1不等式选讲学案

1、 模块：_ 选 修 4-5_ _ _ 章节： _ _ _不等式选讲_ _ 班级： _ _ _ _ 夷陵中学高二年级文科数学备课组编印 1.1.1不等式的基本性质 学习目标： 1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活使用实数的性质; 2. 掌握比较两个实数大小的一般步骤知识情景：1. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2. 不等式的基本性质：对称性： ；传递性： ；同加性： ；推论：同加性： ；同乘性： ， ； 推论1：同乘性： ； 推论2：乘方性： ； 推论3：开方性： ； 推论4：可倒性：

2、 . 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)案例学习：例1已知，求证： 例2若，则下列命题中能成立的个数是( )； 1 2 3 4.例3 若，试比较与的大小；设，且，试比较与的大小.例4 若满足，求的取值范围.例5已知，求证：课堂小结： 1.1.2基本不等式 学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件; 2. 初步掌握不等式证明的方法知识情景： 1. 不等式的基本性质：对称性： ；传递性： ；同加性： ；推论：同加性： ；同乘性： ， ； 推论1：同乘性： ；推论2：乘方性： ； 推论3：开方性： ； 推论4：可倒性： . 2. 比较两数大小的一般方法：比差法

3、与比商法(两正数时)建构新知： 1定理1 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立. 证明： ,当且仅当时, 等号成立. ,当且仅当时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立. 讨论： 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同? 如何证明基本不等式? 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗? 怎样用语言表述基本不等式?案例学习： 例1在三个结论：其中准确的个数是（ ） ， ， A0 B1 C2 D3 例2设，求证：(1) ; (2) 例3 (1) 设 ； (2) 设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_.(3) 若正数满足，则的

4、取值范围是 例4、一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有 的面 积，问应如何设计十字型宽及长，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上 的铜线最节省例5、（1）已知是正常数,，求证：,指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值课堂小结：1.1.3基本不等式(2) 学习目标：1. 理解并掌握重要的基本不等式; 2. 理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3. 初步掌握不等式证明和应用知识情景： 1定理1 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成

5、立. 讨论: 给图如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗? 怎样用语言表述基本不等式? 在应用基本不等式时要注意什么? 推论10. 两个正数的算术平均数, 几何平均数, 平方平均数 , 调和平均数， 从小到大的排列是: 热身：某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为则每辆客车营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ） A3 B4 C5 D6 设且，求的最大值. 探究：类比基本不等式：如果, 那么.当且仅当时, 等号成立. 如果,那么 .当且仅当 时, 等号成立.建构新知： 问题：已知, 求证：当且仅当时, 等号成立

6、. 证明: 定理3 如果, 那么, 当且仅当时, 等号成立. 定理3的国语表述: 推论 对于个正数, 它们的 即 当且仅当时, 等号成立.案例学习： 例1已知, 求证：; ; 例2用一块边长为的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖 的盒子要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？例3 求函数的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.解一:. 解二:当即时, 正解:课堂小结： 1.2.1绝对值不等式 学习目标： 1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用知识情景：定理3 如果, 那么, 当且仅当时, 等号成立.

7、定理3的国语表述: 推论：对于个正数, 它们的 即 当且仅当时, 等号成立.探究：许多不等关系都涉及到距离的长短、面积或体积的大小、重量，等等，它们都要通过 非负数来表示.因此，研究含有绝对值的不等式具有重要大的意义.建构新知： 1绝对值的定义：， 2. 绝对值的几何意义：实数的绝对值，表示数轴上坐标为的点A 两个实数，它们在数轴上对应的点分别为， 那么的几何意义是 例1、 设函数 解不等式；求函数的最值 2. 绝对值三角不等式：探究，之间的关系. 时,如下图, 容易得：. 时,如图, 容易得：. 时,显然有：. 综上,得定理1 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立. 在上面不等式中,用向

8、量分别替换实数, 则当不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量构成三角形, 因此有 它的几何意义就是: 定理2 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.案例学习： 例2、 已知 ，求证 ， 已知，求证：。课堂小结：1.2.2含绝对值不等式的解法 学习目标： 1. 掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法; 2. 理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化知识情景：定理1 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果, 那么. 当且仅当 时,等号成立.建构新知：含绝对值不等式的解法 1设为正数, 根据绝对值的意义，不等式的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间

9、，如图所示. 2设为正数, 根据绝对值的意义，不等式的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图所示. 3设为正数, 则; ; 设, 则. 4 ； . 案例学习： 例1解不等式(1); (2). 例2 解不等式(1); (2) .例3 解不等式 . 例4 (1)若不等式的解集为，则实数等于( ) (2) 不等式 ，对一切实数都成立，则实数的取值范围是 例5 已知，且，求实数的范围.课堂小结：2.1.1不等式的的证明(1)比较法 学习目标： 1. 理解并掌握证明不等式的基本方法-比较法; 2. 了解琴生不等式的及其背景知识情景： 1绝对值三角不等式： 定理1 如果, 那么. 当且

10、仅当 时, 等号成立. 定理2 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.2. 含绝对值不等式的解法：设为正数, 则 ; ;设, 则.3实数大小必较法则： 案例学习： 例1 设，求证：. 例2 若实数，求证：例3已知求证 例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时 间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走. 如果， 问甲、乙两人谁先到达指定地点. 例5 设 求证；对任意实数，恒有 课堂小结： 2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法 学习目标： 1. 理解并掌握综合法与分析法; 2. 会利用综合法和分析法证明不等式知识情景： 1. 基本

11、不等式：如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.如果, 那么, 当且仅当时, 等号成立. 2.均值不等式：如果,那么 的大小关系是： 常用推论： ; ; ; (). 3. 不等式证明的基本方法：比差法与比商法(两正数时) 综合法和分析法 反证法、换元法、放缩法案例学习： 综合法：从已知条件、不等式的性质、基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：例1 例2分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公

12、理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系：例3 例4 例5 证明： 课堂小结：2.1.3不等式的的证明(3) 学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时) 20. 综合法和分析法 30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从已知条件、不等式的性质、基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等

13、式的逻辑关系：3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系：新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1已知 + b + c 0，b +

14、bc + c 0，bc 0，求证：, b, c 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有：10已知，可设 ， ；20已知，可设 ， ()；30已知，可设 ， .例2 设实数满足，当时，的取值范围是（ ） 例3 已知，求证：3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：添加或舍去一些项，如：， 将分子或分母放大（或缩小）如： 应用“糖水不等式”：“若，则” 利用基本不等式，如：； 利用函数的单调性 利用函数的有界性：如：； 绝对值不等式：； 利用常用结论：如：， 应

15、用贝努利不等式： 例4 当 n 2 时，求证：例5求证：例6 若a, b, c, dR+，求证：课堂小结：3.1 柯西不等式 重点难点： 教学过程：1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则， 其中等号当且仅当时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3：（三角

16、形不等式）设为任意实数，则：分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的一般形式）：设为大于1的自然数，（1，2，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。如果（）全为0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设 ，等号成立当且仅当变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，n），则：，等号成立当且仅当。二、典型例题：例1、已知，求证：。例2、设，求证：。例3、设为平面上的向量，则

17、。例4、已知均为正数，且，求证：。方法1：方法2：（应用柯西不等式）例5：已知，为实数，求证：。分析：推论：在个实数，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。三、小结：四、练习： 3.2利用柯西不等式求最大（小）值目的要求： 重点难点： 教学过程：一、引入： 1、柯西不等式：。二、典型例题：例1、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？例2、如图，等腰直角三角形AOB的直角边为1，在这个三角形内任意取一点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最

18、小值时点P的位置。分析：例3、设a为实常数,试求函数 (xR)的最大值 例4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数三、小结：3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1. 教学排序不等式： 看书：P42P44. 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:;.是，的任一排列,则有 + (同序和)+ (乱序和)+ (反序和) 当且仅当=或=时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式）2. 教学排序不等式的应用： 出示例1：设是n个互不相同的正整数，求证：. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程： 设是的一个排列，且，则. 又，由排序不等式，得 小结：分析目标，构造有序排列. 练习：已知为正数，求证：. 解答要点：由对称性，假设，则，于是 ， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式.4.1.1数学归纳法证明不等式（一）学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步