专题四万有引力定律及其应用

1、万有引力定律及其应用导学导练*热点突破 /揭示命题规律突破高枣热点热点一万有引力定律的应用命题规律：万有引力定律的应用在高考中也时有考查.题型主要为选择题，命题角度有以下几点：（1）利用补偿法求万有引力的大小.（2）结合比例运算求解重力加速度等问题.（3）考查重力与万有引力的关系的应用.突破题组1. （2014南昌高三调研）我国于2013年成功发射携带月球车的“嫦娥三号”卫星，并将月球 车软着陆到月球表面进行勘察假设“嫦娥三号”卫星绕月球做半径为r的匀速圆周运动，其运动周期为T,已知月球的半径为 R,月球车的质量为 m,则月球车在月球表面上所受到 的重力为（） 24 nmrA. t2,24 n

2、mR C.,24 n mRB. T23_ 4 nmr3苛 d.r2,4 n , r;月球234 nmrF =T R ，车在月球表面上所受到的重力等于其受到的万有引力,解析“嫦娥三号”卫星绕月球做半径为 r的匀速圆周运动，有 GMm = m 则F =饗卩,联立可得:选项D正确，选项A、B、C错误.答案D2. （2014潍坊模拟）据报道，美国耶鲁大学的研究人员发现了一颗完全由钻石组成的星球，通 过观测发现该星球的半径是地球的2倍，质量是地球的8倍设在该星球表面附近绕星球运行的卫星的角速度为 w1、线速度为V1，在地球表面附近绕地球运行的卫星的角速度为a线速度为V2,则沁为（）32V2解析该星球与地

3、球表面的重力加速度之比为:g1 M1R2讐M2R汗2,近地卫星的向心加速度等于星球表面的重力加速度，即g1= ag2= a231V132V2故C正确.A.8B.4C.2D.1答案C3. （多选）为了探寻金矿区域的位置和金矿储量，常利用重力加速度反常现象如图所示，P点为某地区水平地面上的一点，假定在 P点正下方有 一空腔或密度较大的金矿，该地区重力加速度的大小就会与正常情况有 微小偏离，这种现象叫做“重力加速度反常” 如果球形区域内储藏有 金矿，已知金矿的密度为p,球形区域周围均匀分布的岩石密度为p,且P p.又已知引力常量为 G,球形空腔体积为 V，球心深度为d（远小于 地球半径），则下列说法

4、正确的是 （）A .有金矿会导致P点重力加速度偏小 B .有金矿会导致 P点重力加速度偏大C. P点重力加速度反常值约为Ag= G P d罗VD .在图中P1点重力加速度反常值大于P点重力加速度反常值解析因为金矿对地球表面物体的引力大，所以有金矿会导致P点重力加速度偏大，即B 正确，A错误；根据万有引力定律可知 P点重力加速度反常值约为 A = G P d ，即C正 确；因为Pi点较远，所以在图中 Pi点重力加速度反常值小于 P点重力加速度反常值，即 D 错误.答案BC总结提升万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用，故求一般物体间的万有引 力时，应把物体进行分割，使之能视为质点后再用F

5、= Gm；m求质点间的各个作用力，最后求其合力对于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用万有引力定律的公式来计算， 式中的r是两个球体球心间的距离； 一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用公式 F = Gmr1计算，式中r是球体球心到质点的距离对于一般情况物体间的万有引力中学阶段 无法求解，但某些特殊情况下我们应用“补偿法”可以求出其万有引力的大小)命题规律一般体现在以下两热点二天体质量和密度的计算 命题规律：天体质量和密度的计算问题是近几年来高考的热点.个方面：(1) 结合星球表面重力加速度考查.(2) 结合卫星绕中心天体做圆周运动考查.突破題组1. 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆

6、周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G,则这颗行星的质量为()2 4mvB mvA. GNB/GnNv2Nv4C.GmD.Gm解题指导解答本题时应明确以下两点：(1) 在行星表面附近做匀速圆周运动的物体轨道半径约等于行星半径.4mv , GN，故选B.(2) 万有引力(约等于重力)提供向心力.2解析由 N = mg，得 g= ，据 G*? = mg 和 GMRm = m得 M =答案B2. 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的N m2/kg2，由此估算

7、该行星的平均密度约为3 3A . 1.8 x 10 kg/mB.4 3C. 1.1 x 10 kg/mD.解析近地卫星绕地球做圆周运动，11 25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G = 6.67X 10( )3 35.6 x 10 kg/m4 32.9x 10 kg/m433 n33M =nR，解得 p= gt?5.6x 10 kg/m，由已知条-25-m所受万有引力充当其做圆周运动的向心力， ，由密度、质量和体积关系有件可知该行星密度是地球密度的倍，即卩卩行=5.6 x 103x 47 kg/m 3= 2.98X 104 kg/m3,选 项D正确.答案D3.（20

8、14高考新课标全国卷n）假设地球可视为质量均匀分布的球体.度在两极的大小为 go,在赤道的大小为g;地球自转的周期为 为（）3 冗 go gA.已知地球表面重力加速T,引力常量为G.地球的密度2-B.；GTgo3 nD.3 ngoG7GT2gC.3 n go2gog解析物体在地球的两极时,Mm 八，亠, mgo = GRR，物体在赤道上时,mg+ m罕2只=GMm，以上两式联立解得地球的密度3 ngoP= 2.故选项B正确，选项GT go gA、C、D错误.答案B总结提升估算中心天体的质量和密度的两条思路 1测出中心天体表面的重力加速度g.由gMR2= mg求出M，进而求得_ JM = M =

9、 3g尸 V = 4_ = 4 tGR.3nR2利用环绕天体的轨道半径2由GM?l= mTjzrr可得出 M =r、24 nr周期T.3若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径M 3 nr =只，则 p= 4= GT2.4nR3 GT 3kR热点三人造卫星的定轨问题命题规律：人造卫星问题一直是近几年高考的热点，命题规律主要是结合圆周运动规律、万有引力定律进行考查：（1）考查卫星在轨道运行时线速度、角速度、周期的计算.（2）考查不同轨道卫星各个物理量的比较.（3）结合宇宙速度考查.|JE|!|突破题组1. （2oi4合肥质检）“北斗”系统中两颗工作卫星 1和2在同一轨道上 绕地心O沿顺

10、时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻它们 分别位于轨道上的 A、B两位置，如图所示.已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为 R,不计卫星间的相互作用力.以下判断中 正确的是（）2rA .这两颗卫星的向心加速度大小为a= R2gB .这两颗卫星的角速度大小为C.卫星1由位置A运动至位置B所需的时间为D .如果使卫星1加速，它就一定能追上卫星 2解析卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，即：G：?* = ma,由万有引力与重力关系,gR2,B项错;卫星GMRm = mg,解两式得：a= Rg, A项错；由a = 3r,将上式代入得：3=12 n n1由位置A运动到位置B所需时间

11、为卫星周期的6,由T=3, t= 3R ,g , C1加速后做离心运动，进入高轨道运动，不能追上卫星2, D项错.卫星C高考天津卷)研究表明，地球自转在逐渐变慢, 时假设这种趋势会持续下去，项正确;答案2.(2014地球的其他条件都不变,3亿年前地球自转的周期约为22小未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A 距地面的高度变大 C.线速度变大B.向心加速度变大D.角速度变大解析同步卫星运行周期与地球自转周期相同，由_ Mm_G= m(R+ h)(R+ h)3 GMT2R,故T增大时h也增大,A正确.同理由GMmv22 .2= ma= m= m(R+ h)3 可R+ hR+ hGMR+ he

12、 GM得a=2R+ h错误.答案A3.(2014高考福建卷)若有一颗GM 3,故h增大后a、v、3都减小，B、R+h该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的)q倍，则解析同理该倍A. .pq 倍 B.倍 D. . pq3 倍设地球质量为 M，半径为R,根据刍霁2=mR得地球卫星的环绕速度为 v =“宜居”行星卫星的环绕速度为v，GqRM，故v为地球卫星环绕速度的；GMR，倍.选项C正确.答案C总结提升人造卫星的an、v、T、3与r的关系(1)做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供卫星所需的向心力，由4 2=mr = man可推导出2GMm mv

13、22 = mr3r rv=3=GM?当r增大时， v减小3减小T增大-an减小an= GM2v= 7.9 km/s最大，为第一宇宙速度,3为最大环绕角速度当= R地时，T为最小周期 an为最大加速度g表考点聚焦*命题预测聚焦高频考庶押他见证奇逝对卫星变轨问题的考查命题规律：卫星或航天器的变轨问题是高考热点，预计命题角度有以下几点：（1）发射过程中的变轨问题，考查卫星的速度、周期、加速度.（2）考查航天器对接过程中的轨道控制.（3）考查变轨前后的速度、周期及机械能的比较.謹例多送）（2014 -鬼明二槌广嫦娥一号”樑月卫星晚地运行一夙时IM后+离开哋球飞向月球，如图所示星绕地飞行的三条軸道.轨道

14、1是返地圆形轶逍E利M是变轨后的橋圆勒逋一丸点是2轨追的近她点虑是2觀迫.-表示卫星=Fit，且运对建隼快龙-的逓地点，卫屋圧软逋1的远行理度为H. 7 kn*盼则下列龜祛正菊的足*:.，说明卫摄征2山社道上谨行时，逢丘更化，便（ j九卫挺布2轨道经过片点时的連宰一宦大于7, 7 km/s田片恒息芒肖妣遺袖切于近地点+而3就逍的黃*丸于2轨道杓拴轴.it明卫崔求_3眈追上的机感脸一比卫早在2轨道经过月点时的速率一定小于7. 了 Akm/s匚卫星也$眈逍所且有的机械能小于2轨辺所具有的机械能2Mm vi g2 = my，卫卫星在2轨道B2Mmvb,Gf = m，由 rBb0卫垦在a執道听貝有的金

15、大速寧小于z轨追所具冷的量丸壺宰解析卫星在1轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得2星在2轨道A点做离心运动，则有V 口罕，故ViV V2A,选项A正确；2点做近心运动，则有 m严，若卫星在经过 B点的圆轨道上运动，则于VB,所以Vi VB,故V2BV vbV Vi= 7.7 km/s，选项B正确；3轨道的高度大于2轨道 的高度，故卫星在 3轨道所具有的机械能大于在2轨道所具有的机械能，选项C错误；卫星在各个轨道上运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，在A点时重力势能最小，动能最大，速率最大，故卫星在3轨道所具有的最大速率大于2轨道所具有的最大速率，选项D错误.答案AB总结提升（1

16、）卫星从一个稳定轨道变到另一稳定轨道，称为变态，即变轨问题，此过程不 满足F向=F万，应结合离心运动和近心运动的知识以及能量守恒定律去解决.即假设当卫星速度减小时F向V F万，卫星做近心运动而下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反.（2）天体运动的机械能与轨道是对应的，不同的轨道对应着不同的机械能，要改变轨道必须改变天体的机械能.最新预测1（多选）我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠 近，并将与空间站在 B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T,万有引力常量为 G

17、,下列说法中正确的是（）A .图中航天飞机正加速飞向 B处 B 航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速 C.根据题中条件可以算出月球质量 D 根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小 解析：选ABC.航天飞机飞向B处时，月球引力做正功，所以正在加速，即选项 A正确；假 设航天飞机在B处不减速，将继续在原来的椭圆轨道运动，所以必须点火减速，所以选项BMm 4 n4 n3、正确；由Gr2 = m斤rr得月球的质量 M = gT，所以选项C正确；因为空间站的质量不知 道，不能算出空间站受到月球引力的大小，所以选项D错误.最新预测2（多选）2013年12月2日，我国探月卫星“嫦娥三号”

18、在西昌卫星发射中心成功发射升空，飞行轨道示意图如图所示.“嫦娥三号”从地面发射后奔向月球，先在轨道I上运行，在 P点从圆形轨道I进入椭圆轨道n,Q为轨道H上的近月点，则“嫦娥三号”“嫦娥三号摄飞行轨蛋示意图在轨道n上（）A 运行的周期小于在轨道I上运行的周期B .从P到Q的过程中速率不断增大C.经过P的速度小于在轨道I上经过 P的速度D .经过P的加速度小于在轨道I上经过 P的加速度3r解析：选ABC.根据开普勒第三定律k,可判断“嫦娥三号”卫星在轨道n上的运行周期小于在轨道I上的运行周期，A正确；因为P点是远地点，Q是近地点，故从 P点到Q点的过程中速率不断增大，B正确；根据卫星变轨特点可知

19、， 卫星在P点从圆形轨道I进入椭 圆轨道n要减速，C正确；根据牛顿第二定律和万有引力定律可判断在P点，卫星的加速度是相同的，D错.失分防范1卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v= 罕）判断.变轨前后的速度较易发生误判.2航天器在同一轨道上稳定运行过程中机械能守恒.,3同一航天器在不同轨道上稳定运行过程中，机械能不同，轨道半径越大，动能越小，机械能越大.）课时演练知能提升单独庭删竦JS丸蛭勰提升解技儀一、选择题1. （2013高考上海卷）小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可则经过足够长的时间后， 小行星运认为小行星

20、在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动. 动的（）A .半径变大C.角速度变大B. 速率变大D. 加速度变大解析：选A.因恒星质量M减小，所以万有引力减小，不足以提供行星所需向心力，行星将做离心运动，半径 R变大,角速度、加速度均变小，故A项正确，再由B、C、D均错误.v=a = GRM可知,速率、2. （2014高考浙江卷）长期以来“卡戎星（Charon） ”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转 轨道半径 门=19 600 km,公转周期6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的 小卫星，其中一颗的公转轨道半径匕=48 000 km,则它的公转周期 T?最接近于（）A . 15 天

21、B. 25 天C. 35 天D. 45 天33p3解析：选B.根据开普勒第二定律得 节=T，所以T2=遷心25天，选项B正确，选项A、C、D错误.11 2 2N m /kg ,3. （2013高考大纲全国卷）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度 为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟.已知引力常量 G= 6.67X 10 月球半径约为1.74 X 103 km.利用以上数据估算月球的质量约为（137.4 X 10 kg227.4 X 10 kg10A . 8.1 X 10 kgB.19C. 5.4X 10 kgD.月球的质量为M，根据万有引力提供向心力G =（

22、R+ h）m 2T52（R+ h），将 h= 200 000 m，T= 127X 60 s，G= 6.67X 10-11 N m2/kg2, R= 1.74X 106 m，22代入上式解得 M = 7.4X 10 kg，可知D选项正确.4. （2014高考江苏卷）已知地球的质量约为火星质量的10倍，倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为A. 3.5 km/sC. 17.7 km/s解析：选D.设探月卫星的质量为 m,B. 5.0 km/sD. 35.2 km/s解析：选A.由附近的航天器有:2一 Mm vG7 = m；得，对于地球表面附近的航天器有：2M m mv2 ,卄亠一

23、G 厂=2，由题意知M r r地球的半径约为火星半径的2（ ）2= 字，对于火星表面r2，且 vi = 7.9 km/s，联立以上各式得V2 3.5 km/s，选项A正确.5. （2014南通二模）我国古代神话中传说，地上的某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的果把看到一次日出就当作“一天”，“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天.如 三，则该卫36天”数约为（已知月球的运行周期为 27天）（）824星上的宇航员24 h内在太空中度过的A. 1B.C. 16D.32GRr = m#；R得R|= g解得卫星运行的周期为3 h，故24 h内看到8次日出，B项正确.解析：选B.根据天体运动的公式6.

24、（2014潍坊模拟）某月球探测卫星先贴近地球表面绕地球做匀速圆周运动，此时其动能为 Ek1，周期为T1;再控制它进行一系列变轨，最终进入贴近月球表面的圆轨道做匀速圆周运动，此时其动能为Ek2，周期为T2.已知地球的质量为M1,月球的质量为M2，则护（）M1 Ek2 M1 Ek1A.B.M2Ek2.旦2D Mi 冋Ek1 . M2 . Ek2M2Ek1解析：选C卫星绕地球做匀速圆周运动，=2 n .GM1 ；同理卫星绕月球做匀速圆周运动,G，解各式得：T2 = 22V1=m = mR1M2mv22 n 2Gzr = m = m R2R2T2R1M 2 Ek1 M1R2T1 M1RM；，E2= M

25、2R1,解两式得：T2=庇T11,12_M1mEk1 = qmv1= G2R , T11 2M2mR2, Ek2= ?mV2= G 2R，/J93, C 项正确.）如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动, 下列说法正确的是（）7.（多选）（2014高考广东卷球相对飞行器的张角为 0,A .轨道半径越大，周期越长B .轨道半径越大，速度越大C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D .若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析：选AC.设星球质量为 M , 口年知T= 2 n ；GrM，r越大，T越大，选项A正确；由GyMm v越小，选项B错误；由G- = m半径为R，飞行器绕星球转动半

26、径为r，周期为由GMmr Mmv2.2 = m：知 v =33 n R . 0,尸GFR3,又7 = Sin2,所以P=4 nM和p=厂得3泯号，r越大,3 n23 OGT sin -所以选项C正确，D错误.& （多选）（2014浙江省六校联考）如图所示，卫星由地面发射后，进入 地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探测（）A .卫星在轨道川上的运动速度比月球的第一宇宙速度小 B .卫星在轨道川上经过P点的速度比在轨道I上经过C.卫星在轨道川上的运动周期比在轨道I上短 D .卫星在轨道I上的机械能比在轨道n上多P点时大轨适IAj* *

27、JGMD正确.R,线速度为v,周期为T,若要使卫星解析：选ACD.由题图知，r I r n r皿r月，由万有引力定律、牛顿第二定律得，v =A正确；卫星在T=gm，卫星在轨道川上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，选项轨道川上经过 P点的速度比在轨道I上经过 P点时小，选项 B错误；卫星在轨道川上运动 周期比在轨道I上短，选项C正确；卫星从轨道I运动到轨道n要靠人为控制减速实现，故卫星在轨道I上的机械能比在轨道n上多，选项 9人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为的周期变为2T,可以采取的办法是（）A . R不变，使线速度变为 v/2B . v不变，使轨道半径变为 2RC.使轨道半径变为3 4R D .使卫星的高度增加 R解析：选C对于卫星的运动，当R 一定时，卫星的线速度v .GM 一定，周期T = 2 n定，所以只有当轨道半径变为34R时，卫星的运动周期才可变为2T,即C选项正确.10.如图所示，三个质点a、b、c质量分别为mi、m2、M(M?mi,M?m2).在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta : T