多位数计算.教师版

1、多位数计算即蜒教学目标多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色，因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运算的一切考法，还有自身的独门秘籍”，那就是 数字多的数不出来”，只能依靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构，然后再确定方法进行解题。多位数的主要考查方式有1用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算 2计算多位数的各个位数字之和 削柳匸知识点拨一、多位数运算求精确值的常见方法1. 利用999.山9 =10k -1，进行变形k个 92. 以退为进”法找规律递推求解二、多位数运算求数字之和的常见方法M XQ99的数字和为9乂.(其中M为自然数，且 M说9护)可以利用上面

2、性质较快的获得结果.k个9k个9削強匸例题精讲模块一、多位数求精确值运算【例 1】 计算：5_5 33.二2007个52007个3【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算【解析】 这道题目，你会发现无规律可循这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将33 3乘以3凑2007个 3出一个999，然后在原式乘以 3的基础上除以3,所以2007个3原式 =55 5 99 ”9 3 = 55 ”5 (100 ”0 -1 ) 3 =( 55 ” 500 ”0-55”5)32007个5 2007个92007个52007个02007个5 2007个0 2007个5=5554445-3=185185

3、1848148148152006个 5 2007 个4668个185668个 148【答案】185 二/1851848148 _ _14815668个185668个148【巩固】计算：888 3332007个82007个3【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算【解析】 这道题目，你会发现无规律可循这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将33 3乘以3凑2007个 3出一个99二9，然后在原式乘以 3的基础上除以3,所以2007 个9原式=88_淬899-皿9 t 3 = 88-8( 100.士0 -1 厂:-3=(88_ 心800_：0- 88心8)32007个82007个920

4、07个82007个02007个8 2007个02007个8【巩固】计算3333 590492004 个 3【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算【解析】我们可以把3333转化为9999亠3，进而可以进行下一步变形，具体为：2004个32004个9原式=333|3 59049 =999JII9“3 59049 =999川9 196832004个32004个92004个9=(1000 Q -1) 19683 =1968300.0 -19683 =1968299.29803172004个02004个01999个9【答案】1968299.99803171999个 9【巩固】计算66611

5、6 9 333J的乘积是多少?2004个62008个3【考点】多位数计算之求精确值【解析】我们可以将原题的多位数进行【难度】3星999 l|9 =10k -1 的变形:k个9【题型】计算【答案】原式=333.匹 2 3 3 33艸3 =遛山_3 2 3 999山92004个32008个32004个32008个9= 199998(10000 _1)=199998 X100Q0-1999982003个92008个02003个92008个02003个9=1999 979998000 ! 1102 .2003个92003个0199 I 979998000022003个92003个0【巩固】快来自己动手

6、算算(111 99 ； 92007 个12007个 999 ； 9 7_7)2007个92007个73的结果看谁算得准?【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【解析】 本题是提取公因数和凑整的综合。原式=999 (111 777)3 =99 ”9 ： 88 ”832007个92007个12007个72007个92007个8【题型】计算=(1 00 ”0 _1)： 888 32007个02007个8=(88 .；800 _.； 0 -88”： 8)2007个82007个02007个8-3 =88-8711 12 -：-32006个82006个1=296 ： 29629570373704668个

7、296668个037【答案】296 、； 2962957037 二 03704668个296668个037巩 固】 计算 99、； 9 88 ：二8亠66 G2008个92008个82008个6【考点】多位数计算之求精确值【解析】本题着重是给大家一种凑的思想,【难度】3星【题型】计算除数是 666，所以需要我们的被除数也能凑出2008个 666 62008个 6这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以：原式=3 333 4 222 666 =3 4 111 666 6662008个 32008个 22008 个62008 个12008个 62008 个 6=3 444 =133322008个4

8、2007个3【答案】133322007 个 3【例2】 请你计算99 9 99 9 199 9结果的末尾有多少个连续的零？2008个 9 2008个 92008个 9【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算【解析】同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生按照两种思路给学生展开 方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律9 9=81 ; 99 99=9801 ; 999 999=998001 ; 9999 9999=99980001 ; 所以：9叫=9叫 |980一0 Ll| 012008个 9 2008个 92007 个92007个 0原式 =91198001+19

9、車9 =100 02007个9 2007个02008个94016个0方法二：观察一下你会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中999 很接近1 000,于是我们采用添项凑整，简化运算。原式=(100 Q-1)99 9100099 9=坐申“尸0-理3100M99尸92008个02008个92008个02008个92008个92008个02008个92008个02008个9=9 9*0,0 j 0 700 = 10 0 = 02 0 (个89个0 0 80个 2 04 0 个60所以末尾有4016个0【答案】4016个0【例3】计算2222 2222的积【难度】3星【题型】计算1998个21

10、998个2【考点】多位数计算之求精确值【解析】我们先还是同上例来凑成 9999 ;222 2 222 2 =-1998个21998个292呷! 11 92 = - X 110001110 _1 X 222J 1丨 2I 1998个 9 /1998个 291998个 0/1998个 21000|01 :4=32，加上后面的3,则数字和为35,于是再加上2个5，数字和为45,可以被9整除.444 4355能被9整除，商为04938271595 ;我们知道能被9整除，8个 49个 5商为：061728395;这样9个数一组，共 221组，剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1 个、6,数字和3

11、6,可以被9整除.555丿156能被9整除，商为0617284 .于是，最终的商为：6个 549382716049382716 (r| 04938271604938271595061728395 口 10617283950617284220个049382716221个 061728395【答案】49382716049382716 I04938271604938271595061728395 屮 0617283950617284220个049382716221个061728395【例 4】计算：12345679012345679 出012345679 8199个 012345679【题型】计算【

12、考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【解析】 原式=12345679 1000000001 川 000000001 8199个000000001=999999999 100000000100000000199个000000001二 999999999IJ 299999999100个999999999【答案】999999999 纽999999999100个999999999【巩固】12345679012345679 81【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算【关键词】武汉，明心奥数【解析】 原式=(12345679 1000000000 12345679) 81二12345679

13、 1000 000 001 81=999 999 999 1000 000 001【例5】 求3 33 333 . 33.3的末三位数字.2007个 3【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算【解析】 原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300，701则 2007 x3 +2006 X30 +2005x300 =6021 +60180 +601500 =667701，原式末三位数字为 【答案】701模块二、多位数求数字之和【例6】求3333333 6666666乘积的各位数字之和.【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算【解析

14、】方法一：本题可用找规律方法：3 0=18; 33 66 =2178 ; 333 666 =221778 ; 3333 6666 =22217778 ;所以：33.3 66.6 =22.2177.78，则原式数字之和 2 6 1 7 6= 63n个3n个6(n-1)个 2 (n-1)个 7原式=9999999 2222222=(10000000 -1) 2222222=22222220000000-2222222=22222217777778所以，各位数字之和为7X9=63【答案】63【巩固】求111 111 99 999乘积的各位数字之和。【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【解析】观察

15、可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 采用添项凑整，简化运算。原式=1111111000000-1)=111111 000000-111111 1=111111000000-111111=111110888889数字之和为9 乂6 =54【答案】54【题型】计算999 999 很接近 1 000 000,于是我们【例7】 如果A =3 33 *333 *1| 313，那么A的各位数字之和等于。2010 个 3【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算【关键词】学而思杯，5年级【解析】10A =30 330 3330朴| 3330 ,所以2010个 3数字和为9A=33 30

16、 3 -3-3 =33 327300 , A =33山327300 9 =37037。川370369700 ,2010个32010次2006个32006个3668个370668 10 25 =6705.【答案】6705【例8】若a =15151115 333 3，则整数a的所有数位上的数字和等于()1004个15200&个3(A) 18063( B ) 18072( C ) 18079( D ) 18054【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】选择【关键词】第十三届，华杯赛【解析】a =1515山15 333 3 =505050 5 999 9 =505050 5 (10000|丨1

17、0-1)1004个 152008个 31004个 5和 1003个02008个 91004 个5 和1003个 020。8个 0=505050 111500000 1110 - 505050 川 5 =505050 山 50494949111 4951004个 502007 个01004 个5 和1003 个01003个 501004个 49所以整数a的所有数位上的数字和=1003 5 1004 (4 9) *5 =18072 【答案】(B) 18072【巩固】计算6666 6661167 25的乘积数字和是多少 ?2004个62003个6【考点】多位数计算之求数字和【难度】4星【题型】计算【

18、解析】我们还是利用9999 =1000小0_1,来简便计算，但是不冋于上式的是不易得出凑成9999 ,k个 9k 个 0k 个 9于是我们就创造条件使用：666阴 666(1167, 252004个62003个62 2 2 2=999 9 X(- 999H 9 1) 25= X (100Q卩|0 _1 ) X- X ( 100Q山 0 ) +1 X2532004 个 932004 个 932004个 032004 个 01125=_ X X2 X000li0-2 X X( 1000110 ) +1 X25= X4 X00mi0 -2 X00mi0 -23 32004个 02004个 09400

19、8个 02004个 0X999, 9-50 X999 9=100 XL11 胖-5094008 个 992004 个 9400&个 12004个 1= 1111! 1100 55550 =1111110555 屮504008个 12004 个52004 个12004个 5所以原式的乘积为111.01055虫U50，那么原式乘积的数字和为1X2004+5X2004=12024 2004个12004个5【答案】12024【例9】试求佃93X123X999999乘积的数字和为多少?【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算【解析】我们可以先求出1993X123的乘积，再计算与(100000

20、0 1)的乘积，但是1993X123还是有点繁琐. 设 1993X123=M，则(1000 X123= )123000 M(2000 X123=)246000，所以 M 为 6 位数，并且末位不 是 0;令 M = abcdef则 M X999999 = M X ( 1000000-1 )= 1000000M-M=abcdef 000000 - abcdef=abcdef f -1 999999 +1 abcdef=abcdeff-19-a9-b9-c9-d9-e9 - f +1=abcdeff-19- a9-b9-c9-d9-e9-f1那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f 1)+(

21、9 a)+(9 b)+(9 c)+(9 d)+(9 e)+(9 f+1)=9 X=54.所以原式的计算结果的数字和为54.【答案】54【巩固】下面是两个1989位整数相乘：。那么乘积的各位数字之和是多少？1989个11989个1【考点】多位数计算之求数字和【难度】4星【题型】计算【解析】解法一：在算式中乘以9,再除以9,则结果不变因为111.JJ能被9整除，所以将一个乘以9, 1989个11989个 1另一个除以9，使原算式变成：999. .99 123456790:.012345679 =( 1000.：.00_ 1) 123456790.0123456791989个9共 1988位 数19

22、89个 0共1988位 数=123456790.012345679000.00-123456790.012345679共1988位数1989个0共1988位数=123456790.,.012345679123456789876543209.：；.987654320987654321共1988位数共1980位数得 到的结 果中有 19809=220 个 “ 123456790和 “987654320及一个 “12345678和一个 “987654321, ”所以各位数之和为：(12 3 4 5 6 79) 220 (9 87 65 4 3 2)220+ (1 23 4 5 6 7 8)，(9 8

23、 7 6 5 4 3 21 )179011999._ 99 111,. 11999. 99 N，其中 N V 999.991989 个 91989 个 191989 个 91989个 9解法二：111. 1111. 111989 个 11989 个 1所以 空严工空円 的各个位数字之和为：9X1989=179011989个11989个1【答案】17901【巩固】试求9 99 9999 .999 9 999 9256个 9512个 9乘积的数字和为多少【考点】多位数计算之求数字和【难度】4星【题型】计算【解析】设 9 99 9999 . 999 9 999 9=M256个 9512个 9则原式表

24、示为 M 999 9。1024个 9注意到 9X 99X 9999X 99999999X“竺血 X999山 9 = M ,256个 9512个 9贝y M 10X 100X 100013X 100000000X1X0 I 0 X1000110 = 1000110256个 0512个 0k个 0其中 k=1+2+4+8+16+- +512=1024- l=1023即M1_000 0，即M最多为1023位数，所以满足的使用条件，那么M与，空 9乘积的数字和1023个01024个9为1024X9=10240 1024=9216 .原式的乘积数字和为9216.【答案】9216【例10】计算：789 7

25、89 29999结果的各位数字之和是670个7892009个9【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算( )【解析】 原式 =789川789疋300出001670个 7892009个 0=2 3 6 9 36_9 X6U 0、0晒 7 897896 6 个 9 3 62009个 0 个 6 7 0=26 9 3 51911 0 2102116 6 个 6 9 3个3 6 9 1 0 2各位数字之和是 2 3 669 18 5 9 669 3 1 1 = 670 21 =14070【答案】14070模块三、多位数运算中的公因式例 11】(1 )20082008 I 112008： 2

26、009200字叫 2009 20092009 11 2009： 2008200” | | 20082008 个 20082009 个 20092008个 20092009 个 2008(2) 200920091 丨2009 4100410011M100412009 个 20092008个 4100【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算【解析】原式=2008 10001000! 110001 2009 10001000 H10001 _2009 100010001111000； 2008 10001000111 00012007 个 00012008 个 000120072008

27、 个 0001=0原式(2009 100010001 川 0001)( 410041004100-：-100)2008 个 00012009 个 4100= (2009 1Q001000|0001)(41 1Q001000 11| 0001)2008 个 00012008个 0001=2009 41=49【答案】049【巩固】计算(1)200920092009 20082008 200820082008 20092009(2)200720072007 -：- 22302230223【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算【解析】(1)原式=2009 10001000 2008 1

28、0001 2008 100010001 2009 10001 =0(2)原式 =(2007 100010001)-：-(223 100010001) =2007 亠 223 =9【答案】(1)0( 2)9【巩固】计算：333 332332333 -332 333333332【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算【关键词】我爱数学夏令营【解析】 原式=333 (332332332 1)332 (333333333 -1)= 333 (332 1001001 1)-332 (333 1001001 -1)=333 332665【答案】665【巩固】 计算：5125115111511512 -511 5125125125112008个5112008个 512【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算【解析】 原式=512 (51151111|511 - 1) -511 (51251|512 -1