2019届西城高三数学理试卷及答案

1、 北京市西城区学年度第一学期期末试卷 2018 2019 高三数学（理科）2019.1 第卷 分）共 （选择题 40 8 小题，每小题 5 选择题：本大题共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题一、 目要求的一项 A B ? a 的取值范围是（，若 ，则实数）A ? x | x ? 1 ，集合 设集合 2a ?B 1. （A）（B）（C）（D）1, ?1, (?,1 ?) ) (?, ?1 ? 下列函数中，值域为的偶函数是（ ） R 2. （C） y ? lg | x | xx 2 ? （B）?2 A（） （D）ey ? e y ? x?1?xy ? ?1 1 1 ? ?qp3.

2、 ? ?sin ”，则（ ：“若，则，则 ） ”，命题设命题 ：“若 ?b a ?a b 6 2 （A）“ ”为真命题 （B）“ ”为假命题 q ?p ? q p （C）“ ”为假命题 （D）以上都不对 q ? 2 a a a a ? a* 为等比数列”的（”是“数列 ，4. 在数列 ）中，“对任意的N? n nn ?2 nn?1 n BA （）必要而不充分条件）充分而不必要条件 D ）既不充分也不必要条件充分必要条件 （ ）C（ 5.一个几何体的三视图如图所示，那么这个 ） 几何体的表面积是（2 3 16 ? 2）（A 2 正(主)视图 视图侧(左) 5 2 16 ?）（B 3 2 ?20

3、）C（ ）（D 5 2 ?20 1 1 俯视图 xy ? 1, ? ?y x 3,x ? 6. y 满足约束条件，设?m y 3 x ?z ?7? ）则实数（的最大值与最小值的差为 ，若 ?, my?1133 ? ? （ D）（C（B） ） A） （ 2 4 2 4 7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：;12 4 元千米的里程收费不超过 2 4 ，若其小于元收费（超过 对于其中不足千米的部分千米的里程按每千米 1 0.5 0.5 千米收费）；千米则按 千米则不收费，若其大于或等于 .4 1 当车程超过 元千米时，另收燃油附加费x y （单位：元）为所（单位：千米）为行驶里程，相应系统收费的程序

4、框图如图所示，其中 1 xx ）收费用，用处应填（ 表示不大于的最大整数，则图中开始 1y ? 2x ? ? 4A ）（ 2 输入 x 1 5 ? ? 2x y ? （B）2 是 否?x ? 4 1 4 ? ?y ? 2x ? ）（C2 y=1 12 1 5 ? ?y ? 2x D ）（ 2 输出 y 结束 8. 如图，正方形 的边长为 6，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， .F E BF CF DE ? 2AD AE ?BC ABCD 2 ? 6 P ABCD 使得成立，那个不同的点的四条边上，有且只有 如果对于常数 ，在正方形 ? =? PF PE ? 么 ）的取值范围是（A B ）（A

5、)(0, 7 E F ）（B 7)(4, （C） )0, (4 D P C （D） (?5,16) 第卷 分）共 （非选择题110 5 分，共30 分 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题z ?z 9. . 已知复数，那么满足 4i z (1?i) ? 2 ? 2 c ? 10. 所对的边分别为中，角在 A，B，C a，b，c. ，则.，若 B ? A ?cos C 3a ABC ?2 2 yx ： C11. 双曲线? 为C 上一为双曲线；设的渐近线方程为 C 的左、右焦点，P FF, 1? 2 14 16 .，则点，且? ?PF|PF? 4 | | 2 1 12.BC 为点的中点，中，如图

6、，在， 3 ?ABC AB O ? 4 BC 90 ABC ? A AO AC ，则 分别相交于点，BC 以 为直径的半圆与 ， M N M AM N . ； ?AN ? MC C B O 13.组小 趣 名教师要带现有 5 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴（用数. 的带队教师至多 2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种 字作答） 64,x? 0, ?t 满足函数关系） 14. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位： ?C 且 6 kx?, 0. x ? 2? 4 C .16 小时该食品在的保鲜时间是 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外

7、温度随时间变化如图10 已知甲在某日上午 所示. 给出以下四个结论： 1 6 8 C 的保鲜时间是该食品在小时； x? 66,x t 2 时，该食品的保鲜时间 随着 当增大而逐渐减少；13 3 到了此日 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；.4 14 到了此日时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 .其中，所有正确结论的序号是 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：本大题共 6 小题，共 ? 15（本小题满分 13 分）? 3 .，R x ? 已知函数?cos x) ?3 ?(sin x x) ? cos xf ( 2的最小正周期和单调递增区间； （）求 ) xf (? )

8、 ? x) ? f (x g(?. ，若函数为奇函数，求（）设 的最小值 0 ? 分）（本小题满分 13 16 分，未命中目标得次，射击命中目标得 1 甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 局的得分情况如下：两人 4 0 分. 9 9 6 6 甲 yx 9 7 乙 局的得分恰好相等的概率；局，求这 2 4 局比赛中，随机选取 2 （）若从甲的 ，局的得分和为 1 局，记这 2 ，从甲、乙两人的（）如果 4 局比赛中随机各选取 7 x ?y ?X 的分布列和数学期望； 求 X x 的所有可能局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 （）在 4 （结论不要求证

9、明）取值. 14 分）17（本小题满分 ， 面 底面，中，底面 是平行四边形，侧 如图，在四棱锥 ABCD PAB ?ABCD ABCD P ? ?BCD ? 135 , 分别为的中点，点 , 在线段上. , AD E, F BCPD M 2 PA ?BAP ? 90 AB ?AC ? ? （）求证： EF ?平面； PAC P ；平面 的中点，求证：为（）若 PAB MEPD / M M （）如果直线 与平面 所成的角和直线 PBC ME PM DA . 的值所成的角相等，求与平面 ABCD ME F PD C B E （本小题满分13 18 分）2 1(x) ? x?f 1 t ，函数已知

10、函数 ，其中x ln ) g(x? 2t t l l x ? 1的值；（）如果函数 ，求切线 的方程及处的切线均为在与 ) (xgxf () t 的取值范围与 有且仅有一个公共点，求（）如果曲线 ) y ? gf (x) (xy ? （本小题满分14 分）19 ? 2y x 2 3 3 ? : 已知椭圆 C 0) ? 1(a ? b ?的离心率为. ，点 A(1, C 上) 在椭圆 2b 2a 2 2 （）求椭圆 C 的方程； O C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此 （）设动直线与椭圆 l OPPPOP 圆与相交两点， （两点均不在坐标轴上），且使得直线的斜率之积为定

11、值？若存 l 21 2 1 . 在，求此圆的方程；若不存在，说明理由 （本小题满分 13 分）20 ,a , a a a? ) (n n1, 2, , 2 A，在数字的任意一个排列 ：中，如果对于，有?j , i N? i, j ?a, j i 2 1 n ) ( SA) a(a, . A 中逆序对的个数为记排列那么就称 为一个逆序对 j i (4,1) (2,1) (3,1) (3, 2) 4 (SB) ?.B3, 2, 4, 1 如：中，逆序对有 ，时，在排列 ，则，=4 n的值；（）设排列，写出 3, 5, 6, 4, 1, 2 C ) CS() S( AAn 21 ，求所有（）对于数字

12、的算术平均值；，的一切排列 ， ) j(, aai ? 中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，： A（）如果把排列 a,a , a j i n 2 1 ：那么就得到一个新的排列 为奇数?. ，求证：) ASA() ? (S? A, bb, b, 2 1n 北京市西城区 2018 学年度第一学期期末 2019 参考答案及评分标准高三数学（理科）2019.1 . 小题，每小题 一、选择题：本大题共8 5 分，共40 分 B B 41A 2C 3 B 7D 6C C 58. 分分，共 30 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 710 9 3i 1? ? 91 912xy ? 12 1

13、1 2 ?13 16 2 4141 1354 . 分分，第二问 3 11，12 题第一问 2 注：第 .分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分 6 小题，共 80 三、解答题：本大题共? 13 分）15（本小题满分 3 （）解：?x ? cos x) ?x(sin f ( ? 3 cos x) 2 3 2 ? x (2cos1)?x cos x ? sin 2? 3 1 x? sin 2x ?cos 2 4 分 2 2 . 6 分， ) ? ? sin(2x 3 2) xf (7 分. =. T ? 所以函数的最小正周期 2 ，k ?Z ，由 2k2k+ ? 2x ? 22 3 5，得 k

14、k+ ? x 1212 5 ) xf (kk9 , + ? Z . 分 ， 的单调递增区间为所以函数k ? 12 12 5 k(k. ) ? ,+ ， k （注：或者写成单调递增区间为? Z ） 12 12? ) ? ? sin(2) ?x ? 2() g(x? f x （）解：由题意，得， 3) xg(R x ? 为奇函数，且 因为函数 ，? 0 g(0) ?11 0 ? sin(2) .分， 即，所以 3 ? Z ? k k ? 2? ，所以 3 k? . ?Z k ? ，解得 ，验证知其符合题意 62 ? 0 ? 又因为， . ? 13 的最小值为所以 分 3 13 分）16（本小题满分

15、 ，局的得分恰好相等”为事件 局，且这 2 （）解：记 “从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 A 分1 1 2 ?( A) P， 由题意，得 2 3C 41 4 2 4 2 . 局比赛中，随机选取 局，且这 所以从甲的 局得分恰好相等的概率为分 3 ，（）解：由题意， . 5 分的所有可能取值为，18 16 X 15 13 1 3 1 3 分7 ， ， ， ， . 且 18) P( X ?16) ? ? P( X ?P( X 13) ? ( PX ? 15) ? 88 8 8 的分布列为：所以 X 18 15 16 13 X 13 1 3P 888 8 8 分 3 1 3 1 E( X ) ?

16、 13? ?15? ?16? ?18? ? 15 . 10 分 所以 8 8 8 8 （）解： 的可能取值为， ， 13 分x 8 . 6 7 17（本小题满分 14 分） （）证明：在平行四边形 中，因为 ， ， AC ABCD AB ? 135 ?BCD 所以 . AC AB ?由分别为的中点，得 F E, EF /AB BC, AD ， 所以 1 分 AC . EF ?因为侧面底面 ，且， 90 BAP ABCD ?PAB ? 所以底面 2 分 ?ABCD . PA 又因为底面 ， ABCD ?EF 所以 PA ? EF . 3 分 又因为 ， 平面， 平面， PAC PAC AC ?A

17、?PA AC ?PA EF ? 平面4 所以 分 PAC . 的中点，分别为 为PD 的中点， （）证明：因为AD F M ，所以 /PA MF z ，又因为平面 平面 MF ? PAB PAB PA ?P 分5 所以平面. MF / PAB M / EF . 平面同理，得 PAB ，平面， 平面又因为， F MF EF = MEF MEF EF ? ?MF A D F分7 所以平面平面 PAB . / MEF CE B 平面，又因为MEF ME ?y x 分 所以平面9 ME/ PAB . AC ，所以 （）解：因为PA ?底面ABCD ， AB ?, AP 两两垂直，故以 ACAB, ,

18、AP, AC AB x y z 分别为 轴、 轴，如上图建立空间直角坐标系，轴和 ，则 2D(?2, , 0), E(1,1, 0) 2A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, , 0), P(0, 0, 2), ，所以， . 10 分 ， ) (2, 0, ?2, 0BC ? (?PD ?2) (?2, 2, ?2) 2, PB ? PM ，设 ，则? 0,1) (? ) , ?2PM ? (?2, 2 PD ?， 所以， ?ME ? (1? 2 2) ?,1 2 2)M (?2, 2, 2, 2 ? 分11 易得平面 ABCD 的法向量 0,1) . (0, ?m ，的法向

19、量为设平面 PBC ) z, n ? (x, y 0, 2 y ?2x ?，得，由 0 ? 0 PB ?n ?n BC ? 0, ?2x ? 2z ? 1x ? 12 , (1,1,1) .n ? 令得分所成的角相等，因为直线与平面所成的角和此直线与平面 ME ABCD PBC ? |n m | ME ? | | ME . 13 分， ，即所以 | ?ME, n , | cos ? MEm ?|?| cos ? ? | n |ME | ? | m | | | ?ME | ? 2? ?| 2 2 | | ，所以 3?3 3 ?3 3 ?，或解得 ? ? 4 1. （舍） 分2 2 .18（本小题

20、满分13 分） t 2? 0) (x) ? 2x x g?(x) ? f (2 . 分：求导，得 ， ， （）解x ?(1) k ? f g(1) ?3 l 1? ? 2t ? 2 t k . 的斜率分 ，即，解得由题意，得切线 0 2 ? 2x ? y ?4 l ) (1, 0 又切点坐标为的方程为，所以切线分 . 2 5 ) x ?(0, ?x t ln ?1? ) ? g(x) ? x 2) h(x? f (x ：设函数 . ，分 （）解) xy ? g(f y ? (x) ) xy ? h( 有且仅有一 有且仅有一个公共点”等价于“函数与 “曲线 个零点”2 t ?x 22t 2?分6

21、 求导，得?h (x) ? 2x x x 时， 当 0 t?) xh( ) (0, ?x) ?h 0 (单调递增，得由 在，所以) ?x ?(0, ) (hxh(1) ? 0 y ? 分. 8 有且仅有一个零点，所以 ，符合题意又因为 1 1t ? 当时，x ?) (xh) hx( 的变化情况如下表所示：与变化时， 当 x (1, ?) (0,1) 1? x)h(0 x)(h ) (1, ?h(x) (0,1) 在所以上单调递增，上单调递减，在 0 h? (1) ?h(x) ， 1时，所以当 x ?min) x? h(y 分10 .，符合题意有且仅有一个零点 故 1 1? t 0 时， 当 ?

22、 ) ?h 0 (x，解得令 ?x t?x ) xx) h(h( 的变化情况如下表所示：变化时， 与当 x) t (0, ) , ?( t t ? (x)h0 )(hx 上单调递增，上单调递减，在在所以 ?t , ) ( (0, x(h) t ) ( h? h(x) ) t 所以当时， ? tx . 分11 min ) (xh 0 (1) ?h，因为上单调递增，(在，且 ?t , ) 1? t .所以 0 ( t ) ? h(1) ?h 又因为存在 1 1 1 1 1 ?， 0 ? 2t ln e e ?(he ) ? e ?1?(0,1) e ?t 2t 2t 2t t 0 h) ?(x (

23、0,1) x?，所以存在 使得0 0 x) x? h(y .1 ，与题意不符所以函数 存在两个零点 0 t) t | f y ? (x) y ? g(x 1 t t ?.0 ，或有且仅有一个公共点时， 的范围是综上，曲线 与 13 分 分）19（本小题满分 14 3 c 2. ， 分，2 2 2 （）解：由题意，得 cb ?a? 2 a 3 上，在椭圆 C ) 又因为点(1, A2 1 3 所以?分. ， .3 1? 2 2ab4 ，解得， 3 b ? ? c 1a ? 2 x2 C 的方程为所以椭圆 2 5y ? 分? 1 . 4 ?2 2 分6（）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 .

24、 ? 5 ? y.x 证明如下： .假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222 0) r r?x ( ? y ? 分l 当直线l 的斜率存在时，设的方程为 7 m . kx ?y ? ,mkx ? y ? ? ?2 ?由方程组x分，8 得 . 222 0 ? 4 x1)m ? 8kmx ? 4? (4k ? 2 1,y? 4? l C 有且仅有一个公共点，与椭圆因为直线 2 2 2 2 2 . 9 分k?1 ，即 所以m? 4 ?m 4(4 (8?km0 ? ?4) )?k ?1)(4 1 , m y ?kx ? ? 由方程组?2 2 2 2 rm? 21)(得k?x?kmx ? ? 0 1

25、0 . .， 分2 2 2 , y?x r ? .则2 2 2 2 0 ?m? r) ? (2km)? 4(k?1)( 2 km 2?2 2r ?m?x ?， x ? ，则设 ， x ? x ? ) (P x , x , y ) y P ( ， . 11 分 2 1 21 1 1 2 2 2 1 2 2 k ? 1? 1 k kkOP OP ， ， 设直线的斜率分别为21 2 1 2 2m? ? x ) ) k kmx x ? (x y y (kx ? m)(kx ? m ?k k ?所以1 2 1 2 1 2 1 2 1 2xxxxxx 22 1 1 2 1 km ?22 2r ?m2? m

26、km ? ? 2 ?k 22 2 2 k m ?r2 1 k ? 1 ?k ? ? ? . 12 分，22 22 r m?r?m 2 k 1? 2 2 1 (4 ? r?)k 2 2 ?1 ?代入上式，得k? k. 4k m ?将2 1 2 2 ) k ? (1 ? r42 1 r4 ? 2. ，即r 5 ，验证符合题意? 为定值，则 要使得kk2 142r? 1 1 ?2 2 .P P , k k 为定值的交点时，圆与l 所以当圆的方程为 满足 5 ? xy1 2 1 2 4 13 分 x ? ?2 ， 的方程为 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 1 P P , 2 2 . ?k k 也

27、满足 的交点与l 此时，圆 5 x? y 1 2 1 2 4 1 P , P ? 2 2 .k k 时，圆与l 的交点 满足斜率之积综上，当圆的方程为 为定值 5 yx? 1 2 1 2 4 14 分 20（本小题满分 13 分） （）解： ；. 2 分 0 ?S(C) 1 D d, , （）解：考察排列d, d, ,d 与排列 d,D：d，d d, 1n?2 12 n n 1 1 1n? (d, d ) (d, d) 1），中必有一个为逆序对（其中因为数对与n ji ? i i j j n(n ?1) 2 ) (d , d 3 D C?分 个，共有 中数对 . 且排列 j i n 2n(n ?1) . ?D ) ?S(D) S(5 分 所以 1 2n(n ?1) . D 6 分与 的逆序对的个数的算术平均值为 所以排列D 1 4 a, , a,a An 21A： 而对于数字， ，的任意一个排列： ，都可以构造排列 1 n 2 1 1) n ?n(a a , a , a ,