奥数：4-2-3任意四边形、梯形与相似模型题库

1、任意四边形、梯形与相似模型例题精讲板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”S4 A0 ： 0C 二 S S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线 AC BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米， BOC面积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理

2、求得aod =3 1亠2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 7.5 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC的面积： AG:GC = ?【解析】根据蝴蝶定理, 根据蝴蝶定理,【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形 ABD的面积等于三角形 BCD的面积的1，且A0 =2，D0 =3，那么CO的长度是DO的长度的 倍.3【解析】在本题中，四边形 ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向

3、已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条 件SaBD : S BCD =1：3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面积比转化为高之比. 再 应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.解法一 ：T AO ：0C = S abd ： S bdc =1：3 ,0C =2

4、 3=6 , 0C:0D =6:32:1 .解法二：作 AH _BD 于 H , CG_BD 于 G .1 SA BDCD ,1 AH CG ,3S.ad = S D0C ,1 A0 C0 ,3 0C =2 3=6 , 0C:0D =6:32:1 .【例3】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于0点，ACEF、A0EF、AODF、AB0E的面积依次是 2、4、4和6.求：求OCF的面积；求 AGCE的面积.【解析】根据题意可知， BCD的面积为2 4 4 16，那么 BCO和 CDO的面积都是16亠2 =8 , 所以AOCF的面积为84=4;由于 BCO的面积为8, BOE的面积为6,所以AO

5、CE的面积为8-6=2 ,根据蝴蝶定理，EG:FG -S-coe : S COF =2:4 =1:2，所以 Sgce : S.gcf =EG:FG -1:2 ,1 12那么 S GCES CEF2.1+233【例4】图中的四边形土地的总面积是 52公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形，其中2个小三角形的 面积分别是6公顷和7公顷那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？C【解析】 在L ABE , LCDE中有.AEB=/CED，所以L ABE , LCDE的面积比为(AE EB) :(CE DE).同理有 L ADE , L BCE 的面积比为(AE DE)： (BE EC).所以有 Sab

6、e X Scde =Sade X Sbce ,也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积.即SIabe 6 = Sade 7,所以有L ABE与L ADE的面积比为 7：6 , Sabe = 39=21 公顷，Sade = 39=18 公顷.6+76+7显然，最大的三角形的面积为21公顷.1，则图中阴影三角形的面积【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是为.【解析】连接AD、CD、BC .则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：1,4-1=2 , ACD的面积为：3总-1=

7、3.5 ,2 24ABD的面积为：21=3 .24 412所以 BO ： 0D = S abc : S acd -2.3.5 =4.7，所以 S aboS abd 3 =.4十71111【巩固】1，求三角形 ABC的面积.5 510【解析】因为 BD.CE =2:5，且 BD / CE，所以 DA:AC=2:5 , S ABC, S DBc=5 2 二10 .2+577【例6】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形 ABCD中，BE=2EC , CF =FD，求三角形 AEG 的面积.【解析】连接因为BE =2EC ,CF =FD所以S DEFABCD 因为saed =尹 ABCD，

8、根据蝴蝶定理,AG : GF =丄:丄2 12= 6:1 ,所以S.AGD =6S G DF6 61S ADF ABCD77 4S14 -ABCD 所以13S age =S AED - S AGD =? S|_ABCD -14 S_ABCD厶 ABCD7 -即三角形AEG的面积是-7【例7】如图，长方形 ABCD中,方形ABCD的面积.BE: EC =2:3 , DF:FC=1:2，三角形 DFG的面积为 2平方厘米，求长【解析】连接AE , FE .3 111因为 BE: EC =2:3 , DF : FC = 1: 2，所以 S def 二(：)S长方形 abcdS长方形abcd 5 3

9、2101 1 1因为 SaED = S长方形 ABCD ， AG : GF = :5:1 ,所以 S AGD =5 GDF =10 平方厘米，所以 S AFD = 12 平2 2 10_方厘米.因为 Safd =S长方形abcd，所以长方形 ABCD的面积是72平方厘米.6 形【例8】如图，已知正方形 ABCD的边长为10厘米, 形BDG的面积.E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角【解析】设BD与CE的交点为O ,连接BE、DF .1 1由蝴蝶定理可知 EO ： OC = Sbed ： S BCD ,而 Sb e d_ S a b c S BCD = S abcd ,所以4 21E

10、O: OC = S bed : S bcd =1:2，故 EO EC .一3FO:EO =1:2 .由于F为CE中点，所以EF =-EC，故EO:EF =2:3，2由蝴蝶定理可知Sbfd：S_bed =FO：EO=1：2，所以Sbfd1S BED2 -1S ABCD ,8 -那么 S| bgdS bfd s abcdU 2 - 16 -110 10=6.25 （平方厘米）.16【例9】如图，在 ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若.AOM、厶ABO和BON的面积分别是 3、2、1MNC的面积是 .C【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.根据

11、蝴蝶定理得S.mon_ S aom S bon _ 3 13S誉OB22设S MON =x，根据共边定理我们可以得3虫32，解得 x = 22.5.x 13 x2【例10】（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形AAzAdAAe的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别A3平方厘米.3是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是【解析】如图，设B6A2与的交点为O,则图中空白部分由6个与；A2OAb 一样大小的三角形组成，只要求出了A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接人人、B6、B6A3 .设AB1B6的面积为” 1 “，则BAB6面积为” 1 “

12、，UAA2B6面积为” 2 “，那么=AgA3B6面积为 A1A2B6 的2倍，为” 4 “，梯形 AA2A3A6的面积为2 2 4 2=12 , A2B6A3的面积为” 面积为2 .根据蝴蝶定理，BO ”3。二S.B1A2B6 : S.A3A2B6 =1:6，故 S./A3-，故为六边形712所以S.AoaJS弟形aa2AA二：12：1： 7，即卩A2OA 3的面积 为梯形 AAAA面积的A1A2A3A4A5A3面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的 6=3，所以阴影部分面积为141472009： 11 ? =1148（平方厘米）I 7丿板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理

13、”）： Si：Q 二a2：b2 Si: S3 ： S? : S4 = a2 : b2: ab: ab ；2 S的对应份数为（a+b） 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）【例11】 如图，S2 =2 , S3 =4，求梯形的面积.【解析】设0为a2份，S3为b2份，根据梯形蝴蝶定理，Sa=4=b2，所以b=2 ;又因为S2二a b，所以a =1 ;那么 S =a2 =1, S4 =a b =2，所以梯形面积 Si S2 S3 S4 1 2 4

14、 9，或者根 据梯形蝴蝶定理，S=aF2 = 1,22=9 【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形 ABCD的AB平行于CD，对角线AC , BD交于O,已 知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形 ABCD的面积是 平方厘米.【解析】根据梯形蝴蝶定理，Saob ：S_boc二a2：ab =25: 35 ,可得a:b=5:7 ,再根据梯形蝴蝶定理， Slaob：S_doc 二a2：b2 =52 :72 =25: 49 ,所以 S doc =49 （平方厘米）.那么梯形 ABCD 的面积为25353549二 14平方厘米）【例12】梯形ABCD的对角线A

15、C与BD交于点O ,已知梯形上底为2,且三角形 ABO的面积等于三角2形BOC面积的-，求三角形 AOD与三角形BOC的面积之比.3【解析】根据梯形蝴蝶定理，Saob ：S boc =ab:b2 =2:3，可以求出a:b=2:3 ,再根据梯形蝴蝶定理，S AOD : S BOC =a S AOD - S COB：b2 =22：32 =4:9 .通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.【例13】（第十届华杯赛）如下图，四边形 ABCD中，对角线 AC和BD交于0点，已知 AO =1，并且三

16、角形ABD的面积J，那么oc的长是多少？ 二角形CBD的面积 5【解析】根据蝴蝶定理,三角形ABD的面积 三角形CBD的面积=A0，所以COA0 3CO =55又AOJ，所以CO飞.【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少?AD【解析】ACOD2Saod : S aob ab : a b: a = 3: 2 ,【解析】根据梯形蝴蝶定理，a:b =1:1.5 =2:3 , Saod :S.boc 二a2 :b2 =22 :32 = 4:9 , 所以 Saod =4 cm2 .【巩固】如图，梯形 ABCD中， AOB、 COD的面积分别为1.2

17、和2.7 ,求梯形ABCD的面积.2 2二a :b =4:9，所以 a:b=2:3 ,【解析】如图，连结EF，显然四边形 ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形 ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形 EFH的面积，所以四边形EGFH的面积 是 11 23 =34.【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形 1的面积与三角形 3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是36 L =16 , 3的面积就是36=

18、20 .4+54 + 5【例16】M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积.【解析】因为M是AD边上的中点，所以 AM :BC =1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道AMG :ABG :MCG : SBCG=12 :(1 2):(1 2) :22 =1: 2:2:4，设 S agm-1 份，则 Samcd =1 2=3 份,所以正方形的面积为1 2 2 4 12份，S阴影=2*2=4份， 所以s阴影： s正方形=1: 3， 所以s阴影二1 平方厘米.【巩固】在下图的正方形 ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平 方厘米，那么正方形 ABCD面积是平方厘米.【解析

19、】连接DE ,根据题意可知BE: AD =1:2 ,根据蝴蝶定理得S梯形（1 2）2 =9 （平方厘米），Saecd = 3 （平 方厘米），那么Sabcd -12（平方厘米）.【例17】如图面积为12平方厘米的正方形 ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.【解析】因为E,F是DC边上的三等分点，所以 EF : AB =1:3，设SOEF =1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道Saaoe 二Sofb =3份，Saaob =9 份，Sade = bCf =（1 3）份，因此正方形的面积为 4 4 （1 =24份，s阴影6，所以s阴影：s正方形=6:24 1：4，所以s阴影=3平方厘

20、米【例18】如图，在长方形 ABCD中,AB=6厘米，AD =2厘米，AE二EF二FB，求阴影部分的面积.【解析】方法一：如图，连接 DE , DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为2汇6十3十2=2平方厘米.由于 EF:DC=1:3，根据梯形蝴蝶定理，Sdeo ：Sefo =3:1，所以 Sde-Sdef ,而 Sof =S =2_4 _平方厘米，所以 Sdeo2=1.5平方厘米，阴影部分的面积为2,1.5=3.5平方厘米.4方法二：如图，连接 DE , FC，由于EF :DC =1:3，设Sa旺=1份，根据梯形蝴蝶定理，SaOED = 3份，S梯形 efcd =（1 3

21、 =16 份，Sa adebcf 二14 份，因此 S长方形 abcd =4 16 4 = 24 份，S阴影=43=7份，而s长方形abcd =6 2=12平方厘米，所以 s阴影二3.5平方厘米【例19】（2008年”奥数网杯”六年级试题 ）已知ABCD是平行四边形，BC:CE =3: 2，三角形ODE的面积为6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AC .由于 ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3 ,根据梯形蝴蝶定理， ScOE : S_AOC : SjDOE : S_AOD = 22：2X3: 2汉3:32 = 4:6:6:9 ,所以 Saoc =6

22、 （平方厘 米），Saod=9（平方厘米），又Sabc二Sacd =6 9 =15（平方厘米），阴影部分面积为 6 75 = 21（平 方厘米）.【巩固】右图中 ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S .OC S OAE . 根据蝴蝶疋理，S OCD S OAE = S OCE S OAD = 4 9 = 36，故 S -QCD 36 ,所以S OCD =6（平方厘米）.【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已

23、知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S -OCS OAE .根据蝴蝶定理，Socd S oaSoce S oad =2 8 =16，故 S ?cd16，所以 Scd =4（平方厘米）.1 1另解：在平仃四边形 ABED中，S ADES ABED16 8 =12（平方厘米），2 2所以 S AOE = S.ADE -S.AOD 12 -8 = 4 （平方厘米）， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8 2 “4 =4（平方厘米）.【例20】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，厶DEF的面

24、积是5平方厘米，ACED的面积是10平方厘米问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？【分析】 连接BF ,根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形 DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为100十5 = 20（平方厘米），所以长方形的面积为20 102 =60（平方厘米）.四边形 ABEF的面积为60-5-10-20=25（平方厘米）.【巩固】如图所示， BD、CF将长方形ABCD分成4块，6DEF的面积是4平方厘米， CED的面积是6平 方厘米问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？【解析】（法1）连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知

25、三角形BEF的面积和三角形 DEC的面积相等，即其面积也是 6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE的面积为6汉6十4 = 9（平方厘米）， 所以长方形的面积为9 6 2 =30（平方厘米）.四边形ABEF的面积为30-4-6-9=11（平方厘米）.（法2）由题意可知，,根据相似三角形性质，旦=取,所以三角形BCE的面积为：EC 63EB EC 326一亠=9（平方厘米）则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为 15 2 =30（平方厘米）四3边形ABEF的面积为30 _4 _69=11（平方厘米）【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54 ,

26、OD的长是16 , OB的长是9.那么四边形 OECD的面积是多少？C【解析】因为连接ED知道 ABO和厶EDO的面积相等即为54，又因为OD：OB=16：9,所以 AOD的面积 为54一9x16=96，根据四边形的对角线性质知道： BEO的面积为：54x54-96 = 30.375，所以四边形OECD的面积为：54 96 -30.375二119.625（平方厘米）.【例21】（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形 ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形 OFBC的面积为平方厘米.【解析】连接DE、CF 四边形EDCF为梯形，所以S

27、 eod二Sfoc，又根据蝴蝶定理，S EOD S FOC =S EOF SCOD，所以 S EOD S.FOC = SEOF S COD 2 8 =16，所以 S OD = 4 （平方厘米），S.ecd =4 *8=12（平方厘米）那么长方形 ABCD的面积为12 2 =24平方厘米，四边形 OFBC的面 积为24-5 -2 -8 =9（平方厘米）【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为 54, OD的长是16, OB的长是9 那么四边形 OECD的面积是 1 1【解析】 解法一：连接DE ,依题意S AOB BO AO 9 AO =54，所以AO =1

28、2 ,2 2“ 11贝y S aod DO AO 16 12 =96 2 21 3又因为 S AOB =S doe =5416 OE，所以 OE =6- ,2 4/曰1133得 S boe BO EO 9 630,2248、35所以 SoeCD = S|_BDC S_BOE =S_ABD _SbOE = 54 96 _ 30 119 8 816解法一：由于 S aod : S AOB = OD : OB =16 .9，所以 S AOD = 5496，而 S DOE = S AOB = 54，根据_9_3蝴蝶定理，Slboe S aod =S aob Sdoe，所以 SBOE =54 54 96

29、 =30 ,_ _ 8所以 SoECD =S|_BDC - S boe =S ABD - S BOE = 54 - 96 -30119 -I-88【例23】如图，.ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段 AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB=1:3，贝U心BKD的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形 ADBC是梯形.在梯形ADBC中，UBDK和1 iACK的面积是相等的.而AK :KB =1:3，所以 ACK的面积是 厶ABC面积的，那么.BDK1+34的面积也是AABC面积的-.4由于ABC是等腰直角三角形，如果过 A作

30、BC的垂线，M为垂足，那么 M是BC的中点，而且 AM二DE，可见JABM和JACM的面积都等于正方形 DEFG面积的一半，所以 ABC的面积与正 方形DEFG的面积相等，为 48.1那么 BDK的面积为48 1 =12 .4【例24】如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8 , ABF的面积是9, ：BCF的面积是27.那么阴影MEC面积是多少？Cfc 二 AF : FC = 9:27 =1:3 , S AEC =S AEF 4 儿24 =4.8 .【例25】【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到Safb Sdfc二S.afdSbfc，而Safb二Sdfc（等积变换），所以可得S AFB S

31、 CDF 99SAfd3 ,S bfcAFD Sbfc27，并且 S AEF - S ADF - S AED - 3 - 1. = 1.2，而 S AFB : SBl 所以阴影 AEC的面积是：【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积886=-.183【例26】如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点.三角形 ABC由这6部分组成，其中比多 6平方厘米那么三角形 ABC的面积是多少平方厘米？AF【解析】因为E是DC中点，F为AC中点，有AD=2FE且平行于AD，则四边

32、形 ADEF为梯形在梯形 ADEF中有二，X二，：=AD2: FE2=4.又已知-=6，所以=6-：-(4_1)=2 , 二4=8，所以X二=16,而迪，所以二=4，梯形ADEF的面积为、 四块图形的面积和，为 8 4 4 18 .有L CEF与L ADC的面积比为CE平方与CD平方的比， 即为1:4 .所以L ADC面积为梯形 ADEF面积的 =4，即为18 - 24 .因为D是BC中点，所4-133以L ABD与L ADC的面积相等，而|_ABC的面积为ABD、L ADC的面积和，即为24*24=48平方 厘米.三角形 ABC的面积为48平方厘米.【例27】如图，在一个边长为 6的正方形中

33、，放入一个边长为 2的正方形，保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分 的面积为.【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定 理来解决一般情况.解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5 ,因此空白处的总面积为 6 1.5“2 4 2 2 =22，阴影部分的面积为 6 6-22=14 .解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为 2: 6 =1:3，根据梯形蝴蝶定理

34、，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之2 2 9比为1 :1 3:1 3:3 =1:3:3:9 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的一，阴影部分的面16积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的-，那么阴影部分的面积为16167(6 -2 ) =14 .16【例28】如图，在正方形 ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE = 2 BE，CF=2DF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形 MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S，正方形PCNG的面积为S，则S1: S2 =【解析】 连接BD、EF 设正方形ABCD边长为3，贝U CE

35、 =CF =2 , BE =DF =1 ,所以，EF22 28 ,2 2 2 2 2 2BD =3 3 =18 因为EF BD =8 18=144=12，所以EF BD=12 由梯形蝴蝶定理，得2 2S GEF : S GBD : S DGF : SnBGE = EF : BD : EF BD：EF BD =8：18：12 ：12=4：9：6：6 ，所以，Sa BGE所以S梯形BDFES梯形BDFES梯形BDFE 4 9 6 625=Sa bcd - Sa cef =，所以，Sa bge2259因为 Sa bcd 二 3 3 亡 2 二2,cef 二22 十 2 二2 ,65X2由于 BGE底

36、边BE上的高即为正方形 PCNG的边长,所以CN6 , ND,555点E、F分别是AD和BC的中点, 平方厘米.= 9:4 所以 AM : CN =DN :CN =3:2，贝U S：3 =AM2：CN2【例29】如下图，在梯形 ABCD中，AB与CD平行，且CD =2AB ,已知阴影四边形 EMFN的面积是54平方厘米，则梯形 ABCD的面积是【解析】 连接EF ,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小 三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积.1 3设梯形ABCD的上底为a ,总面积为S.则下底为2a , EF =丄a 2a =- a 2

37、23 3所以 AB: EF =a : a =2:3 , EF : DCa:2a=3:4 2 2由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以3a 2a =5: 7 ,fS梯形ABFE : S梯形EFCD二 AB EF : EF DC 二 a 2故S梯形ABFES12根据梯形蝴蝶定理,9S梯形EFCD同理可得SenfS 12ABFE内各三角形的面积之比为953SS ；25 1220973S梯形 EFCDSS，梯形A,.9S梯形ABFE9所以所以222 :2 3: 2 3:3 =4: 6: 6:9，所以9 12 12 1649 1228339、SeMFN =SeMF S_ENFS S S，由于 SE

38、MFN - 54 平方厘米，_2028359S W（平方厘米）【例30】（2006年“迎春杯”高年级组决赛）下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB , BC , CD , DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m，那么，（m n）的值等于n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面 积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接 EG .设AG与DE的交点为M 1左图中AEGD为长方形，可知 AMD的面积为长方形 AEGD面积的1，所以三角形

39、AMD的面积为42 1 1 112 二-又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为2481114 G82F如上图所示，在右图中连接 AC、EF 设AF、EC的交点为N 可知EF / AC且AC =2EF 那么三角形BEF的面积为三角形 ABC面积的-,所以三角形BEF的4面积为12 1 1二1，梯形AEFC的面积为丄丄=3 .248288在梯形AEFC中，由于EF: AC1 : 2根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：12：1 2:1 2: 22 =1:2: 2: 4，所以三角形 EFN的面积为311，那么四边形 BENF的81+2+2+424面积为1 丄 1 而右图中四

40、个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为82461114 二6 3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为那么 m n =3 2 =5 .板块三相似三角形模型二）沙漏模型（一）金字塔模型 AD AE DE AF AB 一 AC 一 BC 一 AG Sade : S ABC2 2二 AF :AG 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 ）, 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角

41、形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.【例31】如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB =16 , AD =10 , BE = 4，那么FC的长度是多少?【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD ,所以4BF: FC二 BE CD4:16二 1 :,4所以 FC=10 汉-=8 1+4【例32】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC , AB的长为15厘米，AC被分为60等份.如果小玻璃管

42、口 DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB），那么小玻璃管口径 DE是多大？【解析】 有一个金字塔模型，所以 DE:AB=DC:AC , DE :15 =40:60，所以DE =10厘米.【例33】如图，DE平行BC,若AD:DB =2:3，那么Saade : Saecb- - 2 2Sa ade : Sa abc = 2 : 54 : 25 ,【解析】 根据金字塔模型 AD : AB二AE : AC二DE : BC =2: (2 - 3) =2:5 ,【例34】如图, ABC 中，DE , FG , BC 互相平行， AD =DF =FB ,ADE : S四边形DEGF : S四边形FG

43、CB【解析】设saade =1份，根据面积比等于相似比的平方,所以 S ade : SAFG = AD:AF $ = 1： 4 , Sa ade : Sa abc = AD? : AB? =1:9，因此 Saafg = 4 份，Saabc = 9份，进而有S四边形DEGF - 3份，S四边形FGCB - 5份，所以ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB =1:3:5【巩固】如图,AD=2 , AB =5 , AE=4，求 AC 的长.DE平行BC，且SA ADE =4 份，则 SAabc =25 份，SA BEC = 25 5 3= 15 份，所以 Sa ade : Sa ECB

44、= 4:15 【解析】【巩固】如图, ABC 中，DE , FG , MN , PQ , BC 互相平行， AD = DF = FM 二MP = PB ,则Sa ADE : &边形DEGF : &边形FGNM : &边形MNQP : 乐边形PQCB【解析】设 SA ADE =1 份，SA ADE : SA AFG = AD : AF =1: 4，因此 Sa afg =4 份，进而有 2边形 DEGF = 3 份，冋理有S四边形FGNM = 5份，足边形MNQP = 7份，足边形pqcb = 9份所以有 SA ade : S边形 DEGF : S3边形 FGNM : S3边形 MNQP : S四

45、边形 PQCB _ 1: 3: 5:7:9【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列.【例35】已知 ABC 中,DE 平行 BC ,若 AD:DB=2:3 ,且 S弟形dbce 比 Sa ade 大 8.5 cm2 ,求 Sa abc 由金字塔模型得 AD: AB 二 AE: AC 二 DE: BC =2:5，所以 AC=42 5=10【解析】 根据金字塔模型 AD:AB =DE:BC =2:(2 =2:5 , Sa ade : Sa abc =22 :54:25，设 Sa ade =4 份,则ABC =25份,S弟形D BCE=25 - 4=2份,

46、S梯形D b c e比S ADE大17份，恰好是85Cm ,所以2S abc =1 2. 5 c m【例36】 如图：MN平行BC , Sampnbcp =4:9 , AM = 4 cm，求BM的长度【解析】在沙漏模型中，因为 Sampn ：Sabcp =4:9，所以MN : BC =2:3，在金字塔模型中有：AM : AB 二 MN : BC 二 2:3，因为 AM 二 4 cm , AB 二 4 2 3=6 cm，所以 BM 二 6-4二2 cm【巩固】如图，已知 DE平行BC , BO: E0 =3: 2，那么AD : AB=【解析】由沙漏模型得BO:EO=BC:DE =3:2，再由金字

47、塔模型得 AD : AB =DE : BC =2:311【例37】如图，AABC中，AE二丄AB , AD =丄AC , ED与BC平行，厶EOD的面积是1平方厘米.那4 4么.AED的面积是 平方厘米.11【解析】 因为AE AB , AD AC , ED与BC平行，44根据相似模型可知 ED: BC =1:4, EO:OC =1:4 , S.COD = 4S EOD = 4平方厘米， 则S.cde =4 1 =5平方厘米,15又因为 Saed : Scde 二 AD ： DC =1:3，所以 Saed =5（平方厘米）.3 3【例38】在图中的正方形中，A , B , C分别是所在边的中点

48、，LCDO的面积是ABO面积的几倍?【解析】 连接BC ,易知OA / EF ,根据相似三角形性质，可知OB: OD = AE: AD，且（ABE IADE :2,11所以LCDO勺面积等于LCBO的面积；由OA=BE =AC可得C 83 O A所以24SlcdO S ct3o_S ,即bLjcDO的面积是L ABO面积的3倍.【例39】如图，线段AB与BC垂直，已知AD =EC =4 , BD =BE =6，那么图中阴影部分面积是多少?18【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线 BO,则图形关于 BO对称，有 Sado=Sceo，Sd

49、bo=Sebo,且 Sado：Sdbo=4：6 = 2：3 . 设L ADO的面积为2份，则L DBO的面积为3份，直角三角形 ABE的面积为8份.因为Sabe -6 10-：-2=30，而阴影部分的面积为 4份，所以阴影部分的面积为30“8 4=15 .解法二：连接 DE、AC 由于AD二EC =4 , BD二BE =6，所以DE / AC，根据相似三角形性质， 可知 DE: AC =BD:BA=6:10 =3:5 ,根据梯形蝴蝶定理，SDOE ：Sdoa : Scoe : Scoa =32 : 3 5 : 3 5 :52 =9:15:15:25 ,所以S阴影：S梯形ADEC二 1515 :

50、 9151525=15： 32，即 S阴影=兰 S弟形 ADEC ；又S梯形ADEC3210 106 6=32，所以 S阴影S梯形adec =15 2232【例40】( 2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”是平行四边形，四边形 ABCD的面积是16,少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和EFGH都BG:GC=3:1，则四边形 EFGH的面积=【解析】因为FGHE为平行四边形，所以 EC/AG，所以AGCE为平行四边形.1 1BG : GC =3:1，那么 GC : BC =1:4，所以 S agce S abcd 16=4 .4 4又AE =GC，所以AE: BG =GC : BG =1

51、:3，根据沙漏模型，3 3FG : AF = BG: AE =3:1，所以 S fghe S agce4=3 .4 -4【例41】已知三角形 ABC的面积为a , AF:FC=2:1 , E是BD的中点，且EF / BC，交CD于G，求阴影部分的面积.【解析】已知AF : FC = 2 : 1,且EF / BC ,利用相似三角形性质可知EF :BC = AF : AC = 2:3 ,所以2EF BC,且 S AEF : S ABC =4:9 .3 一又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么EG =丄BC , EG : EF = ： ? = 3： 4 ,22 3那么S CFG所

52、以 GF:EF =1:4，可得 Scfg :Safe =1：8，所以 S CFG : S ABC = 1:18 ,【例42】已知正方形 ABCD，过C的直线分别交 AB、AD的延长线于点 E、F，且AE =10cm ,AF =15cm，求正方形 ABCD的边长.【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC : AF = CE :EF , DC : AE = CF : EF，设正方形的边长为xcm，所以有竺匹 C匚=1，即-1,解得x=6，所以正方形的边AF AE EF EF1510长为6 cm .方法二：或根据一个金字塔列方程即兰=1 x，解得x=61015【例43】如图，三角形

53、 ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=：120毫米，高AD =80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【解析】AH D g观察图中有金字塔模型 5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PN APBC 一 ABPH BPAD AB 设正方形的边长为 x毫米，EM - EH二- BE =1，即一匚 1，解得x =48，即正方形的边BC AD AB AB12080长为48毫米.【巩固】如图，在厶ABC中，有长方形DEFG , G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是厶ABC边BC的高，交 DE于M , DG:DE=1:2 , BC=12厘米，AH =8厘米，求长方形的长和