chap4+高级Lyapunov稳定性理论ppt课件

1、第4章 高级Lyapunov稳定性理论,4.1 非自治系统的稳定性概念,4.2 非自治系统的稳定性分析,4.3 基于Barbalat引理的稳定性分析,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,一、平衡点,如果系统的状态 x* 满足,则称其为系统的一个平衡点,4.1 非自治系统的稳定性概念,第 4章 高级稳定性理论,对非自治非线性系统,非自治系统可能不存在平衡点。 对不存在平衡点的非自治系统不能用Lyapunov稳定性理 论进行分析,School of Electrical Engineering, Zhengzhou Univ

2、ersity,例4.1 考虑非线性系统,4.1 非自治系统的稳定性概念,系统有一个平衡点0。对系统,系统没有平衡点,二、非自治系统的稳定性,定义4.1 平衡点 x = 0 在 t0 称为稳定的，如果任意给定R 0，总存在 r (R,t0) 0 使得当 |x(t0)|0)。 否则称为不稳定平衡点,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,定义4.2 平衡点 x = 0 在 t0 是渐近稳定的，如果 1、它是稳定的； 2、 r(t0) 0，使得当 |x(t0)| r 时，总有|x(t)|0，t,定义4.3 平衡点 x = 0 是指

3、数稳定的，如果存在正数,使得对充分小的 x(t0)，有,定义4.4 平衡点 x = 0 是全局指数稳定的，如果对任意x(t0)，有x0，t,例4.2 非线性系统,4.1 非自治系统的稳定性概念,稳定,渐近稳定,指数稳定,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,它的解为,三、一致稳定性 (Uniform stability,定义4.5 平衡点 x = 0 是局部一致稳定的，如果可以选择定义4.1中的标量 r 与 t0 无关，即r = r(R),定义4.6 平衡点 x = 0 局部一致渐近稳定的，如果 1、它是一致稳定的； 2、

4、存在与 t0无关的 r 0，使得当 |x(t0)| r 时，系统状态一致收敛于0,例4.3 考虑一阶系统,系统的解渐近收敛于零，但不是一致收敛,4.1 非自治系统的稳定性概念,注4.1： 一致渐近稳定蕴含渐近稳定；指数稳定蕴含渐近稳定，而渐近稳定不保证指数稳定,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,4.2.1 非自治系统的Lyapunov直接方法,一、时变正定函数和具有无穷大上界的函数,定义4.7 标量时变函数 V(x,t) 是局部正定的，如果 V(0,t)=0 且存在时不变

5、正定函数 V0(x) 使得,定义4.8 标量时变函数 V(x,t) 具有无穷大上界，如果 V(0,t)=0 且存在时不变正定函数 V1(x) 使得,第 4章 高级稳定性理论,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,例4.4 下面时变函数是否正定，是否具有无穷大上界,该函数是正定的，控制函数,也具有无穷大上界，控制函数,二、非自治系统的Lyapunov定理,定理4.1 如果在平衡点0的邻域 BR0 内存在具有连续偏导数的标量函数 V(x,t) 使得 (1) V是正定的； (2) 是负半定的。 那么平衡点在Lyapunov意义下

6、稳定,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,如果条件(1)(2)满足并且 (3) V 具有无穷大上界。 那么平衡点一致稳定。如果条件(2)加强为 负定，则平衡点一致渐近稳定。 如果球BR0用全空间代替，且满足条件(1)、加强条件(2)、条件(3)以及 (4) V(x,t)是径向无界的。 则平衡点全局一致渐近稳定,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,例4.5

7、 考察下面时变系统,选择标量函数,该函数正定，且具有无穷大上界。同时,负定。故平衡点全局渐近稳定,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,定义4.9 称连续函数 : R+ R+ 为 K 类函数，如果,引理4.1 函数 V ( x ,t ) 是局部（或全局）正定的，当且仅当存在一个 K 类函数 ，使得对 t 0， x BR0（或全状态空间），有 V(0,t) = 0 及,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,是不减的,函数 V ( x , t )具有局部（或全局）无穷大

8、上界，当且仅当存在 K 类函数 ，使得对 t 0 ， x BR0（或全状态空间），有V ( 0, t) = 0 及,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,定理4.2 假设在平衡点0的某邻域内，存在具有连续偏导数的标量函数 V ( x ,t ) 和一个 K 类函数 ，使得对 x 0，有,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,则原点在Lyapunov意义下稳定。进一步，如果存在一个 K 类函数 ，使得,则原点一致稳定。如果条件1和3成立，且条件2a替换为,其中 为另一个K 类函数，则原点一致渐近稳定。如果在整个状态空

9、间都满足条件1，2b和3，且,则原点全局一致渐近稳定,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,几点说明： 1、对自治系统，如果V正定且其沿系统轨线的导数负定，则原点渐近稳定。对非自治系统，还必须加上无穷大上界的条件。 2、V的正定性及其导数的半负定性能够保证原点的稳定性。如果V的导数负定，则可以找到一个无穷序列ti，使得x(ti)0，i。 3、对非时变质量-弹簧-阻尼系统，如果阻尼为正，则系统渐近稳定。对带有时变阻尼的质量-弹簧-阻尼系统，阻尼c(t)严格大于零不能保证原点的渐近稳定性。如,4.2 非自治系统的Lyapuno

10、v稳定性分析,对初始状态x(0)=2,x(0)=-1的解为,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,任何线性时不变系统的标准分析方法（如特征值判别法）都不能用于线性时变系统。Lyapunov直接方法是研究线性时变系统稳定性的一种有效方法,考虑下面时变线性系统,如果对任意 t0，A(t) 的特征值均具有负实部不能保证系统的稳定性。例如,矩阵A(t)的特征值在所有时间内均为-1。但是,三、线性时变系统的稳定性分析,x1可视为一阶滤波器的输出，输入趋于无穷，故系统不稳定,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,School

11、 of Electrical Engineering, Zhengzhou University,线性时变系统渐近稳定的充分条件是对称矩阵A(t)+AT(t) 的所有特征值具有负实部,证明：选择Lyapunov函数 ，则,于是,因此 x 指数趋近于零,1、摄动线性系统,考虑以下形式的线性时变系统,一些特殊的线性时变系统稳定性结论,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,以及,2、矩阵A(t)充分光滑性条件,对线性时变系统，假设对t0，A(t)的所有特征值都具有负实部，且矩阵A(

12、t)都是有界的，即,则系统全局渐近稳定,则系统全局指数稳定,其中A是定常胡尔维茨矩阵，时变矩阵A2(t)满足,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,讨论： 1、对非自治系统，线性化方法是否依然有效？ 一般来说，非自治系统的雅克比矩阵A通常是时变的。 如果线性化后系统一致渐近稳定，则原系统也是一致渐近稳定的。 如果线性化后系统仅仅是渐近稳定的，则不能得出原系统稳定性的任何结论。 2、Lyapunov函数的存在性？ 如果非自治系统的原点是稳定的，则存在一个具有非正导数的正定函数V

13、(x,t)。 如果平衡点是一致渐近稳定的，则存在一个具有负定导数的正定且具有无穷大上界的函数V(x,t,4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,对自治系统，不变集原理是研究系统稳定性的强有力工具，而Barbalat引理是分析非自治系统稳定性的重要工具,给定一个关于 t 的可微函数，有下面三个重要结论,4.3 基于Barbalat引理的稳定性分析,4.3.1 函数及其导数的渐近性质,1、 收敛,几何上，导数趋于零意味着切线越来越平，但这并不意味着该函数收敛。如： 或,2、f 收敛

14、,当 t 时，f 存在极限并不意味着导数趋于零。如,第 4章 高级稳定性理论,3、如果 f 有下界且非增，则存在极限,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,4.3.2 Barbalat引理,引理4.2 如果可微函数 f(t)当t时存在有界极限，且 一致连续，则 t 时,4.3 Barbalat引理,注4.2： 1、可微函数一致连续的充分条件是其导数有界。该条件是 验证函数是否一致连续的简单方法。 2、Barbalat引理的一个直接而有用的推论： 如果可微函数 f(t) 当 t 时存在有界极限，f 二阶导数存 在且有界，则当 t 时，f 一阶导数 0,School of Electrical Engineering, Zhengzhou University,下面引理由Barbalat引理直接得出，在非自治系统分析中的作用类似 LaSalle不变集原理,1) V(x,t) 有下界,2) 半负定,引理4.3（类Lyapunov引理） 如果存在标量函数满足,3) 对时间一致连续,那么,证明：根据定理条件，V 存在极限 V，使得V V(x(0),0) ， 由Barbalat引理可证,4.3 Barba