同济版高等数学上册复习资料ppt课件

1、高等数学(上) 总复习,第一部分 复习的重点及题型分析,第二部分 高等数学(上)方法综述,第一部分 复习的重点及题型分析,复习重点,三个基本计算 极限 , 导数 , 积分,两个基本应用 导数应用 , 积分应用,一个基本理论 有关中值的定理及应用,一. 三个基本计算 (约 70 ,1. 极限的计算 (约 24 ,主要题型,1) 利用基本方法求极限,函数的连续性,四则运算法则,极限存在准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必塔法则,2) 利用特殊方法求极限,导数定义,定积分定义,微分中值定理,变限积分求导,讨论左右极限,3) 无穷小量的比较,例题分析,例1. 计算,解,解: 利用等价关系,例2.

2、设 f (x) 处处连续, 且 f (2)=3, 计算,解,化为指数形式 , 利用,例3. 计算,解,例4. 计算,例5. 计算,解: 令,例6. 计算,解 : 令,例7. 计算,解,利用等价无穷小,例8. 计算,解,例9. 求,解: 令,则,原式,洛,例10. 计算,解,直接用洛必塔法则不方便,利用等价无穷小,例11. 计算,解: 利用微分中值定理,例12. 计算,解,洛,这是积分变量,例13. 求,原式,洛,利用等价无穷小,解,例14. 已知,解,对所给等式左边用洛必塔法则, 得,再利用,可知,求 a, b,2. 导数和微分的计算 (约 18,主要题型,1) 计算复合函数的导数和微分,2)

3、 计算隐函数的导数和微分,3) 参数方程求一阶、二阶导数,4) 用导数定义求特殊点的导数值,5) 计算 n 阶导数,包括对数微分法,例题分析,例1. 已知,解法1,等式两边对 x 求导, 得,故,解法2. 等式两边取对数, 得,两边对 x 求导, 得,故,例2. 已知,解,两边取对数，得,两边对 x 求导,例3. 证明下述函数在 x = 0 连续且可导,证: 因为,又,在 x = 0 连续且可导,思考: 若函数改为,是否有同样的,结论,例4. 已知,解,求,例5. 设,解,例6. 设,解,例7. 设,求,解,例8. 求,解,方法1,利用归纳法可证,方法2 . 利用莱布尼兹求导公式,的 n 阶导

4、数,例9. 设,求,解,3. 不定积分与定积分的计算 (约 28,主要题型,1) 利用基本积分方法计算不定积分,2) 利用基本积分方法及公式计算定积分,3) 利用简化技巧计算积分,4) 广义积分的计算及收敛性判别,例题分析,例1. 求,解,令,令,例2. 求,解,例3. 求,解,原式,例4. 求,解,例5. 讨论积分,解,的敛散性,可见原积分发散,例6. 求,解,例7. 已知,解: 对所给等式两边求导, 得,求,利用“偶倍奇零,得,例8. 设,求,P266 题10,解: 令,则,例9. 已知,解: 由已知条件得,求,例10. 求,解,利用 P245 例6(2), 即,例11. 利用递推公式计算

5、下列广义积分,解,P256 题3,二. 两个基本应用 (约 24 ,1. 导数的应用 (约 16 ,主要题型,1) 导数的几何应用,2) 利用导数研究函数形态,3) 求解最值问题,4) 利用导数证明恒等式,5) 利用单调性证明不等式,例1. 设函数,在定义域内可导,的图形如右图所示,则导函数,的图形为 . (2001考研,提示,在某区间I 内可导,则在I 内,是,的极值点,例题分析,例2. 证明,在,上单调增加,证,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而,在,上单调增,得,L.P95 例4,例3. 证明当 x 0 时,证法1: 设,则,故,证法2:当 x 0 时,

6、在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得,例4,证明,证,即,P130 例1,例5. 证明当,证: 归结为证,即,在(0,1)上不好判别正负号,提示: 证明 f (0) 是 f (x) 在( , 1) 上的最大值,说明: 若改为证明当 x 1 时,如何证明,例5,设,证: 设,且,比较 , 可知,故不等式成立,有两个根,例6. 讨论方程,有几个实根,解: 设,令,得,最大值,注意,因此,当,时,当,时,只有一个根,当,时,无实根,P151 题5,例7. 求双曲线,的曲率半径 R, 并分析何处 R 最小,解,则,利用,例8. 求内接于半径为R 的球内的正圆锥体的最大体积,解: 设锥体的底半径

7、为 r, 高为 h , 如图,因 ADB BDE, 所以,圆锥体体积,为极大值点,在 (0, 2R) 内只有唯一驻点, 且为极大值点,故为最大,值点, 最大值为,2. 定积分的应用 (约 8,1) 利用定积分计算面积,直角坐标方程 参数方程 极坐标方程,2) 利用定积分计算弧长及旋转体体积,3) 定积分的物理应用,4) 有关定积分的证明题,主要题型,例题分析,例1. 求曲线,解,设切点为,则切线方程为,令,得,与其通过原点的切线及 y 轴所围图形,的面积,故所求面积为,例2. 求曲线,解,列表,绕 x 轴旋转所得,旋转体的体积,例3. 求抛物线,解,与直线,所围的图形绕 y 轴,旋转一周所得旋

8、转体体积,例4. 求由圆,解: 圆的方程为,围成的平面图形绕 x 轴旋转,一周形成的旋转体体积,利用“偶倍奇零,例5. 证明,提示: 令,得 x = 1, 0,判别 x = 1 为 f (x) 在,上的唯一极大点 , 故,则,时,例6. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所求面积,且为最小点,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,三. 一个基本理论 有关中值的问题 (约 5,主要题型,1) 讨论函数的零点问题或方程根的问题,存在性,唯一性,常用介值定理 ; 罗

9、尔定理,利用单调性 ; 反证法,2) 利用微分和积分中值定理证明等式或不等式,例1. 叙述拉格朗日中值定理并证明之,提示,利用逆向思维设出满足罗尔定理的辅助函数,例题分析,例2. 设常数,至少有一正根 , 且不超过,证: 设,则,均为正值,证明方程,若,则,为一正根 , 且符合题意,若,则,由根的存在定理知,又,至少存在一个,使,即所给方程至少有一个不超过,的正根,证明方程,例3. 已知,证: 先证存在性,使,再证唯一性,在 0, 1 上有唯一的根,则,因此,即,假设方程还有一根,则,无妨设x 0 x1,故存在一点,则在x0 , x1上F (x) 满足罗尔定理条件,即,与已知条件矛盾, 故假设

10、不真, 因此根唯一,例4. 设,证: 设,证明存在唯一一点,因此存在唯一一点,即,例5,上可积且不变号,证明存在,使,P266 题11,证明思路,想到用介值定理,证明: 设 M , m 分别为,上的最大值与最,小值,不妨设,若,则,故对任意,结论都正确,若,由连续函数介值定理可知,存在,使,故定理成立,则,则,例6. 设,在,内二阶可,求证:至少存,导, 且,在一点,提示,由积分中值定理得,上用罗尔定理得,上用罗尔定理, 得,例7. 证明方程,证: 设,原方程存在唯一实根,由,使,在0,1上存在唯一,的实根 xn , 且,则,得,由,四. 几点说明,1.函数也是考试重点,1) 函数的定义域及复合函数的表达式,2) 讨论函数在一点的连续或间断,例1. 证明,解,在 x = 0 连续,例2. 设,解,故 x = 0 为第一类跳跃间断点,并指出其间断点的类型,思考: 如何求,及其间断点,例3. 设,解: 因为 x 0 时, F (x) 可导, 故连续,问 a 取何值时 F (x) 连续,显然连续,2. 注意综合试题,1) 极限与其它知识点的结合