步：设计模拟控制器,D,s,第,2,步：选择合适的采样周期,T,第,3,步：选择合适的,离散化方法,将,D,s,离散化，获,得数字控制器,D,z,使两者性能尽量等效,第,4,步：检验计算

9、机控制系统闭环性能。若满足指标,要求，进行下一步；否则，重新进行设计,改进设计的途径有,选择更合适的离散化方法,提高采样频率,修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等,第,5,步：将,D,z,变为差分方程，在计算机上编程实现,17,根据香农采样定理，系统采样频率的下限为,f,s,2,f,max,此时系统可真实地恢复到原来的连续信号,1,从执行机构的特性要求来看，有时需要输出信号保持,一定的宽度，采样周期必须大于这一时间,2,从控制系统的随动和抗干扰的性能来看，要求采样周,期短些,3,从微机的工作量和每个调节回路的计算来看，一般要,求采样周期大些,4,从计算机的精度看，过短的采样周期是不合适的,二、

10、采样周期的选择,18,实际选择采样周期时，必须综合考虑,采用周期要比对象的时间常数小得多，否则,采样信号无法反映瞬变过程,采用周期应远小于对象的扰动信号的周期,考虑执行器的响应速度,当系统纯滞后占主导地位时，应按纯滞后大,小选取，尽可能使纯滞后时间接近或等于采用周,期的整数倍,考虑对象所要求的控制质量，精度越高，采,样周期越短，以减小系统的纯滞后,19,常见被控量的经验采样周期,被测参数,采样周期,说,明,流量,1,5,优先选用,1,2s,压力,3,10,优先选用,6,8s,液位,6,8,优先选用,7s,温度,15,20,或纯滞后时间，串级系统,副环,T=1/4,1/5T,主环,成分,15,2

11、0,优先选用,18s,20,三、模拟控制器的离散化方法,最常用的表征控制器特性的主要指标,零极点个数,系统的频带,稳态增益,相位及增益裕度,阶跃响应或脉冲响应形状,频率响应特性,等效离散,D,z,D,s,数值积分法,一阶向后差法,一阶向前差法,双线性变换法及修正双线性变换法,零极点匹配法,保持器等价法,z,变换法,脉冲响应不变法,离散化方法,21,1,1,z,s,T,D,z,D,s,1,1,s,z,T,s,与,z,之间的变换关系,向后差分,矩形积分,法,sT,e,e,z,sT,sT,1,1,1,1,一阶向后差分法,22,主要特性,s,平面与,z,平面映射关系,当,0,s,平面虚轴,s,平面虚轴

12、映射到,z,平面为该小圆的圆周,当,0,s,右半平面），映射到,z,平面为上述小圆的外部,当,0,s,左半平面），映射到,z,平面为上述小圆的内部,若,D,s,稳定，则,D,z,一定稳定,变换前后，稳态增益不变,向后差分法的映射关系,由于这种变换的,映射关系畸变严重,变换精度较低。所,以，工程应用受到,限制，用得较少,23,s,与,z,之间的变换关系,梯形积分法,2,1,1,z,s,T,z,D,z,D,s,2,1,1,z,s,T,z,1,2,1,2,T,s,z,T,s,2,双线性变换法（突斯汀,Tustin,变换法,1,2,1,2,1,1,1,1,2,2,1,1,1,1,2,2,sT,sT,s

13、T,sT,sT,e,z,e,sT,sT,e,L,L,24,主要特性,s,平面与,z,平面映射关系,当,0,s,平面虚轴,映射为,z,平面的单位圆周,当,0,s,右半平面），映射到,z,平面单位圆外,当,0,s,左半平面），映射到,z,平面单位圆内,若,D,s,稳定，则,D,z,一定稳定,双线性变换映射关系,25,频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性,不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变,变换前后，稳态增益不变,0,1,s,z,D,s,D,z,应用,这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的,特性，工程上应用较为普遍,这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于,低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化,26,1,e,sT,D,z,Z,D,s,s,注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的,零阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应,相同，但要进行,z,变换，同样具有,z,变换法的一系列缺点,所以应用亦较少,3,带零阶保持器,z,变换法（阶跃响应不变法,27,2,5,计算机控制系统的离散化设计方法,28,计算机控制系统离散化设计的步骤（直接设计,第,1,步：求