管理类联考数学复习笔记

1、199概念篇整数1. 0是自然数，最小的自然数是0；1既不是质数，也不是合数；2. 偶数：2n；奇数2n+1或2n-1，其中n属于整数；3. 奇数与偶数：相邻两整数必有一奇一偶，在一个加（减）算式中，判断其结果的奇偶性，只取决于奇数的个数（奇数个奇数为奇，其余均为偶）4.奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数；5. 最小的质数是2，（20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19）；6. 最小的合数是4，（20以内的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20）；7.公倍数和公约数：对于两个整数，两数之积等于最小公倍数乘以最大公约数8. 因式定理：如果多项

2、式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，多项式f(x)含有因式x-a，则立即推f(a)=0；可以进一步理解，当因式为0时，原表达式也为0。9.10. 整除的特点：能被2整除的数：个位为0、2、4、6、8能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整除；能被5整除的数：个位为0或5能被9整除的数：各数位数字之和必能被9整除199习题篇 答案1. 已知3a2+2a+5是一个偶数，那么整数a一定是（ ）A. 奇数 B.偶数 C.任意数 D.0 E.质数【解析】因为2a是偶数，所以3a2+5也是偶数，所以3a2是奇数，a一定是奇数。【考点】奇数和偶数的概念和计算2. 2，5，7，11都

3、是质数，如果把其中的三个数相乘，再减去第四个数，这样得到的数中，是质数的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 E.0 【解析】列举法进行依次计算即可。所得结果均为质数【考点】质数的概念3. 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，这两个自然数的乘积一定是（ ）A.9的倍数 B.7的倍数 C.45的倍数 D.75的倍数 E.18的倍数 【解析】设两个自然数分别为a,b 且a4.【解析】条件（1）：把a=4代入，有|m+2|+|6-3m|4，即|m+2|+|3m-6|4.有或或解之得m=2，故条件（1）、（2）都充分.【考点】绝对值不等式9.m增大2倍.()（1）m/2的分母增大2，

4、要保持分数值不变.（2）m/2的分母变为原来的2倍，要保持分数值不变.【解析】条件（1）、（2）其实分母都变成了4，即分母变为原来的2倍了，所以要保持值不变，则分子也应变为2m，即增大1倍，均不充分.【考点】分数的性质【解析】条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来，有或，则，所以条件（1）和条件（2）联合起来充分。【考点】绝对值的三角不等式及其性质。199概念篇整式与分式1. 乘法公式：2. 单项式是有限个数字与字母的乘积；多项式是有限个单项式组成的；二者统一称为整式；3. 若单项式所含字母相同，并且相同字母的次数也相同，则称为同类项；4. 两个多项式相等，则其对应次数项的系数相等，两个多项

5、式任意取值时，多项式的值都相等；5. 因式分解方法：（1） 提公因式法（2） 公式法（利用上述公式）（3） 求根法：若某一元二次方程的根是，则就是这个一元二次方程的一个因式。（4） 十字相乘法6. 余式定理若除以得到商式，余式是，则=+，其中的次数小于的次数，则（1） 若有使，则（2） 除以的余式为，除以的余式为（3） 对于，若时，=0，则是的一个因式；若是的一个因式，则，也将此结论称为是因式定理。7.分式中分母不为0，则分式有意义；8.最简分式（既约分式）：分子和分母没有正次数的公因式的分式叫作最简分式（或既约分式）习题：1. 老师在黑板上写一道数学题：已知两多项式A，B，若B为2x23x3

6、，求A+B，其中A的多项式被擦掉了，而甲误将A+B看成AB，结果求得答案为4x2x+5，则此题正确的答案为().A.8x27x1B.10x25x+7C.4x2+x5D.10x2+x7E.8x2+x7【解析】AB=4x2x+5,A=4x2x+5+2x23x3=6x24x+2,A+B=6x24x+2+2x23x3=8x27x1.选A【考点】多项式的计算2. 若的三边长为满足，则为（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形E.以上结论均不正确【解析】变形，则得到，为等边三角形，选C【考点】完全平方公式的运用及常用的结论3. 若多项式能被整除，则实数=( )A.0B.1C

7、.0或1 D.2或-1E.2或1【解析】整除，则直接令即可，计算得，选E【考点】余式定理4. 将因式分解为（ ）A.B.C.D.E.【解析】选A【考点】因式分解和乘法公式199概念篇函数（1） 一元二次函数的定义一元二次函数是指只有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的多项式函数。一元二次函数可以表示为：一般式：；顶点式：；两点式：（2） 一元二次函数的图像和性质一元二次函数的图像是一条抛物线，图像的顶点坐标为，对称轴是直线.当，函数图像开口向上，y有最小值但无最大值；当，函数图像开口向下，y有最大值但无最小值.当，函数在区间上是减函数，在上是增函数；当，函数在区间上是增函数，在上是减函数.（

8、3） 一元二次函数的图像与x轴的交点当时，函数图像与x轴有两个交点；当时，函数图像与x轴有一个交点；当时，函数图像与x轴没有交点.习题：1. 设实数x ,y满足，则的最小值为_. 【解析】由代入得，可以看成关于y的二次函数，利用一元二次函数的图像和性质，得到最小值为4.【总结】本题首先将已知等式代入所求的表达式中，化为只含有一个未知数的函数，从而借助于抛物线来求解最值。2. 已知抛物线的对称轴为, 且过点（-1，1），那么_,_.【解析】根据一元二次函数的图像和性质及点的坐标，得到【总结】根据抛物线的特征来列方程，从而得到系数。3. 设1，a，b成等差数列且a，b是两个不相等的实数，则函数的最

9、小值与0的关系。【解析】根据等差数列的性质可得，根据一元二次函数的图像可知，同时a，b是两个不相等的实数可知，综上所述.【总结】本题考查了等差中项的性质应用，以及二次函数最值的基本问题。199概念篇方程1. 含有未知数的等式叫做方程，使得方程（组）成立的未知数叫做方程（组）的解。2. 一元一次方程：方程中，只含一个未知数且未知数的次数为1；二元一次方程：方程中，只含有两个未知数且未知数的次数都为1.3. 一元一次方程的解：（1）（2）（3）4. 二元一次方程组及其解：（1） 若方程组有唯一解；（2） 若方程组有无穷多解；（3） 若方程组无解。5. 一元二次方程：求根的方式（1） 配方法（2）

10、求根公式：方程的根，其中称为一元二次方程的根的判别式；（3） 韦达定理：描述一元二次方程根与系数的关系：两根分别为.习题篇1、若方程恰好有两个正整数的解则的值是_.解：根据韦达定理，可知，。又为正整数解，且两根的积37为质数，所以得，带入，得-2.总结：灵活地应用韦达定理。2、已知关于的一元二次方程有两个相异实根，则求的取值范围。解：由题意知，解得且.总结：考查点为判别式与一元二次方程的实根个数的关系。1、 是方程的两实根，则的最大值_.解：因为方程有两个实数根则解得。根据抛物线的图像可知，当时，取到最大值18 .总结：灵活应用韦达定理和判别式与一元二次方程的实根个数的关系。199概念篇不等式

11、1. 不等式的解集对于含有未知数的不等式，能使其成立的未知数的值的集合，叫做这个不等式的解集。2一元二次不等式（1） 方法一：可通过一元二次函数图象进行求解。根据二次项系数的正负，开口方向，顶点坐标，对称轴等，采用数形结合的思想，进行初步判定解集情况；再利用求根公式求出方程的两个实数根，写出解集。（2） 方法二：可利用用配方法解一元二次不等式。3. 含绝对值的不等式解含绝对值不等式一般有两种思路：（1） 利用绝对值的性质去掉绝对值符号（2） 利用平方进行等价变换4. 高次不等式先不等式变形，使不等式两边，一边为0，然后再解相对应的高次等式的根，最后利用穿根法求解：（1） 最高次项的系数一定为正

12、，才可以从数轴右上角开始；（2） 穿线法则是奇穿偶不穿，即含x的因式，偶数次幂和奇数次幂。5. 分式不等式先转化成整式不等式再进行求解，注意分母必须有意义。习题篇1、 设则不等式的解是_.解：则.即.又解集为总结：对于分式不等式通常先转化成整式不等式再进行求解，同时注意分母必须有意义。2、 关于x的方程有两个相异实根，且两根均在区间上，则实数的取值范围_.解：区间根问题，根据题意，知解得:.总结：区间根问题使用“两点式”解题方法，即看顶点（横坐标相当于对称轴，纵坐标相当于），再看端点（根所分布区间的端点）。对于一元二次方程的不等式问题，要有数形结合的思想，即先画出函数图象的草图再进行求解。3、

13、 已知不等式的解集是，则_.解：根据题意知，由韦达定理可知即总结：注意一元二次不等式、一元二次方程之间的关系。199概念篇数列(一)数列：数列的定义：依一定次序排列的一组数。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列的一般表达式为或简记为。项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列。数列通项: 其中叫做数列的通项，自然数n叫做的序号。如果通项与n之间的函数关系可以用一个关于n的解析式表达，则称为数列的通项公式。数列的前n项和（记作）对于数列显然有。(二)等差数列：是等差数列等价于。等差数列的通项公式：，。等差中项：若成等差数列，则b是的等差中项，且。等差数列的前n项和，（三）等比数列是

14、等比数列等价于。等比数列的通项公式：。等比中项：若成等比数列，则b是的等比中项，且。等比数列的前n项和。习题1、数列的前n项和，则它的通项解：当时，当时，从而总结：要注意分情况讨论。2、数列的前n项和，则它的通项解：当时，当时，整理得，即因此是首项为，公比的等比数列，即。总结：要注意分情况讨论，本题先得到与的关系式，再求出通项。3、设三数成等差数列，若分别是和的等比中项，求解：由题意得所以总结：考查了等差、等比数列的中项。习题1、 一元二次函数的最大值为_.解：方法一：用二次函数求最值，方法二：用平均值定理求最值总结:本题考点二次函数的最值、平均值不等式2、 已知三数成等差数列，又成等比数列，

15、设是方程的两个根，且则解：由于三数成等差数列，又成等比数列，故，原方程可化为，根据韦达定理得总结:考查了数列与方程根3、 设方程的两个实数根和满足则的值为_.解：根据韦达定理，有总结:借助韦达定理求出两根的导数和。4、 设，其中则对于满足的值，的最小值是_解：由于，当时，取得最小值是总结:根据取值范围进行绝对值的化简，然后根据的取值范围讨论的变换范围。充分条件判断题1、设a，b是两个不相等的实数，则函数的最小值小于零。（1）1，a，b成等差数列。（2）1，a，b成等比数列。解：题干欲证最小值。条件（1）根据等差数列性质可得，。当时，有。又因a，b是两个不相等的实数是两个不相等的实数，所以，故，

16、即充分。条件（2），根据等比数列的性质可得，则=0，故不充分。总结:抛物线的最小值2、（1）(2)解：题干欲证。条件（1）,则对数单调减小，有故充分。条件（2），则对数单调减大，有故也充分。总结:考查了对数函数的单调性。平面几何1. 三角形相关结论（1） 三角形外角等于不相邻的两个内角之和；（2） 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3） 三角形的“四心”内心：内切圆圆心，角平分线的交点。内心到三边的距离相等；外心：外接圆圆心，三边的垂直平分线的交点；重心：三条中线的交点，重心将中线分成2：1两段；垂心：三条高的交点；（4） 直角三角形的勾股定理勾股定理，常用的勾股数要记住（3，4，5）

17、，（6，8，10），（5，12，13）；直角三角形与内切圆半径的关系：设直角三角形三边分别为a，b，c（c为斜边），内切圆半径为r，则（5） 相似三角形面积的比等于相似比的平方（6） 三角形面积公式通用的公式：其中，是三角形的周长的一半。（半周长）等腰三角形的面积：等边三角形的面积：2. 四边形（1） 梯形：设上底为a，下底为b，高为h，则中位线l=（a+b）/2，面积S=（a+b）h/2（2） 平行四边形：设两边为a，b，以b为底边的高为h，则面积S=bh（3） 菱形：设四边边长均为a，以a为底边的高为h，则面积S=ah=l1l2/2，其中l1，l2分别为对角线的长3. 圆和扇形（1）扇形：

18、设 为扇形角的弧度数， 为扇形角的角度，r 为扇形半径，则弧长: 扇形面积：（2） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦（3） 等弧对等角，同一段弧所对的圆心角是圆周角的2倍，直径所对的圆周角为直角.习题：1、 三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边的长为_.解：设第三边长为x,则7x11，由于周长为偶数，所以第三边长为奇数，故x等于9.总结:考查了三角形边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。2、 梯形ABCD的上底与下底分别为5，7，E为AC与BD的交点，MN过点E且平行于AD，则MN=_解：根据梯形的性质，可知，总结:相似三角形的性质。3、P是以a为边长的正方

19、形，P1是以P的四边中点为顶点的正方形，P2是以P1的四边中点为顶点的正方形，Pi是以Pi-1的四边中点为顶点的正方形，则P6的面积是_.解：后一个正方形Pi的面积是前一个正方形Pi-1面积的。正方形P面积是正方形P1面积是正方形P2面积是递推知：正方形P6面积是总结:归纳递推关系。立体几何一、长方体设长方体三条相邻的棱长分别为，（1）体积 ；（2）全面积 （3）体对角线 （4）当时，为正方体二、圆柱体设圆柱体的高为，底半径为，轴截面为矩形，其中一边长为底面圆的直径，另一边为圆柱的高（母线长）；侧面展开图为矩形，其中一边长为底面圆的周长，另一边为圆柱的高（母线长）；（1）体积 （2）侧面积 （

20、3）全面积 三、球设球半径为，（1）体积 （2）面积 四、长方体、正方体、圆柱与球的关系设圆柱底面半径为，球半径为，圆柱的高为；内切球外接球长方体无体对角线正方体棱长体对角线圆柱只有轴截面是正方形的圆柱才有，此时有习题：1、 一个长方体，有共同顶点的三条对角线长分别为，它的体对角线长是（）。（A）（B）（C）（D）（E）解析：设长方体长、宽、高分别为，体对角线为则有，所以体对角线长是答案选择D.考点：考查了对角线与体对角线的关系。2、 现在一个半径为R的球体，拟用刨床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体积是（）。(A)(B)(C)(D)(E）解析：正方体内接于球体时体积最大，设正方体长

21、为a,则，所以正方体体积答案选择B.总结：本题考查了正方体的内切球。3、 一圆柱体的高与正方体的高相等，且它们的侧面积也相等，则圆柱体的体积与正方体体积比值是（）。(A)(B)(C)(D)(E）解析：设正方体棱长为a,圆柱体底面半径为r.因为所以因此圆柱体的体积与正方体体积比值是答案选择A。总结：本题考查了圆柱体的体积与正方体体积。解析几何（上）一、平面直角坐标系1、定义平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应2、有向线段的定比分点设点，点是直线上不同于点的一点，若，则称为点分有向线段所成的比。分点的坐标为 。特别地，当时，点为线段的中点，则。二、平面直线1、直线方程（1）点斜式：过点，斜率为

22、的直线方程为（2）斜截式：斜率为，在轴上的截距为的直线方程为（3）两点式：过两个不同的点，的直线方程为（）（4）截距式：在轴上的截距为，在轴上的截距为的直线方程为（5）一般式： （不全为零）2、两条直线的位置关系设两条直线, 或，两条直线的位置关系有四种：（1）重合（2）平行（3）相交（4）垂直习题：1、 若三个数成等差数列，则直线必经过点（）。A.B.C.D.E.解析：由成等差数列知即直线化为即，过定点答案选择A.总结：本题考查了定点如何求。2、 已知直线和直线互相垂直，则等于（）。A. -1B. 1C.D.E. 0解析：两直线垂直,则可得。答案选择C.总结：本题考查了两直线的位置关系。3、

23、 已知平行四边形ABCD的三个顶点A（-1，-2），B（3，4），C（0，3），则顶点D的坐标为（） A.（4，3）B.（4，3）C.（4，3）D.（4，4）E.（3，4）解析：设平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点为E（x,y）,可知E为AC的中点，所以E也是BD的中点，所以解得答案选择C.总结：利用平行四边形的性质求点坐标。解析几何（中）平面直线3、直线夹角（1）倾斜角 直线斜率的计算公式：设为直线的倾斜角，则；设是直线上的两个不同的点，则；直线的斜率为。（2）到角：直线按逆时针方向旋转到直线时所转的角，记作设直线的斜率分别为，且，则。（3）夹角：直线到的角和直线到的角中较小的角，记

24、作，有。4、两条平行直线的距离设直线的方程分别为为，则两条直线的距离为5、两种对称（1）两点关于直线对称：垂直、平分点关于轴的对称点为点关于轴的对称点为点关于原点的对称点为点关于的对称点为点关于的对称点为（2）直线和直线关于直线对称：交于一点，到角相等直线关于轴的对称直线为直线关于轴的对称直线为直线关于直线的对称直线为直线关于直线的对称直线为习题1、设点，则线段AB的垂直平分线的方程为（）A.B.C.D.E.解析：设点P(x,y)为AB的垂直平分线上任意一点，则可得解得答案选择C.总结：本题巧妙地利用了线段垂直平分线的性质。2、条件充分判断直线L的方程为（1） L经过两条直线和的交点；（2）

25、L与直线垂直。解析：条件（1）和（2）显然单独不充分，联合起来，有：两条直线和的交点为，直线L的斜率是，所以直线L的方程为总结：考查了两直线的位置关系，点斜式确定直线的方程。3、点关于直线的对称点是（）。A.(5，4)B.(4，5)C(-4，-5)D.(-5，-4)E.(7，2)解析：设点答案选择B.总结：点关于直线对称，解题要点：两点连线垂直平分对称轴。解析几何（下）三、圆在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆（第一定义）；平面内到定点的距离等于定长的点的集合（第二定义）。1、圆的方程（1）标准方程：圆心为，半径为r的圆的方程为（2）一般方程： 一

26、般方程可通过配方化为标准方程：2、点与圆的关系设点到圆的圆心的距离为，（1）点在圆内，（2）点在圆上，（3）点在圆外，3、直线与圆的关系直线，圆，为圆心到直线的距离。直线与圆的交点坐标即是方程组的解；（1）相交；（2）相切；（3）相离；4、圆的切线方程（1）已知圆方程：。若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是：。当在圆外时,表示过两个切点的切点弦方程。过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于轴的切线。斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求，必有两条切线。（2）已知圆方程：。过圆上的点的切线方程为。斜率为的圆的切线方程为。5、圆与圆的关系设两圆方

27、程分别为，圆心距为。圆与圆的交点坐标即是方程组的解。（1）内含（2）内切（3）相交（4）外切（5）外离习题篇1. 曲线上点到直线的最短距离是（）。A.B.C.D.E.解析：圆的方程为，圆心到直线的距离所以最短距离为答案选择B.总结：先确定直线与圆的关系，这里最短距离等于为圆心到已知直线的距离减圆的半径。2. 已知直线过圆的圆心，则的最大值为（）。A.B.C.D.E.解析：圆的方程为，圆心到直线得利用均值不等式得则，当且仅当时，达到最大值。答案选择D.总结：以解析几何为背景，利用二次函数或者基本不等式求最值。3. 设P是圆上的一点，该圆在点P的切线平行于直线，则点P的坐标为（）。A.B.C.D.

28、E.解析：设，根据题意可知，可得方程，可以解出答案选择E.方法二：利用排除法；因为切点在第一象限或第三象限，所以答案选择E.总结：画草图可以判断出圆与平行于直线的切线相切，切点在第一象限或第三象限。习题1. 已知两点，则直线的倾斜角为( ).A.B.C.D.E.解析：设直线的倾斜角为，且所以答案选择D总结：直线的倾斜角取值范围要记清。2. 直线到直线：的角是（）。A.B.C.D.E.解析：由题意，知根据到角公式直线到直线的角为答案选择A总结：求到角时，一定要明确哪条直线到哪条直线。3. 等腰三角形两边长4和6，则它的面积是（）。A.B. C. D.E.解析：由三角形的性质知，等腰三角形的边长为

29、4，4，6或4，6，6所以答案选择D总结：三角形有两种情况，要分情况求。4. 若P（2，-1）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）。A.B.C.D.E.解：根据题意知圆心，所以由于，所以那么直线AB的方，即答案选择A.总结：本题考查了圆的弦中点的性质、两条直线垂直时，其斜率关系。充分条件判断题1. 正方形ABCD的面积为1.（1） AB的直线方程为；（2） AD的直线方程为；解：条件（1）：令，所以A点的坐标为，正方形ABCD的面积为1, 条件（1）充分。条件（2）：令，所以A点的坐标为，正方形ABCD的面积为2, 条件（2）不充分。答案选择A.总结：对于解析几何中的面积问题，求正方形面

30、积时，通过交点求出边长即可。2. 已知圆C:及直线，则直线被圆C截得的弦长为。（1）（2）解：圆C的圆坐标为，半径为则圆心到直线的距离那么解得所以条件（1）充分，条件（2）不充分。答案选A总结：本题考查了直线与圆相交的情况，要注意弦长与圆半径的关系。加法与乘法计数原理一、加法原理和乘法原理加法原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法。乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法。二、加法原

31、理和乘法原理的异同相同点：分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于做一件事的不同方法种数的问题。不同点：加法原理是完成这件事的分类计数方法（每一类都可以独立完成这件事），乘法原理是完成这这件事的分步计数方法（每个步骤都不能独立完成这件事）。习题1.3个女生和5个男生排成一排，如果女生必须在一起，则共有（）种不同排法。A.B.C.D.E.解析：将三个女生捆绑在一起，把她们看成一个整体，同5个男生合住在一起共有6个元素，所以共有答案选B总结：本题考查了排队问题中，对于相邻问题要采用捆绑法。2.七个人排成一排，甲、乙、丙三个互不相邻的排法共有（）种。A.B.C.D.E.解析：先将除甲、乙、丙之外的

32、4个人全排列，有种排法。再将甲、乙、丙插入四个人形成的5个空中，有种排法所以共有答案选E总结：本题考查了排队问题中，对于不相邻问题要采用插空法。3.5个数的算术平均值为25，现在去掉一个数，剩余数的算术平均值为31，则去掉的数为（）。A.1B.C.D.E.解析：5个数的和为：；剩余数4个数的和为: ；则去掉的数为1.答案选A总结：本题较为简单，考察了算术平均值的定义。排列组合二、排列与排列数公式1、排列从个不同元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成的一列，叫做从个不同元素中任取个元素的一个排列。【注】两个排列相同的条件：含有相同元素；元素排列顺序完全相同。 2、排列数从个不同元素中任取个元素的

33、所有排列的种数，叫做从个不同元素中任取个元素的排列数，用符号（或）表示。当时，即从个不同元素中取出个元素的排列，叫做个元素的全排列，也叫的阶乘，用符号！表示。【注】排列与排列数的不同：排列不是数，而排列数是一个数，所以，符号只表示排列数，而不表示具体的排列。3、排列数公式排列数公式如下：注意：，规定。4、元素可重复的排列 从个不同元素中，每次取出个元素，其中允许元素重复出现，再按照一定的顺序排成一列，那么第一、第二、第位上选取的方法都是个，所以从个不同元素中，取出个可重复元素的排列种数是个。三、组合与组合数公式1、组合从个不同元素中，任取()个元素并成的一组，叫做从个不同元素中任取个元素的一个

34、组合。【注】不同元素；“只取不排”-无序性；相同的组合：元素相同；2、组合从个不同元素中任取()个元素的所有组合的总数，叫做从个不同元素中任取个元素的组合数，用符号表示。规定，显然=13、组合数公式排列是先组合再排列：。4、组合数的两个性质【注】此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化；【注】此性质作用：恒等变形，简化运算；四、常用组合恒等式（1）；（2）；（3）；概率1.随机试验和随机事件（1）随机试验若试验满足条件：试验可在相同条件下重复进行；试验的结果具有很多可能性；试验前不能确切知道会出现何种结果，只知道所有可能出现的结果。这样的试验叫作随机试验，简称试验，常记为E。（2）样本

35、空间、样本点随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，记为ei.（3）随机事件随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，常记为A,B,C,（4）基本事件、必然事件、不可能事件由一个样本点组成的单点集，称为基本事件，基本事件也叫样本点，样本点一般不可再分。样本空间包含所有样本点，在每次试验中总是要发生的，称为必然事件，常记为。每次试验中一定不发生的事件，称为不可能事件，记为。2.事件的关系及运算（1）如果事件的发生必然导致事件的发生，则称事件包含事件，或称事件包含于事件，记作.（2）如果事件包含事件，且事件包含事件，即；也就是说

36、，二事件与中任一事件发生必然导致另一事件的发生，则称事件与相等，记作.（3）“二事件与中至少有一事件发生”这一事件叫做事件与的并，记作.“n个事件中至少有一事件发生”这一事件叫做事件的并，记作.（4）“二事件与都发生”这一事件叫做事件与事件的交，记作“n个事件都发生”这一事件叫做的交，记作（5）如果二事件与不可能同时发生，即则称二事件与是互不相容的(或互斥的).通常把两个互不相容事件与的并记作.如果n个事件中任意两个事件不可能同时发生，即则称这n个事件是互不相容的(或互斥的).通常把n个互不相容事件的并记作（6）如果二事件与是互不相容的，并且它们中必有一事件发生，即二事件与中有且仅有一事件发生，即则称事件与事件是对立的(或互逆的)，称事件是事件的对立事件(或逆事件)，同样事件也是事件的对立事件(或逆事件)，记作.对于任意的事件，我们有（7）如果个事件中至少有一个事件一定发生，即则称这个事件为完备事件组.以后对我们特别重要的是互不相容的完备事件组.设个事件满足下面的关系式:则称这个事件构成互不相容的完备事件组.显然，样本空间中所有的基本事件构成互不相容的完备事件组.如果把事件(或)所包含的基本事件构成的集合简称为集合(或)，则事件的关系及运算可以用集合的关系及运算表述如下:事件包含于事件集合是集合的子集事件与事