四、(每小题8分,共32分

1、2019-2019学年江西省抚州市崇仁二中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题 3分，共18分）1 下列各式是一元二次方程的是（2 2A 3 - 5x=x B + x 1=0 C 0，然后解不等式即可.2 2【解答】解：根据题意得厶=(2k+1)- 4 ( k - 3) 0,解得k-丄-，4即k的取值范围为k13417某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少 20千克现该商场要保证每天盈利 6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【考点】一元二次方程的应用.【

2、分析】设每千克水果应涨价 x元，得出日销售量将减少 20x千克，再由盈利额=每千克盈 利X日销售量，依题意得方程求解即可.【解答】 解：设每千克水果应涨价 x元，依题意得方程：(10+x) =6000,整理，得 x2- 15x+50=0,解这个方程，得x1=5, x2=10 .要使顾客得到实惠，应取 x=5 .答：每千克水果应涨价 5元.四、(每小题8分，共32分)18李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.(1) 要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？2(2) 李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2,

3、你认为他的说法正确吗？请说 明理由.【考点】一元二次方程的应用.【分析】(1 )设剪成的较短的这段为 xcm，较长的这段就为(40 - x) cm .就可以表示出这 两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的这段为 mcm,较长的这段就为(40 - m) cm.就可以表示出这两个正 方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于 48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的 说法错误，否则正确.【解答】解：(1)设剪成的较短的这段为 xcm，较长的这段就为(40 - x) cm，由题意，得2+(竽2=58,解得：X1=12, X2=28,当x

4、=12时，较长的为 40 - 12=28cm,当x=28时，较长的为 40 - 28=12 V 28 (舍去).答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段;(2 )李明的说法正确.理由如下: 设剪成的较短的这段为 mcm,较长的这段就为(40-m) cm,由题意，得)2+ (丄二)24变形为：4，2m 40m+416=0,2/ = (- 40) 4X416= 64V0,原方程无实数根，9李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.19. 如图，点 E是正方形ABCD内一点， CDE是等边三角形，连接 EB、EA，延长BE 交边AD点于点F.(1) 求证： ADE BCE ;

5、(2) 求/ AFB的度数.【分析】(1)由题意正方形 ABCD的边AD=DC，在等边三角形 CDE中，CE=DE ,Z EDC 等于/ ECD，即能证其全等.(2)根据等边三角形、等腰三角形、平行线的角度关系，可以求得/AFB的度数.【解答】(1)证明：T ABCD是正方形 AD=BC，/ ADC= / BCD=90 又三角形CDE是等边三角形 CE=DE，/ EDC= / ECD=60 / ADE= / ECB ADE BCE .(2)解： CDE是等边三角形, CE=CD=DE ,四边形ABCD是正方形 CD=BC , CE=BC ,ECB=90 -6030 CBE为等腰三角形，且顶角/

6、 EBC=75 2/ AD / BC/ AFB= / EBC=75 ,20. 如图，将矩形纸片 ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F,连 接AE .(1) 求证：BF=DF ;(2) 求证：AE / BD ;(3 )若 AB=6 , AD=8，求 BF 的长.【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】(1)由翻折的性质可知/ EBD= / CBD，由矩形的性质可知：AD / BC ,从而得到/ ADB= / DBC，于是/ EBD= / ADB，故此 BF=DF ;(2) 由 BE=AD , BF=FD，可知 AF=EF，从而得到/ EAF= / AEF，然后可证明/ AEF

7、= / EBD，从而可证明AE / BD ;(3) 在厶AFB中利用勾股定理可求得 BF的长.【解答】 解：(1)v四边形ABCD是矩形， AD / BC ./ DBC= / ADB .由翻折的性质可知：/ DBC= / EBD ,/ ADB= / EBD . BF=FD .(2)四边形ABCD是矩形， AD=BC .由翻折的性质可知：BE=BC , AD=BE .由(1)可知：BF=DF , AF=EF ./ AEB= / EAF ./ AFE= / BFD，/ FBD= / FDB ,/ AEB= / EBD .AE / BD .2 2 2 2(3) 在 Rt ABF 中，设 BF=FD=

8、x，则 AF=8 - x，由勾股定理得： AB2+AF2=BF，即卩 62+ (8 - x) 2=x2.解得：x=i一 .4BF的长为-1.421今年，我国政府为减轻农民负担，决定在 5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税 25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同.(1) 求降低的百分率；(2) 若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？(3) 小红所在的乡约有 16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【考点】一元二次方程的应用.【分析】(1)设降低的百分率为 x，则降低一次后的数额是 25 (1 - x)，再在这个数的基础 上降低x，则变成25 (1 - x

9、) (1 - x)即25 (1 - x) 2,据此即可列方程求解；(2) 每人减少的税额是 25x,则4个人的就是4X 25x，代入(1 )中求得的x的值，即可求 解；(3) 每个人减少的税额是 25x,乘以总人数16000即可求解.【解答】解：(1)设降低的百分率为 x，依题意有，25 (1-x) 2=16,解得，X1=0.2=20% , X2=1.8 (舍去)；(2) 小红全家少上缴税 25 X 20% X 4=20 (元)；(3) 全乡少上缴税 16000 X 25X 20%=80 000 (元).答：降低的增长率是 20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80

10、 000元.五、解答题(共1小题，满分10分)22如图，已知E是平行四边形 ABCD中BC边的中点，连接 AE并延长AE交DC的延长 线于点F.(1) 求证： ABE FCE ；(2) 连接AC、BF，若AE=BC，求证：四边形 ABFC为矩形；(3) 在(2)条件下，当 ABC再满足一个什么条件时，四边形 ABFC为正方形.【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定.【分析】(1)由正方形的性质得出 AB / CD , AB=CD，得出/ BAE= / EFC，由AAS证明 ABEFCE 即可；(2)由全等三角形的对边相等得出AB=FC ,由BE=CE ,得出

11、四边形ABFC为平行四边形，证出BC=AF，即可得出四边形 ABFC是矩形；(3)由等腰三角形的三线合一性质得出AE丄BC,得出四边形 ABFC是菱形，即可得出结论四边形ABFC为正方形.【解答】(1)证明：在正方形 ABCD中，AB / CD , AB=CD ,/ BAE= / EFC, E为BC的中点， BE=EC ,在厶ABE和厶FCE中，fZBAE=ZEFC ZAEB 二 ZFEC ，BEpCE ABE 也厶 FCE (AAS ),(2) 证明： ABE FCE, AB=FC ,/ BE=CE ,四边形ABFC为平行四边形，/ AE=EF= AF , AE= BC ,2 2 BC=AF

12、 ,四边形ABFC是矩形；(3) 解：当 ABC为等腰三角形时，即 AB=AC时，四边形 ABFC为正方形；理由如下： AB=AC , E 为 BC 的中点， AE 丄BC,四边形ABFC为平行四边形，四边形ABFC是菱形，又四边形 ABFC是矩形，四边形ABFC为正方形.六、(本题12分)23.【问题情境】如图1,四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分/ DAM .【探究展示】(1) 证明：AM=AD +MC ；(2) AM=DE +BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】(3) 若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，

13、如图2,探究展示(1)、( 2) 中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.【考点】四边形综合题；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形 的性质；正方形的性质.【分析】(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1 (1),易证 ADENCE，从而有 AD=CN，只需证明 AM=NM 即可.(2) 作FA丄AE交CB的延长线于点 F,易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE , 只需证明它们所在的两个三角形全等即可.(3) 在图2 (1 )中，仿照(1 )中的证明思路即可证到 AM=AD +MC仍然成立；在图2 ( 2) 中，采用反证法

14、，并仿照(2)中的证明思路即可证到 AM=DE +BM不成立.【解答】方法一：(1 )解：如图1 (1)过点E作EF丄AM交AM于F点，连接EM ,/ AE 平分/ DAM/ DAE= / EAF在厶ADE和厶AEF中，AE=AE/ D= / AFE=90 ADE AEF AD=AF , EF=DE=EC , 在厶EFM和厶ECM中， / EFM= / CEM=EMEF=CEEFMBA ECM , FM=MC , AM=AF +FM=AD +MC方法二：证明：延长AE、BC交于点N，如图1 (2),四边形ABCD是正方形， AD / BC ./ DAE= / ENC ./ AE 平分/ DAM

15、 ,/ DAE= / MAE ./ ENC= / MAE . MA=MN .在厶ADE和厶NCE中，fZDAE=ZCNE Zabd=ZhecDB=CE ADE ba NCE (AAS ). AD=NC . MA=MN=NC +MC=AD +MC .(2) AM=DE +BM 成立.方法一：证明：将厶ADE绕点A顺时针旋转90 ,得到新 ABF，如图1 (3) BF=DE，/ F= / AED .第仃页(共21页)/AB / DC,/ AED= / BAE ./ FAB= / EAD= / EAM ,/ AED= / BAE= / BAM +/ EAM= / BAM +/ FAB= / FAM

16、./ F= / FAM . AM=FM . AM=FB +BM=DE +BM方法二：证明：过点A作AF丄AE，交CB的延长线于点F,如图1 (4)所示.四边形ABCD是正方形，/ BAD= / D= / ABC=90 AB=AD , AB / DC./ AF 丄 AE ,/ FAE=90 / FAB=90 -Z BAE= / DAE .在厶ABF和厶ADE中，ZFAB=ZEADZABF=ZD=90 ABF BA ADE (ASA ). BF=DE , Z F= Z AED ./ AB / DC , Z AED= Z BAE .vZ FAB= Z EAD= Z EAM , Z AED= Z BA

17、E= Z BAM +Z EAM=Z BAM +Z FAB=ZFAM . Z F= Z FAM . AM=FM . AM=FB +BM=DE +BM .(3)结论AM=AD +MC仍然成立.四边形ABCD是矩形, AD / BC . Z DAE= Z EPC./ AE 平分Z DAM , Z DAE= Z MAE ./ EPC=/ MAE . MA=MP .在厶ADE和厶PCE中，rZDAE=ZCPE Zaed=ZpecDE=CE ADE PCE ( AAS ). AD=PC . MA=MP=PC +MC=AD +MC .结论AM=DE +BM不成立.证明：假设 AM=DE +BM成立.过点A作AQ丄AE，交CB的延长线于点 Q,如图2 ( 2)所示.第25页（共21页）四边形ABCD是矩形，/ BAD= / D= / ABC=90 AB / DC./ AQ 丄 AE ,/ QAE=90 / QAB=90 -Z BAE= / DAE . / Q=90-Z QAB=90 -Z DAE=Z AED ./ AB /