2020届山东高三理科数学一轮复习课件第五章§52平面向量的数量积及其应用

1、高考数学,山东专用,5.2,平面向量的数量积及其应用,A,组,山东省卷、课标卷题组,五年高考,1,2019,课标全国理,7,5,分,已知非零向量,a,b,满足,a,=2,b,且,a,b,b,则,a,与,b,的夹角为,A,B,C,D,6,3,2,3,5,6,答案,B,本题考查向量的运算及向量的夹角,考查学生的运算求解能力,考查了数形结合思,想,考查的核心素养是数学建模和数学运算,解法一,因为,a,b,b,所以,a,b,b,a,b,b,2,0,又因为,a,=2,b,所以,2,b,2,cos,a,b,b,2,0,即,cos,a,b,又知,a,b,0,所以,a,b,故选,B,解法二,如图,令,a,b,

2、则,a,b,因为,a,b,b,所以,OBA,90,又,a,=2,b,所以,AOB,即,a,b,故选,B,1,2,3,OA,OB,BA,OA,OB,3,3,思路分析,本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解,也可以将两向量放在直角三角形,中,由题设直接得到两向量的夹角,2,2016,山东,8,5,分,已知非零向量,m,n,满足,4,m,=3,n,cos,m,n,若,n,tm,n,则实数,t,的值为,A.4,B.-4,C,D.,1,3,9,4,9,4,答案,B,因为,n,tm,n,所以,tm,n,n,2,0,所以,m,n,又,4,m,=3,n,所以,cos,m,n,所以,t=-4,故选,B,2,n

3、,t,m,n,m,n,2,4,3,m,n,n,4,3,t,1,3,3,2015,山东,4,5,分,已知菱形,ABCD,的边长为,a,ABC,60,则,A.,a,2,B.,a,2,C,a,2,D,a,2,BD,CD,3,2,3,4,3,4,3,2,答案,D,a,2,a,2,a,2,BD,CD,BC,CD,CD,BC,CD,2,CD,1,2,3,2,4,2017,山东,12,5,分,已知,e,1,e,2,是互相垂直的单位向量,若,e,1,e,2,与,e,1,e,2,的夹角为,60,则实数,的值是,3,答案,3,3,解析,由题意不妨设,e,1,(1,0,e,2,(0,1,则,e,1,e,2,1,e,

4、1,e,2,(1,根据向量的夹角公式得,cos 60,所以,解得,3,3,2,3,1,1,2,1,2,3,2,1,1,2,3,2,1,3,3,B,组,课标卷、其他自主命题省,区、市,卷题组,考点一,数量积的定义及夹角与模问题,1,2019,课标全国文,3,5,分,已知向量,a,(2,3,b,(3,2,则,a,b,A,B.2,C.5,D.50,2,2,答案,A,本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算,考查数学运算的核心素养,a,(2,3,b,(3,2,a,b,(-1,1,a,b,故选,A,2,2,1,1,2,一题多解,a,(2,3,b,(3,2,a,2,13,b,2,13,a,b,12,

5、则,a,b,故选,A,2,2,2,a,a,b,b,13,2,12,13,2,2,2019,课标全国理,3,5,分,已知,(2,3,(3,t,=1,则,A.-3,B.-2,C.2,D.3,AB,AC,BC,AB,BC,答案,C,本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解,通过模的运算,考查了方,程的思想方法,考查的核心素养为数学运算,(1,t,3,1,t,3,(2,3,1,0)=2,BC,AC,AB,BC,2,2,1,3,t,AB,BC,思路分析,先利用,=1,求出,t,的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积,BC,3,2018,课标全国,4,5,分,已知向量,a,b,满足,a,=1,a,

6、b,-1,则,a,2,a,b,A.4,B.3,C.2,D.0,答案,B,因为,a,=1,a,b,-1,所以,a,2,a,b,2,a,2,a,b,2,1,2,(-1)=3,故选,B,4,2017,课标全国,4,5,分,设非零向量,a,b,满足,a,b,=,a,b,则,A,a,b,B.,a,=,b,C,a,b,D.,a,b,答案,A,由,a,b,=,a,b,的几何意义知,以向量,a,b,为邻边的平行四边形为矩形,所以,a,b,故选,A,一题多解,将,a,b,=,a,b,两边分别平方得,a,2,2,a,b,b,2,a,2,2,a,b,b,2,即,a,b,0,故,a,b,故选,A,5,2019,北京文

7、,9,5,分,已知向量,a,(-4,3,b,(6,m,且,a,b,则,m,答案,8,解析,本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法,a,b,a,b,(-4,3,6,m,-24+3,m,0,m,8,易错警示,容易把两向量平行与垂直的条件混淆,6,2019,课标全国文,13,5,分,已知向量,a,(2,2,b,(-8,6,则,cos,a,b,答案,2,10,解析,本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运,算法则与运算方法的素养要素,由题意知,cos,a,b,a,b,a,b,2,2,2,2,2,8,2,6,2,2,8,6,2,10,7,2

8、019,课标全国理,13,5,分,已知,a,b,为单位向量,且,a,b,0,若,c,2,a,b,则,cos,a,c,5,答案,2,3,解析,本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算,通过向量的数量积,夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养,a,=,b,=1,a,b,0,a,c,a,2,a,b,2,a,2,a,b,2,c,=|2,a,b,3,cos,a,c,5,5,5,2,2,5,a,b,2,2,4a,5b,4,5,a,b,a,c,a,c,2,3,小题巧解,不妨设,a,(1,0,b,(0,1,则,c,2(1,0),0,1)=(2,cos,a,c,5,5,2,1,

9、3,2,3,方法总结,利用数量积求解向量模的处理方法,a,2,a,a,a,2,或,a,a,b,a,a,2,a,b,8,2017,课标全国,13,5,分,已知向量,a,b,的夹角为,60,a,=2,b,=1,则,a,2,b,答案,2,3,解析,由题意知,a,b,a,b,cos 60,2,1,1,则,a,2,b,2,a,2,b,2,a,2,4,b,2,4,a,b,4+4+4=12,所以,a,2,b,=2,1,2,3,考点二,数量积的综合应用,1,2018,浙江,9,4,分,已知,a,b,e,是平面向量,e,是单位向量,若非零向量,a,与,e,的夹角为,向量,b,满足,b,2,4,e,b,3=0,则

10、,a,b,的最小值是,A,1,B,1,C.2,D.2,3,3,3,3,答案,A,本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离,设,a,b,e,以,O,为原点,的方向为,x,轴正方向建立平面直角坐标系,则,E,1,0,不妨,设,A,点在第一象限,a,与,e,的夹角为,点,A,在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的射,线上,设,B,x,y,由,b,2,4,e,b,3=0,得,x,2,y,2,4,x,3=0,即,x,2,2,y,2,1,即点,B,在圆,x,2,2,y,2,1,上运动,而,a,b,a,b,的最小值即为点,B,到射线,OA,的距离的最小值,即为圆心,2,0,到射线

11、,y,x,x,0,的距,离减去圆的半径,所以,a,b,min,1,选,A,OA,OB,OE,OE,3,3,BA,3,3,一题多解,将,b,2,4,e,b,3=0,转化为,b,2,4,e,b,3,e,2,0,即,b,e,b,3,e,0,b,e,b,3,e,设,e,a,b,3,e,2,e,则,点,B,在以,M,为圆心,1,为半径的圆上运动,如图,a,b,=,a,b,的最小值即为点,B,到射线,OA,的距离的最小值,即为圆心,M,到射线,OA,的距离,减去圆的半径,=2,AOM,a,b,min,2sin,1,1,OE,OA,OB,ON,OM,EB,NB,BA,OM,3,3,3,2,2017,课标全国

12、,12,5,分,已知,ABC,是边长为,2,的等边三角形,P,为平面,ABC,内一点,则,的最小值是,A.-2,B.,C.,D.-1,PA,PB,PC,3,2,4,3,答案,B,设,BC,的中点为,D,AD,的中点为,E,则有,2,则,2,2,2,而,当,P,与,E,重合时,有最小值,0,故此时,取最小值,最小值为,2,-2,PB,PC,PD,PA,PB,PC,PA,PD,PE,EA,PE,EA,2,PE,2,EA,2,AE,2,3,2,3,4,2,PE,PA,PB,PC,2,EA,3,4,3,2,方法总结,在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用,可快,速求出最值,PA,PD,

13、2,PE,2,EA,一题多解,以,AB,所在直线为,x,轴,AB,的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则,A,1,0,B,1,0,C,0,设,P,x,y,取,BC,的中点,D,则,D,2,2(-1,x,y,2,2,因此,当,x,y,时,取得最小值,为,2,故选,B,3,1,3,2,2,PA,PB,PC,PA,PD,1,3,2,2,x,y,1,3,1,2,2,x,x,y,y,2,2,1,3,3,4,4,4,x,y,1,4,3,4,PA,PB,PC,3,4,3,2,3,2016,天津,7,5,分,已知,ABC,是边长为,1,的等边三角形,点,D,E,分别是边,AB,BC,的中点,连接,DE,并延

14、长到点,F,使得,DE,2,EF,则,的值为,A.,B,C,D,AF,BC,5,8,1,8,1,4,11,8,答案,B,解法一,如图,AF,BC,AD,DF,BC,1,3,2,2,BA,DE,BC,1,3,2,4,BA,AC,BC,1,3,3,2,4,4,BA,BC,BA,BC,5,3,4,4,BA,BC,BC,5,4,BA,BC,3,4,2,BC,1,1,cos 60,1,2,故选,B,解法二,建立平面直角坐标系,如图,则,B,C,A,所以,(1,0,易知,DE,AC,则,EF,AC,因为,FEC,60,所以点,F,的坐标为,5,4,3,4,1,8,1,0,2,1,0,2,3,0,2,BC,

15、1,2,1,4,1,4,1,3,8,8,所以,所以,1,0),故选,B,AF,1,5,3,8,8,AF,BC,1,5,3,8,8,1,8,4,2019,天津理,14,5,分,在四边形,ABCD,中,AD,BC,AB,2,AD,5,A,30,点,E,在线段,CB,的延,长线上,且,AE,BE,则,3,BD,AE,答案,1,解析,本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解,考,查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力,通过向量的不同表现形式更全面地考查了学,生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养,解法一,BAD,30,AD,BC,ABE,30,又,EA,EB,EAB,

16、30,在,EAB,中,AB,2,EA,EB,2,以,A,为坐标原点,AD,所在直线为,x,轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,A,0,0,D,5,0,E,1,B,3,3,3,3,(2,(1,(2,1,-1,解法二,同解法一,得,AB,2,以,为一组基底,则,5,2,12,25=-1,BD,3,AE,3,BD,AE,3,3,3,AB,AD,BD,AD,AB,AE,AB,BE,AB,2,5,AD,BD,AE,AD,AB,2,5,AB,AD,AD,AB,2,AB,2,5,AB,AD,2,5,2,AD,7,5,AB,AD,2,AB,2,5,2,AD,7,5,3,3,2,2,5,5,2017,天津文,1

17、4,5,分,在,ABC,中,A,60,AB,3,AC,2,若,2,R,且,-4,则,的值为,BD,DC,AE,AC,AB,AD,AE,答案,3,11,解析,由,2,得,所以,又,3,2,cos 60,3,9,4,所以,3,2,5=-4,解得,BD,DC,AD,1,3,AB,2,3,AC,AD,AE,1,2,3,3,AB,AC,AC,AB,1,3,AB,AC,1,3,2,AB,2,3,2,AC,2,3,AB,AC,AB,AC,2,AB,2,AC,AD,AE,8,3,11,3,3,11,6,2017,北京文,12,5,分,已知点,P,在圆,x,2,y,2,1,上,点,A,的坐标为,2,0,O,为原

18、点,则,的最大值,为,AO,AP,答案,6,解析,解法一,表示,在,方向上的投影与,的乘积,当,P,在,B,点时,有最大,值,此时,2,3=6,解法二,设,P,x,y,则,(2,0,x,2,y,2,x,4,由题意知,1,x,1,x,1,时,取最大值,6,的最大值为,6,AO,AP,AP,AO,AO,AO,AP,AO,AP,AO,AP,AO,AP,AO,AP,C,组,教师专用题组,1,2018,天津,8,5,分,如图,在平面四边形,ABCD,中,AB,BC,AD,CD,BAD,120,AB,AD,1,若,点,E,为边,CD,上的动点,则,的最小值为,A,B,C,D.3,AE,BE,21,16,3

19、,2,25,16,答案,A,本题主要考查数量积的综合应用,解法一,如图,以,D,为原点,DA,所在直线为,x,轴,DC,所在直线为,y,轴,建立平面直角坐标系,则,A,1,0,B,C,0,令,E,0,t,t,0,(-1,t,t,2,t,t,0,当,t,时,取得最小值,min,故选,A,解法二,令,0,1,由已知可得,DC,2,2,2,3,3,2,2,3,3,AE,BE,3,3,2,2,t,3,2,3,2,3,3,2,2,1,3,4,AE,BE,AE,BE,3,16,3,2,3,4,3,2,21,16,DE,DC,3,AE,AD,DC,BE,BA,AE,BA,AD,DC,AE,BE,AD,DC,

20、BA,AD,DC,AD,BA,AD,DC,BA,DC,3,2,当,时,取得最小值,故选,A,3,2,3,2,3,2,2,3,1,4,AE,BE,21,16,方法总结,向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可,用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算,2,2017,课标全国,12,5,分,在矩形,ABCD,中,AB,1,AD,2,动点,P,在以点,C,为圆心且与,BD,相切的,圆上,若,则,的最大值为,A.3,B. 2,C,D.2,AP,AB,AD,2,5,答案,A,分别以,CB,CD,所在的直线为,x,轴,y,轴建立直角坐标系,则,A,2,1,B,2,0,D,

21、0,1,点,P,在以,C,为圆心且与,BD,相切的圆上,可设,P,则,(0,-1,(-2,0,又,sin,1,cos,1,2,sin,cos,2-sin,其中,tan,max,3,2,2,cos,sin,5,5,AB,AD,AP,2,2,cos,2,sin,1,5,5,AP,AB,AD,2,5,1,5,2,5,1,5,1,2,3,2016,四川,10,5,分,在平面内,定点,A,B,C,D,满足,=,=,-2,动点,P,M,满足,=1,则,2,的最大值是,A,B,C,D,DA,DB,DC,DA,DB,DB,DC,DC,DA,AP,PM,MC,BM,43,4,49,4,37,6,3,4,37,2

22、,33,4,答案,B,由,=,=,及,DB,CA,DC,AB,DA,CB,且,ADC,ADB,BDC,120,ABC,为正三角形,设,a,则,a,2,cos 120,-2,a,2,AC,2,OC,3,如图建立平面直角坐标系,xOy,则,A,0,B,0,C,0,3,由,P,M,C,三点共线且,M,为,PC,的中点,设,P,x,y,由,=1,x,2,y,2,1,令,则,即,P,sin,cos,M,2,sin,3,2,(3+cos,2,DA,DB,DC,DA,DB,DB,DC,DC,DA,DA,3,3,3,PM,MC,AP,3,3,sin,cos,x,y,sin,3,cos,x,y,3,sin,3,

23、3,cos,2,2,BM,1,4,3,37-(6,sin,6cos,37+12,2,的最大值为,1,4,3,1,4,37,12sin,6,1,4,49,4,BM,49,4,4,2015,湖北,11,5,分,已知向量,=3,则,OA,AB,OA,OA,OB,答案,9,解析,0,即,0,2,9,OA,AB,OA,AB,OA,OB,OA,OA,OB,OA,5,2013,山东,15,4,分,已知向量,与,的夹角为,120,且,=3,=2,若,且,则实数,AB,AC,AB,AC,AP,AB,AC,AP,BC,答案,7,12,解析,由题意可知,因为,所以,0,所以,2,2,3,2,3,2,2,2,2,3,

24、-12,7=0,解得,BC,AC,AB,AP,BC,AP,BC,AP,BC,AB,AC,AC,AB,AB,AC,AB,AC,AC,AB,1,2,1,2,7,12,A,组,2017,2019,年高考模拟考点基础题组,考点一,数量积的定义及夹角与模问题,三年模拟,1,2019,山东枣庄第八中学东校区月考文,9,已知等边三角形,ABC,的边长为,1,a,b,c,则,a,b,b,c,c,a,等于,A.,B.-3,C,D.3,BC,CA,AB,3,2,3,2,答案,A,由题意得,a,b,-1,1,cos 60,同理可得,b,c,c,a,a,b,b,c,c,a,3,故选,A,BC,CA,CB,CA,1,2

25、,1,2,1,2,3,2,2,2018,广东二模理,3,已知,a,(-1,3,b,m,m,4,c,(2,m,3,若,a,b,则,b,c,A.-7,B.-2,C.5,D.8,答案,A,由,a,b,得,1,m,4)=3,m,即,4,m,4,所以,m,1,则,b,(1,-3,c,(2,3,所以,b,c,1,2+(-3,3=2-9=-7,故选,A,3,2019,山东平度一中质检文,13,已知,a,(1,1,b,(3,4,则,a,2,2,a,b,答案,16,解析,由题意知,a,2,2,a,b,2+2,3+4)=16,4,2019,山东聊城二模理,14,已知向量,a,m,1,b,(4,m,a,b,a,b,

26、则,m,答案,2,解析,由向量,a,m,1,b,(4,m,a,b,a,b,可得,4,m,m,解得,m,2,或,m,-2,舍去,2,1,m,2,16,m,5,2019,山东临沂第十九中学第六次质量调研文,14,已知正方形,ABCD,的边长为,2,E,为,CD,的中,点,则,AE,BD,答案,2,解析,由题意得,2,2,2,2,2,AE,BD,AD,DE,AD,AB,1,2,AD,DC,AD,AB,2,AD,AD,AB,1,2,DC,AD,1,2,DC,AB,1,2,6,2018,山东德州跃华中学模拟理,13,已知,a,(2,1,b,k,3,若,a,b,a,则,a,在,b,方向上的投影为,答案,1

27、,解析,a,(2,1,b,k,3,a,b,(2,k,4,又,a,b,a,a,b,a,2(2,k,4=0,解得,k,-4,b,(-4,3,则,a,在,b,方向上的投影为,-1,a,b,b,2,2,8,3,4,3,7,2019,山东淄博实验中学、淄博五中一诊理,13,已知向量,a,与,b,满足,a,2,b,a,b,-6,且,a,=1,b,2,则,a,与,b,的夹角为,答案,3,解析,由题意得,a,2,a,b,2,a,b,2,b,2,-6,a,b,1,cos,a,b,a,b,0,a,b,a,b,a,b,1,2,3,考点二,数量积的综合应用,1,2017,山东德州二模理,3,已知平面向量,a,和,b,

28、的夹角为,60,a,(2,0),b,=1,则,a,2,b,A.20,B.12,C.4,D.2,3,3,答案,D,向量,a,和,b,的夹角为,60,a,(2,0),b,=1,a,b,a,b,cos 60,2,1,1,a,2,b,2,故选,D,1,2,2,2,a,b,2,2,4,4,a,b,a,b,4,4,4,1,3,2,2019,山东省实验中学二诊理,2,已知向量,a,(-1,2,b,m,1,若,a,b,则,m,A.-2,B.,C,D.2,1,2,1,2,答案,D,由题意得,a,b,m,2=0,m,2,故选,D,3,2019,山东滨州期中理,5,已知向量,a,(1,b,(2,0,则,a,b,与,

29、a,的夹角为,A.30,B.45,C.60,D.90,3,答案,A,a,(1,b,(2,0,a,b,(3,a,b,a,3+3=6,a,b,=2,a,=2,cos,a,b,a,a,b,与,a,的夹角为,30,故选,A,3,3,3,a,b,a,a,b,a,6,4,3,3,2,4,2018,河北衡水中学模拟文,13,已知平面向量,a,与,b,的夹角为,且,b,=1,a,2,b,=2,则,a,3,3,答案,2,解析,由,b,=1,及将,a,2,b,=2,的两边同时平方可得,a,2,4,a,cos,4=12,解得,a,=2,3,3,B,组,2017,2019,年高考模拟专题综合题组,时间,30,分钟,分

30、值,50,分,一、选择题,每小题,5,分,共,30,分,1,2019,山东菏泽一模理,4,已知向量,a,(1,-1,b,(-2,3,且,a,a,mb,则,m,A,B.,C.0,D,2,5,2,5,1,5,答案,A,由题意得,a,mb,(1,-1)+(-2,m,3,m,(1-2,m,3,m,1,因为,a,a,mb,a,(1,-1,所以,1-2,m,3,m,1=0,解得,m,故选,A,2,5,2,2018,江西南昌三中第二次考试理,5,已知向量,a,x,1,2,b,(2,1,则,x,0,是,a,与,b,的夹角,为锐角”的,A,必要不充分条件,B,充分不必要条件,C,充要条件,D,既不充分也不必要条

31、件,答案,A,向量,a,x,1,2,b,(2,1,当,x,5,时,a,(4,2)=2,b,此时两向量共线,a,与,b,的夹角为,0,故充分性不成立,向量,a,b,2,x,2+2=2,x,设,a,与,b,的夹角为,由,a,与,b,的夹角为锐角得,cos,0,即,2,x,0,解得,x,0,故必要性成立,x,0,是,a,与,b,的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选,A,a,b,a,b,3,2019,山东聊城一中期中理,10,A,a,1,B,2,b,C,4,5,为坐标平面内三点,O,为坐标原点,若,与,在,方向上的投影相同,则,a,b,满足的关系式为,A.4,a,5,b,3,B.5,a,4,b,3,C

32、.4,a,5,b,14,D.5,a,4,b,14,OA,OB,OC,答案,A,由,与,在,方向上的投影相同可知,所以,4,a,5=8+5,b,即,4,a,5,b,3,故选,A,OA,OB,OC,OA,OC,OC,OB,OC,OC,4,2019,山东烟台一模理,7,在,ABC,中,AB,2,AC,3,BAC,若,则,A,B.,C,D.,3,BD,2,3,BC,AD,BD,22,9,22,9,16,9,8,9,答案,A,由题意得,2,2,2,2,cos,BAC,4,2,3,cos,故选,A,BD,2,3,BC,2,3,AC,AB,2,3,AB,2,3,AC,AD,AB,BD,AB,2,3,AB,2

33、,3,AC,1,3,AB,2,3,AC,AD,BD,1,2,3,3,AB,AC,2,2,3,3,AB,AC,2,9,AB,4,9,AC,2,9,AB,AC,2,9,AB,4,9,AC,2,9,AB,AC,8,9,2,9,3,22,9,5,2018,湖南衡阳二模理,8,在,ABC,中,A,120,-3,点,G,是,ABC,的重心,则,的最,小值是,A,B,C,D,AB,AC,AG,2,3,6,3,2,3,5,3,答案,B,设,BC,的中点为,D,因为点,G,是,ABC,的重心,所以,再令,c,b,则,bc,cos 120,-3,bc,6,2,2,2,2,c,2,b,2,6,2,bc,6),当且仅

34、当,b,c,时取等号,故选,B,AG,2,3,AD,2,3,1,2,AB,AC,1,3,AB,AC,AB,AC,AB,AC,AG,1,9,AB,AB,AC,AC,1,9,1,9,2,3,6,AG,6,3,6,2019,山东省实验中学二诊理,12,已知,均为单位向量,满足,0,0,设,x,y,x,y,R,则,x,y,的最小值为,A.,B.0,C,D.1,OA,OB,OC,OA,OB,1,2,OA,OC,OB,OC,OC,OA,OB,2,3,3,3,3,答案,C,由,=1,可设,C,cos,sin,因为,所以,cos,BOA,所以,BOA,由,=,=1,可设,A,B,1,0,因为,x,y,所以,所

35、以,x,y,cos,所以,x,y,cos,sin,cos,sin,因为,0,所以,cos,0,因为,0,所以,cos,sin,0,由得,所以,所以,sin,OC,OA,OB,1,2,1,2,3,OA,OB,1,3,2,2,OC,OA,OB,1,cos,2,3,sin,2,x,y,x,2sin,3,sin,3,sin,3,3,3,3,2,3,3,3,OB,OC,OA,OC,1,2,3,2,6,2,6,3,5,6,3,3,2,3,3,3,2,3,3,所以,x,y,的最小值为,故选,C,3,3,二、填空题,每小题,5,分,共,20,分,7,2019,山东烟台期末理,13,已知向量,a,与,b,的夹角

36、为,60,a,=1,b,若,a,b,a,则实数,的值,为,3,答案,2,3,3,解析,a,b,的夹角为,60,a,=1,b,a,b,又,a,b,a,a,b,a,a,2,a,b,1,0,3,3,2,3,2,2,3,3,8,2019,山东潍坊期中理,13,已知,e,1,e,2,是夹角为,的两个单位向量,a,e,1,e,2,b,e,1,e,2,则,2,a,b,3,答案,7,解析,e,1,e,2,是夹角为,的两个单位向量,e,1,e,2,2,a,b,2,e,1,e,2,e,1,e,2,3,e,1,e,2,2,a,b,2,(3,e,1,e,2,2,9,6,e,1,e,2,9-3+1=7,2,a,b,3,

37、1,2,2,1,e,2,2,e,7,9,2018,安徽安庆第一中学热身考试文,15,已知等腰梯形,ABCD,如下图所示,其中,AB,8,BC,4,CD,4,线段,CD,上有一个动点,E,若,-3,则,EA,EB,EC,ED,解析,由题意建立如图所示的平面直角坐标系,则,A,4,0,B,4,0,C,2,2,D,2,2,设点,E,的坐标为,t,2,由题意得,(-4,t,2,4,t,2,(-4,t,(4,t,12=-3,解得,t,2,1,又,(2,t,0,(-2,t,0,t,2,4=-3,3,3,3,EA,EB,3,3,EC,ED,EC,ED,答案,3,10,2019,山东临沂质检理,16,在,ABC,中,A,AB,10,AC,6,O,为,ABC,所在平面上一点,且满,足,=,=,设,m,n